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高等數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)論文范文1

早在20世紀(jì)80年代初，國(guó)內(nèi)就有法律人倡導(dǎo)關(guān)注法律經(jīng)濟(jì)學(xué),?但幾乎沒(méi)有引起多大反響。主要原因在于其所涉議題并非肇始于上世紀(jì)五六十年代的國(guó)外法律經(jīng)濟(jì)學(xué)思潮而是有關(guān)經(jīng)濟(jì)基礎(chǔ)和上層建筑關(guān)系的政治經(jīng)濟(jì)學(xué)原理對(duì)于法學(xué)研究的意義和作用，其在國(guó)內(nèi)首創(chuàng)“法經(jīng)濟(jì)學(xué)詞，也有點(diǎn)名不副實(shí)。②80年代末90年代初，三聯(lián)書(shū)店上海分店和上海人民出版社聯(lián)合推出的“當(dāng)代經(jīng)濟(jì)學(xué)文庫(kù)”首次譯介了一批法律經(jīng)濟(jì)學(xué)經(jīng)典,③并很快被經(jīng)濟(jì)學(xué)界所吸收消化。不過(guò)，經(jīng)濟(jì)學(xué)界擅長(zhǎng)用數(shù)理工具分析法律制度、法律問(wèn)題,不乏嚴(yán)謹(jǐn)漂亮的邏輯推演論證之作，但大多缺乏對(duì)于我國(guó)法制運(yùn)行狀況特別是司法裁判實(shí)踐過(guò)程的真切了解,故仍難免不陷入宏大敘事式的泛泛而論或者類(lèi)似于科斯所稱(chēng)“黑板經(jīng)濟(jì)學(xué)”的“黑板法學(xué)”窠臼，離開(kāi)約束條件或者約束條件一旦發(fā)生變化，就不能很好地解釋和解決中國(guó)現(xiàn)實(shí)生活中的真實(shí)法律現(xiàn)象，④其功利性訴求也備受垢病，⑤在法律人眼里似乎華而不實(shí)、中看而不中用。同時(shí),法律人因受制于傳統(tǒng)的道德評(píng)判理路以及并不精通數(shù)理分析短板的雙重影響，不僅對(duì)經(jīng)濟(jì)學(xué)侵入法學(xué)領(lǐng)域所帶來(lái)的革命性變革難以應(yīng)對(duì)，進(jìn)退失據(jù),而且對(duì)法律經(jīng)濟(jì)學(xué)的一些基本原理以及具體規(guī)則也處于似懂非懂、云遮霧障的狀態(tài)之中，能夠深切領(lǐng)會(huì)法律經(jīng)濟(jì)學(xué)開(kāi)山鼻祖科斯理論真諦的，更屬鳳毛麟角。筆者曾在先前發(fā)表的論文中列舉一例?:前些年北京大學(xué)蘇力教授從案例研究入手的法律經(jīng)濟(jì)學(xué)論文《〈秋菊打官司〉案、邱氏鼠藥案和言論自由》⑦甫一問(wèn)世，就在國(guó)內(nèi)法理學(xué)界引起了極大反響。但無(wú)論是支持者還是反對(duì)者，均大多對(duì)科斯法律經(jīng)濟(jì)學(xué)的原理原則不甚了了，以訛傳訛、不得要領(lǐng)的論著隨處可見(jiàn)，有的甚至完全背離而渾然不覺(jué)。拙文雖曾對(duì)此作過(guò)仔細(xì)分析,但也許偏重文本解讀，對(duì)于并不熟悉相關(guān)文獻(xiàn)的讀者可能難窺真貌,故迄今仍是應(yīng)者寥寥。筆者另文涉及公司沖突權(quán)利有效配置的命題,則由于部門(mén)法理學(xué)的局限性，未及充分討論法律經(jīng)濟(jì)學(xué)原理原則在法律學(xué)界的一般化、普適化問(wèn)題。?而這正是本文的主旨所在。

