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摘要：

高等數(shù)學(xué)是高等學(xué)校許多專業(yè)的一門重要的核心基礎(chǔ)課。根據(jù)高等數(shù)學(xué)課程的特點(diǎn)，在教學(xué)中采取過程啟發(fā)式教學(xué)方法，使學(xué)生參與到濃縮了的課程基本概念的創(chuàng)立過程中，改變學(xué)生被動(dòng)學(xué)習(xí)的教學(xué)模式，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，對培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維能力，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力，掌握應(yīng)用高等數(shù)學(xué)的知識(shí)解決實(shí)際問題的能力都有著積極的意義。

關(guān)鍵詞：

高等數(shù)學(xué)；數(shù)學(xué)思維方式；過程啟發(fā)式教學(xué)法

人類社會(huì)取得的任何科學(xué)成果，建立的任何學(xué)科，都離不開思維活動(dòng)。高等數(shù)學(xué)的創(chuàng)立和發(fā)展，完美地體現(xiàn)了數(shù)學(xué)思維方式的重要作用。學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)，必須學(xué)好數(shù)學(xué)思維方式。北京大學(xué)丘維聲教授在《數(shù)學(xué)的思維方式與創(chuàng)新》一書中指出，數(shù)學(xué)史上每個(gè)定理的發(fā)現(xiàn)，公式的建立，理論的形成無不經(jīng)歷數(shù)學(xué)思維方式的五個(gè)重要環(huán)節(jié)，即：觀察--抽象--探索--猜測--論證。也就是在現(xiàn)實(shí)生活中觀察到具有普遍性的相關(guān)現(xiàn)象或問題，通過研究，揭示出問題的共同規(guī)律，把其中共性的東西抽象出來，形成初步的數(shù)學(xué)概念或規(guī)律，再經(jīng)過針對這些概念和規(guī)律的探索，結(jié)合大膽而合理的猜測，給出結(jié)論（定理）。當(dāng)然要建立起一個(gè)完整的理論體系，還必須對這個(gè)結(jié)論（定理）加以嚴(yán)格的理論證明。我們現(xiàn)在使用的教科書，在編排時(shí)，有嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嫿Y(jié)構(gòu)要求，有篇幅限制，有課時(shí)約束，因而無法還原上述完美的數(shù)學(xué)思維過程，而是把這樣的思維過程逆倒過來。一般而言，教科書的編排遵循的是這樣的順序：概念—定理—公式—例題—練習(xí)。如果教師按照這樣的程序組織教學(xué)，教師費(fèi)力地教，學(xué)生只能被動(dòng)地學(xué)。還常會(huì)出現(xiàn)這樣的場景：當(dāng)教師提出一個(gè)抽象的數(shù)學(xué)概念時(shí)，學(xué)生不知出處，感覺茫然，不知怎么會(huì)有這個(gè)概念；當(dāng)教師再給出一個(gè)針對性的定理，學(xué)生更加感覺突然，不知有何用處；當(dāng)教師對定理進(jìn)行嚴(yán)格的證明，雖然證明過程嚴(yán)謹(jǐn)無誤，對于數(shù)學(xué)基礎(chǔ)好的學(xué)生，盡管可以理解，但會(huì)感覺知其然而不知其所以然；對數(shù)學(xué)基礎(chǔ)不夠好的學(xué)生，就會(huì)感到枯燥無趣，難于理解和接受，學(xué)習(xí)效果一定不好。學(xué)好高等數(shù)學(xué)不僅是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)課程的需要，還會(huì)直接影響倒后續(xù)專業(yè)課程的學(xué)習(xí)，甚至影響到學(xué)生今后的發(fā)展。近些年，有許多高等學(xué)校的數(shù)學(xué)教師，嘗試在高等數(shù)學(xué)的教學(xué)中使用過程啟發(fā)式教學(xué)法，在課堂上追溯高等數(shù)學(xué)的歷史，甚至要追溯到它的根，體察它的演變，引導(dǎo)學(xué)生親歷這個(gè)過程。作者經(jīng)過多年的探索實(shí)踐，深感這種教學(xué)方法改變了傳統(tǒng)的教學(xué)模式，它強(qiáng)調(diào)學(xué)生對高等數(shù)學(xué)基本概念的建立過程的參與，調(diào)動(dòng)了學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性和主動(dòng)性，對學(xué)生學(xué)好這門舉足輕重的課程起到了重要作用。