筆者認(rèn)為,法律人盡管也都承認(rèn)科斯對(duì)于法律經(jīng)濟(jì)學(xué)的基礎(chǔ)性貢獻(xiàn)，但對(duì)其兩篇諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)獲獎(jiǎng)?wù)撐乃鶆?chuàng)新制度經(jīng)濟(jì)學(xué)包含的產(chǎn)權(quán)理論、交易成本理論、企業(yè)理論和制度變遷理論與法律經(jīng)濟(jì)學(xué)之間的關(guān)系恐怕不是十分清楚，對(duì)所謂科斯定理的內(nèi)核也未必真正理解。當(dāng)然,假如國(guó)內(nèi)大學(xué)教育能夠養(yǎng)成法科學(xué)生精通高等數(shù)學(xué)和經(jīng)濟(jì)學(xué)的能力，所有法律人將無(wú)須尋找從經(jīng)濟(jì)學(xué)通向法律學(xué)蹊徑的法門(mén)，而是可以挾數(shù)理分析優(yōu)勢(shì)坐上最大化訴求的直通車(chē)，本文的論題也將失去意義，可惜這并不現(xiàn)實(shí)。而且，即使教育部立即改革法學(xué)專(zhuān)業(yè)課程設(shè)置,增加高等數(shù)學(xué)課程數(shù)量，增設(shè)一批經(jīng)濟(jì)學(xué)主干課程，已經(jīng)走上社會(huì)的法律人也無(wú)緣直接受益，以徹底改善自己的知識(shí)結(jié)構(gòu)。法律人自我救贖的可行辦法似乎需要揚(yáng)長(zhǎng)避短，盡量發(fā)掘科斯法律經(jīng)濟(jì)學(xué)富礦，并將其理論內(nèi)核推向一般化、普適化。除了著力理解科斯定理的真諦外，有關(guān)將資源配置轉(zhuǎn)換為權(quán)利配置的原創(chuàng)思想以及總體的、邊際的和替代的綜合研究方法，張五常對(duì)于合約選擇局限條件的精妙概括，或許能夠引領(lǐng)法律人達(dá)到曲徑通幽的目的,借此還能在法律經(jīng)濟(jì)學(xué)與利益衡量論之間架起一座橋梁，并發(fā)揮法律經(jīng)濟(jì)學(xué)在推進(jìn)我國(guó)法學(xué)理論、法制建設(shè)科學(xué)化進(jìn)程中的應(yīng)有作用。

本文在以引言導(dǎo)出主題后，首先對(duì)法學(xué)方法論與經(jīng)濟(jì)學(xué)方法論的優(yōu)劣稍作比較，其次探討科斯經(jīng)典論文中的法律經(jīng)濟(jì)學(xué)內(nèi)核，再次嘗試用不含數(shù)理分析的科斯原創(chuàng)性法律經(jīng)濟(jì)學(xué)思想解析本人較為熟悉的典型公司糾紛，最后用結(jié)語(yǔ)將前述分析方法擴(kuò)及當(dāng)今社會(huì)熱點(diǎn)法律問(wèn)題、甚至一般人類(lèi)行為并結(jié)束全文。

二、法學(xué)方法論與經(jīng)濟(jì)學(xué)方法論的簡(jiǎn)單比較

法律經(jīng)濟(jì)學(xué)的一大特色是將經(jīng)濟(jì)學(xué)與法學(xué)勾連起來(lái)，開(kāi)拓了法律解釋的一番新天地,甚至引起法學(xué)研究的一場(chǎng)革命,其根源在于經(jīng)濟(jì)學(xué)方法論相較于法學(xué)方法論的獨(dú)到優(yōu)勢(shì)。盡管上自馬歇爾?下至波斯納對(duì)此均有論述,?但仍有必要稍作比較以加深印象。

從亞當(dāng)斯密為代表的古典經(jīng)濟(jì)學(xué)，經(jīng)馬歇爾為代表的新古典經(jīng)濟(jì)學(xué)，再到凱恩斯、后凱恩斯時(shí)代以來(lái)的現(xiàn)代經(jīng)濟(jì)學(xué),經(jīng)濟(jì)學(xué)已經(jīng)呈現(xiàn)出流派繁多、百花齊放、精彩紛呈的局面，尤其是新制度經(jīng)濟(jì)學(xué)異軍突起，為法律經(jīng)濟(jì)學(xué)奠定了堅(jiān)實(shí)的理論基礎(chǔ)。相較于傳統(tǒng)法學(xué)在方法論上擁有統(tǒng)一語(yǔ)境及一以貫之的分析工具的劣勢(shì)，科學(xué)化已經(jīng)得到舉世公認(rèn)的經(jīng)濟(jì)學(xué),正是法律經(jīng)濟(jì)學(xué)彰顯其帝國(guó)主義擴(kuò)張本性的根本原因。對(duì)此，很多法律人也許并不同意，但確實(shí)是一個(gè)不爭(zhēng)的現(xiàn)實(shí)，法律人已經(jīng)無(wú)法熟視無(wú)睹，唯有積極應(yīng)對(duì)才是上策。撇開(kāi)其他論證方法，我們只要隨手找?guī)妆緝蓚€(gè)學(xué)科的經(jīng)典讀物作比較,就可見(jiàn)一斑。

龐德為享譽(yù)國(guó)際的著名法學(xué)家。他在《法理學(xué)》(第一卷)中將法學(xué)或者法理學(xué)歸納為：“有關(guān)通過(guò)法律或者借助法律達(dá)到社會(huì)控制目的的科學(xué),詳言之，這是一門(mén)有關(guān)文明社會(huì)中以司法及行政機(jī)關(guān)對(duì)人類(lèi)關(guān)系的規(guī)范裁決為手段對(duì)權(quán)益加以保護(hù)的科學(xué)。”④而英國(guó)的丹尼斯勞埃德等則認(rèn)為,法理學(xué)的“工作”之一是提供法的認(rèn)識(shí)論種關(guān)于法律領(lǐng)域的真正知識(shí)的可能性的理論。①前者僅是對(duì)英美判例法的描述，故并不周延，后者不能揭示“法的認(rèn)識(shí)論”的特殊性。據(jù)此,我們無(wú)法窺見(jiàn)法學(xué)或者法理學(xué)的真實(shí)面貌，即它是干什么的，又能夠干什么?國(guó)內(nèi)具有代表性的法理學(xué)教材的表述稍微清楚一點(diǎn)。如張文顯認(rèn)為：‘法學(xué)是以法律現(xiàn)象為研究對(duì)象的各種科學(xué)活動(dòng)及其認(rèn)識(shí)成果的總稱(chēng)。”②葛洪義的解釋則是：“所謂法學(xué)，就是研究法律現(xiàn)象的知識(shí)體系,是以特定的概念、原理來(lái)探求法律問(wèn)題之答案的學(xué)問(wèn)。”?顯然，這樣的解釋仍然無(wú)法將法學(xué)與其他社會(huì)科學(xué)區(qū)分開(kāi)來(lái),不僅初學(xué)者不知所云，即使專(zhuān)業(yè)法律人士，恐怕也是不得要領(lǐng)。國(guó)內(nèi)高校600多個(gè)法律院系大一開(kāi)設(shè)的法理學(xué)課程，能夠聽(tīng)懂的學(xué)生寥寥無(wú)幾，有的院系不得不將其移至高年級(jí)開(kāi)設(shè)。

以民法解釋學(xué)為代表的法學(xué)方法論(包括法律邏輯學(xué)中的三段論)對(duì)于訓(xùn)練法律人的思維意義重大，只是有時(shí)顯得過(guò)于機(jī)械,往往無(wú)法適應(yīng)變動(dòng)不居的社會(huì)現(xiàn)實(shí)，解釋不了新的法律現(xiàn)象;發(fā)源于德國(guó)的利益法學(xué)派無(wú)疑對(duì)傳統(tǒng)的法律解釋學(xué)具有很好的補(bǔ)充作用，但難免有點(diǎn)抱殘守缺、捉襟見(jiàn)肘;近年譯介到國(guó)內(nèi)的拉倫茨的〈法學(xué)方法論》和阿列克西的〈《去律論證理論》仍未從根本上改變上述局面;?日本的利益衡量論影響日廣，也是時(shí)勢(shì)所然。⑤后者在具體應(yīng)用時(shí)，多少會(huì)接觸到經(jīng)濟(jì)分析，但重點(diǎn)顯然不在用經(jīng)濟(jì)學(xué)方法取代法學(xué)方法,且似乎與科斯理論毫無(wú)淵源，故難以入流即無(wú)法達(dá)到能夠用規(guī)范的經(jīng)濟(jì)分析進(jìn)行科學(xué)化表述的程度。舉例而言，涉及我國(guó)社會(huì)制度改革話題，經(jīng)濟(jì)學(xué)界長(zhǎng)期處在獨(dú)步天下的顯赫地位,法律人幾乎沒(méi)有多少話語(yǔ)權(quán)。法學(xué)學(xué)科優(yōu)勢(shì)不及經(jīng)濟(jì)學(xué),進(jìn)而出現(xiàn)經(jīng)濟(jì)學(xué)界可能解釋所有法律現(xiàn)象、法律制度，而法律人無(wú)力侵入眾多經(jīng)濟(jì)(學(xué))領(lǐng)域的局面，或許是這一現(xiàn)象背后的一個(gè)深層原因。