一、過程啟發(fā)式教學(xué)法的含義

過程啟發(fā)式教學(xué)法并非指某一種具體教學(xué)方法，而是一種教學(xué)思想、教學(xué)理念。是將教師的主導(dǎo)作用和學(xué)生學(xué)習(xí)的主動(dòng)性統(tǒng)一起來。在整個(gè)教學(xué)過程中，教師針對某個(gè)知識(shí)點(diǎn)，或者某一章節(jié)，或者整個(gè)學(xué)科的內(nèi)容，精心準(zhǔn)備，合理安排，精巧設(shè)計(jì)。課堂上首先通過引導(dǎo)、設(shè)疑和啟迪，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和求知欲,還原這些知識(shí)點(diǎn)最早的觀察點(diǎn)，鼓勵(lì)學(xué)生積極主動(dòng)思維,引導(dǎo)學(xué)生大膽合理探求，抽象出課堂教學(xué)的概念內(nèi)容；其次，適時(shí)地歸納、總結(jié)和完整地展示課程的邏輯結(jié)構(gòu)，使學(xué)生學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)方法，全面掌握相關(guān)的知識(shí)；最后組織學(xué)生溫課，讓學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)學(xué)科創(chuàng)始人偉大的思維過程，學(xué)習(xí)經(jīng)典，體驗(yàn)輝煌，同時(shí)還可發(fā)現(xiàn)整個(gè)探索過程中自己表現(xiàn)出來的特長以及暴露出來的問題。學(xué)生的學(xué)習(xí)過程就是濃縮了的學(xué)科創(chuàng)立過程，強(qiáng)調(diào)了學(xué)生的過程參與，鍛煉了學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力。過程啟發(fā)式教學(xué)法是一種既能使學(xué)生更好的理解掌握相關(guān)知識(shí)，又能發(fā)展學(xué)生本身智能的教學(xué)方法。

二、過程啟發(fā)式教學(xué)法的探索

（一）精心設(shè)疑，引起學(xué)生興趣，引發(fā)學(xué)生思考

設(shè)疑是過程啟發(fā)式教學(xué)的首要環(huán)節(jié)，也是整個(gè)教學(xué)過程成功與否的關(guān)鍵。合理的疑問能夠引起學(xué)生的興趣，因?yàn)榕d趣是最好的老師。在興趣的驅(qū)使下，學(xué)生能夠興奮起來，沒有顧慮，沒有畏難情緒，積極想辦法利用已知的知識(shí)嘗試解決老師的問題。即使解決不了（高等數(shù)學(xué)課堂上幾乎所有的設(shè)疑，都是學(xué)生用已知的知識(shí)解決不了的問題，因?yàn)槟鞘切轮R(shí)的引例）,在這個(gè)過程中，學(xué)生復(fù)習(xí)了以前的知識(shí)，了解到那些知識(shí)的應(yīng)用范圍和局限性。而老師在這個(gè)過程中充當(dāng)“益友”的角色。鼓勵(lì)學(xué)生各抒己見，大膽參與，必要時(shí)指出學(xué)生的問題，使探索思維在合理的范圍內(nèi)。例如，在引入高等數(shù)學(xué)的定積分概念時(shí)，還原了微積分的創(chuàng)始人牛頓、萊布尼茨的問題設(shè)疑，其一，幾何問題。計(jì)算直角曲邊梯形的面積，學(xué)生可能把已知的直邊圖形的面積公式、圓的面積公式嘗試了很多，教師只需提醒面積公式正確，但不能解決任意曲邊圖形的面積問題。其二，運(yùn)動(dòng)學(xué)問題，計(jì)算變速直線運(yùn)動(dòng)的路程，學(xué)生會(huì)用勻速直線運(yùn)動(dòng)、勻變速直線運(yùn)動(dòng)的路程計(jì)算方法進(jìn)行嘗試，教師要提醒的是，這里的運(yùn)動(dòng)方式是變速（不一定是勻變速）直線運(yùn)動(dòng)。