經(jīng)濟(jì)學(xué)的情況則完全不同。只要是正規(guī)的經(jīng)濟(jì)學(xué)教科書(shū),對(duì)于經(jīng)濟(jì)學(xué)的定義均是簡(jiǎn)單明了、通俗易懂的。在此僅舉近年譯介到國(guó)內(nèi)的幾部:如羅伯特S平狄克、丹尼爾L魯賓菲爾德的〈微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)(第7版)》認(rèn)為:微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)“研究的就是稀缺資源的配置”。其進(jìn)一步解釋道:在現(xiàn)代經(jīng)濟(jì)中，消費(fèi)者、個(gè)人和企業(yè)在配置稀缺資源時(shí)具有很大的靈活性和多種選擇。微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)描述消費(fèi)者、個(gè)人和企業(yè)所面臨的權(quán)衡取舍(trade-ff),并且解釋這些取舍具體是怎樣做出的。⑥曼昆的〈宏觀經(jīng)濟(jì)學(xué)(第5版)》將微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)定義為“關(guān)于家庭和企業(yè)如何作出決策以及這些決策者在市場(chǎng)上如何相互作用的研究。”其中心原理是最優(yōu)化一他們?cè)诮o定的目標(biāo)和所面臨的約束條件的情況下盡其所能做得最好。⑦他在《經(jīng)齊學(xué)原理一微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)分冊(cè)(第5版)》中，則更是將經(jīng)濟(jì)學(xué)簡(jiǎn)化為“研究社會(huì)如何管理自己的稀缺資源。”⑧另一部流行的經(jīng)濟(jì)學(xué)教科書(shū)即保羅薩繆爾森、威廉諾德豪斯的〈微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)(第19版)》對(duì)此稍作拓展:經(jīng)濟(jì)學(xué)研究的是—個(gè)社會(huì)如何利用稀缺的資源生產(chǎn)有價(jià)值的商品，并將它們?cè)诓煌娜酥虚g進(jìn)行分配。⑨諾獎(jiǎng)得主貝克爾的解釋更為具體詳盡。根據(jù)他的觀點(diǎn)，經(jīng)濟(jì)學(xué)定義廣為流傳:稀缺資源如何在各種可供選擇的目標(biāo)之間進(jìn)行分配。今天，經(jīng)濟(jì)研究的領(lǐng)域業(yè)已囊括人類(lèi)的全部行為及與之有關(guān)的全部決定。經(jīng)濟(jì)學(xué)的特點(diǎn)在于，它研究問(wèn)題的本質(zhì)，而不是該問(wèn)題是否具有商業(yè)性或物質(zhì)性。因此，凡是以多種用途為特征的資源稀缺情況下產(chǎn)生的資源分配與選擇問(wèn)題,均可納入經(jīng)濟(jì)學(xué)的范圍,均可以用經(jīng)濟(jì)分析加以研究。經(jīng)濟(jì)分析是一種統(tǒng)一的方法,適用于全部人類(lèi)行為。我確信,經(jīng)濟(jì)學(xué)之所以有別于其他社會(huì)科學(xué)而成為一門(mén)學(xué)科關(guān)鍵所在不是它的研究對(duì)象,而是它的研究方法。最大化行為、市場(chǎng)均衡和偏好穩(wěn)定的綜合假定及其不折不扣的運(yùn)用便構(gòu)成了經(jīng)濟(jì)分析的核心。①1988年出版的科斯《企業(yè)、市場(chǎng)與法律》，則在借用羅賓斯有關(guān)經(jīng)濟(jì)學(xué)定義(經(jīng)濟(jì)學(xué)，就是對(duì)如何安排人類(lèi)目標(biāo)與多種用途的稀缺資源之間關(guān)系的人類(lèi)行為的研究。)后，認(rèn)為“這個(gè)定義使經(jīng)濟(jì)學(xué)成為一門(mén)研究人類(lèi)選擇的學(xué)科”。更進(jìn)一步而言，由貝克爾歸納的經(jīng)濟(jì)學(xué)本質(zhì)一最大化其效用的理性選擇研究方法‘運(yùn)用于分析動(dòng)物行為就毫無(wú)問(wèn)題”。

高等數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)論文范文2

論文關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)；教學(xué)；知識(shí)；教師教育

一、數(shù)學(xué)知識(shí)研究

傳統(tǒng)上認(rèn)為數(shù)學(xué)教師至少要掌握他所教的數(shù)學(xué)知識(shí)。班級(jí)授課制成熟后，人們開(kāi)始同意這樣一個(gè)原則：除了所教的數(shù)學(xué)知識(shí)以外，數(shù)學(xué)教師還需要掌握像組織教學(xué)、控制課堂秩序等一些教學(xué)知識(shí)。隨著教學(xué)研究的深入，人們發(fā)現(xiàn)教師僅僅知道他所教的數(shù)學(xué)的術(shù)語(yǔ)、概念、命題、法則等知識(shí)是不夠的。…除此之外，教師還要知道數(shù)學(xué)的學(xué)科結(jié)構(gòu)。學(xué)科結(jié)構(gòu)的概念最早源于Schwab。他指出了理解學(xué)科結(jié)構(gòu)的兩種方式：一個(gè)方式是句法性地(syntactically)，另一個(gè)方式是實(shí)體性地(substantively)。所謂句法性地是指從學(xué)科所表現(xiàn)出來(lái)的邏輯結(jié)構(gòu)方面去了解學(xué)科結(jié)構(gòu)。比如，引入無(wú)理數(shù)表示不可公度線段，引入負(fù)數(shù)與復(fù)數(shù)表示某些方程的解。前者可以看到，后者看不到，僅是為了保持方程都有解這個(gè)論斷的完整性和通用性所做出的一種假設(shè)與解釋。對(duì)這三個(gè)概念含義的理解，只能通過(guò)產(chǎn)生這些概念的前后聯(lián)系才能揭示。所謂實(shí)體性地是指從學(xué)科的概念設(shè)計(jì)角度去了解學(xué)科結(jié)構(gòu)。比如，歐氏幾何與解析幾何有不同的概念框架。Ball把數(shù)學(xué)的學(xué)科結(jié)構(gòu)知識(shí)稱(chēng)為關(guān)于數(shù)學(xué)的知識(shí)。它是指知識(shí)從哪里來(lái)，又是如何發(fā)展的，真理是如何確認(rèn)的，又將用到哪里去。

主要有三個(gè)維度：一是約定與邏輯建構(gòu)的區(qū)別。正數(shù)在數(shù)軸的右邊或者我們使用十進(jìn)位值制都是任意的、約定的。而0做除數(shù)沒(méi)有定義或者任意一個(gè)數(shù)的零次冪都等于1就不是任意的、約定的；二是數(shù)學(xué)內(nèi)部之問(wèn)的聯(lián)系以及數(shù)學(xué)與其他領(lǐng)域之間的聯(lián)系；三是了解數(shù)學(xué)領(lǐng)域中的基本活動(dòng)：尋找模式、提出猜想、證明斷言、證實(shí)解法和尋求一般化。