（二）啟迪思維，揭示思維過程，指出學(xué)習(xí)方法

高等數(shù)學(xué)的教學(xué)，不僅僅是要教會(huì)學(xué)生相關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí)，更重要的是要啟迪學(xué)生思維，提高學(xué)習(xí)能力，使學(xué)生學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)。所謂授人以魚，不如授之以漁，授人以魚只救一時(shí)之及，授人以漁則可解一生之需。高等數(shù)學(xué)的經(jīng)典理論，具有完美的邏輯結(jié)構(gòu)、創(chuàng)造性的思維方式和精巧的運(yùn)算方法。教師這時(shí)候擔(dān)當(dāng)?shù)慕巧?ldquo;益友+良師”。教師依據(jù)教學(xué)內(nèi)容和學(xué)生的實(shí)際反應(yīng)情況，靈活運(yùn)用有針對性的啟發(fā)形式，啟發(fā)學(xué)生思維，引導(dǎo)學(xué)生去分析問題并能在一定程度上解決問題。穿插介紹數(shù)學(xué)發(fā)展史上的精彩片段，介紹創(chuàng)始人的思維過程，使學(xué)生了解數(shù)學(xué)知識(shí)的起源，學(xué)會(huì)良好的學(xué)習(xí)方法。發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)之美，知識(shí)之美，學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)，愛上學(xué)習(xí)。例如，在介紹二元函數(shù)的連續(xù)性與偏導(dǎo)數(shù)存在性的關(guān)系時(shí)，教師可引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)系二元函數(shù)的幾何背景進(jìn)行思考：二元函數(shù)在某一點(diǎn)連續(xù)，是要求在該點(diǎn)及該點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)要有定義，而且極限值與該點(diǎn)的函數(shù)值相等（二元函數(shù)的極限包括各個(gè)方向的極限，又不僅僅是各方向的極限）。幾何意義上的連續(xù)，好比一個(gè)曲面在某一點(diǎn)及某個(gè)鄰域內(nèi)沒有破洞；而二元函數(shù)在某一點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù)存在，要求該點(diǎn)沿著兩個(gè)坐標(biāo)軸方向的導(dǎo)數(shù)存在，即沿著兩個(gè)坐標(biāo)軸方向的增量比的極限存在。幾何上，相當(dāng)于一個(gè)曲面在某點(diǎn)沿某兩個(gè)互相垂直的方向光滑無間斷。這樣學(xué)生很容易得出正確的結(jié)論，即：二元函數(shù)在某一點(diǎn)連續(xù)不一定有偏導(dǎo)數(shù)，反之，在某一點(diǎn)有偏導(dǎo)數(shù)也不一定連續(xù)。通過這樣學(xué)習(xí)，學(xué)生不僅掌握了這兩個(gè)重要的概念，也掌握了數(shù)形結(jié)合的學(xué)習(xí)方法。

（三）歸納總結(jié)，提高學(xué)習(xí)能力，完成課程內(nèi)容

采用過程啟發(fā)式教學(xué)方法，學(xué)生經(jīng)過一個(gè)特定的思維過程，切身感受到所謂抽象的數(shù)學(xué)概念，其實(shí)是人類智慧的結(jié)晶，來源于現(xiàn)實(shí)中很樸素的問題（高等數(shù)學(xué)所涉及到的大多數(shù)是這樣）。此階段的教師要擔(dān)當(dāng)起“良師”的角色，梳理清楚大家通過觀察、猜想、探討得到的普遍性或共性東西，進(jìn)而總結(jié)出高等數(shù)學(xué)層面的概念、定理或者公式。構(gòu)成課堂教學(xué)的知識(shí)脈絡(luò)結(jié)構(gòu)（如果有可能,也可以由學(xué)生來完成）,建立起完整的知識(shí)體系。最后，在解決了最初設(shè)疑的基礎(chǔ)上,展開更廣泛的數(shù)學(xué)應(yīng)用.給學(xué)生更多的知識(shí)聯(lián)想，思考其延伸的作用。例如物理學(xué)上的求變速直線運(yùn)動(dòng)速度，幾何上求光滑曲線的切線斜率，諸如此類的問題，都可以歸結(jié)為求增量比的極限計(jì)算問題，抽象出來，就形成了一個(gè)嶄新的數(shù)學(xué)概念-———導(dǎo)數(shù)。這時(shí)候，學(xué)生很容易理解，導(dǎo)數(shù)就是這樣建立起來的。曲線的切線斜率是導(dǎo)數(shù)的幾何意義、幾何應(yīng)用；直線運(yùn)動(dòng)的速度是導(dǎo)數(shù)的物理意義、物理應(yīng)用。