對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的研究，拓寬了人們對(duì)教學(xué)用的數(shù)學(xué)知識(shí)的理解。它顯示教學(xué)用的數(shù)學(xué)知識(shí)是很復(fù)雜的，除了術(shù)語(yǔ)、概念、法則、程序之外，還有數(shù)學(xué)學(xué)科結(jié)構(gòu)或者關(guān)于數(shù)學(xué)的知識(shí)。這些知識(shí)對(duì)于教師確定為什么教、選擇教什么和怎么教都會(huì)產(chǎn)生影響。比如，約定的與邏輯建構(gòu)的概念的教學(xué)策略會(huì)有很大的不同，邏輯建構(gòu)的概念就必須講清楚它怎么來(lái)的，為什么要定義這個(gè)概念，怎樣定義，它會(huì)有什么用，它與其他的概念的關(guān)系是怎樣的，它的應(yīng)用有哪些限度。而約定的概念就沒(méi)有這些必要。但是，有效地?cái)?shù)學(xué)教學(xué)，僅僅具有上述知識(shí)還不夠。它缺少對(duì)學(xué)生的考慮，不能給教師提供教授一群特定的學(xué)生所必須的教學(xué)上的理解。比如，僅僅通過(guò)推導(dǎo)知道(+6)=a+2ab+b對(duì)有效教學(xué)是不夠的，教師還需要知道一些學(xué)生容易把分配律過(guò)度推廣而記成+6)=a+b，知道用矩形的面積表征可以有效地消除這一誤解。學(xué)生誤解的知識(shí)與消除誤解的教學(xué)策略顯然不能納入數(shù)學(xué)知識(shí)的框架，教學(xué)用的數(shù)學(xué)知識(shí)的復(fù)雜性要求更精致的框架來(lái)描述。

二、教材分析研究

有效的教學(xué)必須考慮學(xué)生已有的知識(shí)和知識(shí)呈現(xiàn)的最佳序列。在數(shù)學(xué)學(xué)科中，馬力平的知識(shí)包(Knowledgepackage)是國(guó)際上較為典型的此類(lèi)研究。知識(shí)包是圍繞著一個(gè)中心概念而組織起來(lái)的一系列相關(guān)概念，是在學(xué)生的頭腦里培育這樣一個(gè)領(lǐng)域的縱向過(guò)程。(n知識(shí)包含有三種主要成分：中心概念、概念序列和概念結(jié)點(diǎn)，也包括概念的表征、意義和建立在這些概念之上的算法。下例是20以內(nèi)數(shù)的加減法的知識(shí)包(圖1)。在這個(gè)知識(shí)包內(nèi)，中心概念是20至100數(shù)的“借位減法”，它是學(xué)習(xí)多位數(shù)的加減的關(guān)鍵前提。

馬力平的知識(shí)包實(shí)際上是我國(guó)內(nèi)地傳統(tǒng)的教材分析研究。這類(lèi)研究結(jié)果是教學(xué)參考書(shū)的主要內(nèi)容之一。它是一種課程知識(shí)，是教師對(duì)課程的分析，比對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的分析更接近教學(xué)用的數(shù)學(xué)。但它也不是教師教學(xué)時(shí)使用的數(shù)學(xué)知識(shí)。它最多是教師對(duì)教學(xué)的考慮，沒(méi)有考慮師生互動(dòng)時(shí)產(chǎn)生的數(shù)學(xué)需求。教師在教學(xué)時(shí)，能夠動(dòng)員起來(lái)的知識(shí)不一定符合教學(xué)情境的需要。比如教師預(yù)期的一種學(xué)生的反應(yīng)在與學(xué)生的互動(dòng)中沒(méi)有出現(xiàn)，教師以學(xué)生的這種反應(yīng)為跳板的后繼知識(shí)就沒(méi)有了用武之地。馬力平概括出的知識(shí)包，與教師在課堂教學(xué)時(shí)使用的數(shù)學(xué)知識(shí)還有一段距離，教師在教學(xué)時(shí)可能用得上，也可能用不上。教師在教學(xué)時(shí)所需要的數(shù)學(xué)知識(shí)遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出教材分析所能提供的內(nèi)容。

三、教學(xué)用的數(shù)學(xué)知識(shí)研究

Ball開(kāi)創(chuàng)了教學(xué)用的數(shù)學(xué)知識(shí)研究。她通過(guò)分析數(shù)學(xué)教學(xué)的核心活動(dòng)，直接研究課堂教學(xué)中教師使用的數(shù)學(xué)知識(shí)及其影響。下面以Ball的一個(gè)課例來(lái)說(shuō)明其研究方法與結(jié)果。該課內(nèi)容是三年級(jí)多位數(shù)減法：Joshua星期一吃了16粒豌豆，星期二吃了32粒豌豆。問(wèn)Joshua星期二比星期一多吃了多少粒豌豆?學(xué)生在解題過(guò)程中提供了六種解法。Sean從16的后繼數(shù)l7開(kāi)始向后數(shù)數(shù)，一直數(shù)到32得到答案。ba認(rèn)為，32的一半是16，答案就是16。Betsy把表示16和32的教具(豆子)一一配對(duì)，數(shù)一下表示32的教具中剩余的沒(méi)有配對(duì)的豆子得到答案。MEi的方法是直接從表示32的豆子中拿走16粒，數(shù)一下剩余的就行了。Cassandia提供了標(biāo)準(zhǔn)的減法算法，Scan受到啟發(fā)，提供了另一種解法：16+16=32，整節(jié)課，學(xué)生想盡辦法鑒定這些解法的異同。L6JBall認(rèn)為，這節(jié)課教學(xué)的核心活動(dòng)是處理數(shù)學(xué)知識(shí)的關(guān)聯(lián)和控制課堂討論。知識(shí)的關(guān)聯(lián)涉及到在具體和符號(hào)的模式中，減法和加法是如何關(guān)聯(lián)的、減法的“比較”和“拿走”的解釋是如何關(guān)聯(lián)的、教具的表征如何轉(zhuǎn)化為符號(hào)表征、Betsy的配對(duì)比較法如何轉(zhuǎn)化為Sean的向后數(shù)數(shù)的方法、Betsy的方法如何和MEI的方法協(xié)調(diào)，控制課堂討論首先表現(xiàn)在提供線索和解釋?zhuān)苿?dòng)正確的方法的發(fā)展；其次表現(xiàn)在擱置有問(wèn)題的方法。比如擱置Riba的說(shuō)法。Riba的論斷是正確的，但要使其他的學(xué)生能夠明白他的意思，還需要添加幾步推理。但這幾步推理與用它來(lái)證明Sean的結(jié)論超過(guò)了三年級(jí)學(xué)生的理解能力。

Ball對(duì)這節(jié)課教師需要使用的數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行了歸納。除了傳統(tǒng)的教材分析提供的借位減法的符號(hào)算法及其背后的位值制之外，教師還需要其他知識(shí)。首先需要知道問(wèn)題的兩種表征模式(如減法32—16：?與缺失加數(shù)的加法16+?=32)是等價(jià)的。其次，還要知道此問(wèn)題的一些表征：比如像Sean的從17數(shù)到32，或者M(jìn)ei的從32里拿走l6個(gè)等等。第三，教師還需要具有深刻的數(shù)學(xué)眼光去審查、分析和協(xié)調(diào)學(xué)生的多種解法。最后，教師還需要一些關(guān)于數(shù)學(xué)論證的知識(shí)。通過(guò)上述分析，Ball指出，教材分析只能提供教學(xué)用的數(shù)學(xué)知識(shí)的一部分，其余大部分只能在分析數(shù)學(xué)教學(xué)的核心活動(dòng)中才能得到。

四、啟示

1．教學(xué)用的數(shù)學(xué)知識(shí)是有效教學(xué)的知識(shí)基礎(chǔ)。它與數(shù)學(xué)家的數(shù)學(xué)知識(shí)、教材分析得出的數(shù)學(xué)知識(shí)是不一樣的。它具有一種教學(xué)上有用的數(shù)學(xué)理解，這種理解主要集中于學(xué)生的觀念和誤解上。學(xué)生對(duì)特定內(nèi)容的理解是有差異的，教師需要調(diào)和學(xué)生不同的理解方式并在這些方式之間靈活自如地轉(zhuǎn)換，引導(dǎo)學(xué)生把知識(shí)進(jìn)一步組織，促進(jìn)學(xué)生在已有的知識(shí)基礎(chǔ)上有效學(xué)習(xí)。