三、過程啟發(fā)式教學(xué)的收獲

高等數(shù)學(xué)具有高度的抽象性，嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬓院蛷V泛的應(yīng)用性。學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)不僅僅是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)，還應(yīng)該努力培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維能力，運(yùn)用數(shù)學(xué)的能力。大衛(wèi).呂埃勒認(rèn)為，“對那些想要理解事物本性的人來說，數(shù)學(xué)至今仍然是一個(gè)重要的準(zhǔn)備。”過程啟發(fā)式教學(xué)活動(dòng)使學(xué)生能夠在教師的引導(dǎo)下，主動(dòng)參與到一個(gè)嚴(yán)密完整的數(shù)學(xué)理論的形成過程，很好地體驗(yàn)了數(shù)學(xué)的思維方式在創(chuàng)新中的重要作用的,使學(xué)生領(lǐng)略數(shù)學(xué)創(chuàng)新的風(fēng)采,受到數(shù)學(xué)思維方式與創(chuàng)新的熏陶和訓(xùn)練,提升了自己的創(chuàng)造性思維能力，提高了數(shù)學(xué)素質(zhì)。而這種素質(zhì)的提高，有利于學(xué)生再接受一個(gè)新的數(shù)學(xué)理論時(shí)（可能學(xué)習(xí)更多的數(shù)學(xué)分支），由于創(chuàng)造性思維能力將起到直接或潛移默化的作用，就能主動(dòng)地探索這一新知識(shí)的來龍去脈和應(yīng)用價(jià)值。另一方面，當(dāng)你面臨有待解決的問題時(shí)，能主動(dòng)嘗試用數(shù)學(xué)的立場、觀點(diǎn)和方法尋求解決問題的策略，這就是運(yùn)用數(shù)學(xué)的能力。對于新生，最初接觸過程啟發(fā)式教學(xué)法時(shí)，很好奇，有些拘謹(jǐn)，教學(xué)進(jìn)度顯得緩慢，但是教學(xué)效果好，學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性高，對所學(xué)的知識(shí)理解得深刻，解題思路清晰，能靈活運(yùn)用所學(xué)的知識(shí)。逐漸地，學(xué)生的思維能力有所提高，探討的過程比較順利了，學(xué)生在課堂上敢于表明自己的觀點(diǎn)，課堂氣氛活躍起來，完全可以按照正常的教學(xué)進(jìn)度進(jìn)行。隨著課程的深入進(jìn)行，這種教學(xué)方法的優(yōu)勢愈發(fā)明顯，面對教師的設(shè)疑，學(xué)生能夠自主地完成接下來的教學(xué)過程，教學(xué)進(jìn)度，教學(xué)效果有了很大的提高。過程啟發(fā)式教學(xué)法對教師提出了更高的要求。首先，教師對教科書的內(nèi)容要有全局的把控。還要充分了解各個(gè)章節(jié)的具體內(nèi)容，并能把這些內(nèi)容有機(jī)地接合起來，成為有靈魂、有生命活力的生物體。再結(jié)合學(xué)生的實(shí)際情況，包括數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，學(xué)習(xí)習(xí)慣，學(xué)習(xí)能力，性格特點(diǎn)，班級學(xué)習(xí)風(fēng)氣等等，設(shè)計(jì)出適合課程內(nèi)容和學(xué)生情況的設(shè)疑問題，把握課堂的探討方向，及時(shí)引導(dǎo)，善于總結(jié)。既是課堂教學(xué)的教師，更是教學(xué)活動(dòng)中的設(shè)計(jì)師。

作者：何紅英 單位：西安市職工大學(xué)

參考文獻(xiàn)

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