2．教學(xué)用的數(shù)學(xué)知識(shí)是高觀點(diǎn)下的數(shù)學(xué)知識(shí)，它聯(lián)系著更深刻的概念和方法。Ball的課例僅是小學(xué)三年級(jí)的兩位數(shù)退位減法，但是，通過(guò)對(duì)課堂教學(xué)核心數(shù)學(xué)活動(dòng)的分析顯示，隱藏在退位減法之外的，是高等數(shù)學(xué)的等價(jià)、同構(gòu)、相似性和表征之間的轉(zhuǎn)化等概念。從結(jié)構(gòu)上說(shuō)，前五種解法是同構(gòu)的，前五種解法和最后一種缺失加數(shù)的加法是等價(jià)的。但前四種解法的解釋模型是不同的，有三種是“拿走”模型，一種是“比較”模型。只有從數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)上理清這些解法的關(guān)系，才能有效地引導(dǎo)學(xué)生在不同的方法之間轉(zhuǎn)換并分清這些方法的異同，促進(jìn)學(xué)生高效地組織自己的數(shù)學(xué)知識(shí)。香港的“課堂學(xué)習(xí)研究”也證實(shí)，數(shù)學(xué)專(zhuān)家參與的教研活動(dòng)，能提升課堂教學(xué)的有效性。

3．教學(xué)用的數(shù)學(xué)知識(shí)存在一定的結(jié)構(gòu)。首先是學(xué)生理解的知識(shí)。像Ball的課例所展示的，學(xué)生對(duì)退位減法的理解有不同的方式、不同的層次和一些誤解，這些知識(shí)是教師教學(xué)的起點(diǎn)。以學(xué)生已有的知識(shí)為起點(diǎn)自下而上的講授使知識(shí)加以擴(kuò)充，把新知識(shí)與學(xué)生已經(jīng)構(gòu)成內(nèi)在網(wǎng)絡(luò)的概念和方法聯(lián)系起來(lái)，這是提高教學(xué)效率的奧妙；其次是教學(xué)策略。像Ball的課例所展示的，學(xué)生的理解各種各樣，需要教師使用相應(yīng)的策略來(lái)控制課堂討論，協(xié)調(diào)不同的方法，促進(jìn)正確的方法發(fā)展，擱置有問(wèn)題的方法，這是提高課堂教學(xué)效率的重要手段；第三、控制與反饋的知識(shí)。教師需要提供線索和解釋?zhuān)C正學(xué)生的誤解，促進(jìn)學(xué)生自我評(píng)價(jià)的參與，促進(jìn)學(xué)生進(jìn)一步精簡(jiǎn)合理化知識(shí)；第四，課程知識(shí)。像馬力平的知識(shí)包概念所揭示的，特定課題呈現(xiàn)的最佳序列，它的來(lái)龍去脈及與其它學(xué)科的橫向聯(lián)系，是教師用來(lái)教學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)基礎(chǔ)。顧泠沅的研究也揭示，辨明一門(mén)學(xué)科各知識(shí)點(diǎn)的固著關(guān)系及其潛在距離，構(gòu)建適合學(xué)生特點(diǎn)的、具有合適梯度的結(jié)構(gòu)序列，是提高教學(xué)效率的基礎(chǔ)；最后是教學(xué)目的的統(tǒng)領(lǐng)性觀念。像退位減法，是像Ball那樣對(duì)學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行精簡(jiǎn)合理化還是直接教授退位減法的法則，取決于教師對(duì)數(shù)學(xué)的理解、信念數(shù)學(xué)的認(rèn)識(shí)論以及對(duì)特定學(xué)生最有價(jià)值的數(shù)學(xué)知識(shí)的判斷。當(dāng)然，這些成分是從不同的維度來(lái)說(shuō)明教學(xué)用的數(shù)學(xué)知識(shí)的屬性，它們之間的關(guān)系及提高課題教學(xué)效率的機(jī)制還需從課堂教學(xué)的經(jīng)驗(yàn)出發(fā)進(jìn)一步的概念化。