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作者：陳克勝 董杰 單位：內蒙古師范大學科技史研究院 安徽師范大學數學計算機科學學院

《九年義務教育數學課程標準(實驗稿)》和《普通高中數學課程標準(實驗稿)》明確提出數學課程應反映數學文化，作為數學課程的基本理念之一－“體現數學的文化價值”或“數學是人類的一種文化”，并要求以滲透的方式有機地融入數學課程的內容。但在實際教學中，數學文化的教學卻不盡《九年義務教育數學課程標準(實驗稿)》和《普通高中數學課程標準(實驗稿)》的意愿，并沒有形成為教師的教學自覺。其中的原因有很多，有外在原因，如考試不考，數學文化在課堂教學中可有可無;只要將數學知識學好了，數學文化是“軟”指標，以后慢慢去體會。還有一些內在原因，如數學文化的教學內在特點制約著數學文化的教學;數學文化的內涵需要進一步厘清。數學文化怎樣才能真正地落實到數學課堂教學?這成為當下研究的重要課題。下面我們以《數學通報》2007年第12期登載了崔佳佳老師的《一元一次方程》的文章為例［1］，從數學文化的角度來剖析并進行改造，旨在探索數學文化的一種教學途徑和方法，并由此提出“數學文化”設置的一點思考和建議。

一、“一元一次方程”的數學文化內涵

一元一次方程的數學文化內涵可這樣思考:以一元一次方程的概念為數學文化的顯性載體，在其顯性載體的背后承載著豐富的隱性內涵，即方程作為人類思想的一次飛躍，是繼算術思想之后的又一重要的數學思想，折射出人類的智慧;方程在其歷史發展過程中呈現多元文化特征;方程體現了符號化的思想，體現了數學的簡潔美;方程所解決的問題是現實問題，在解決現實問題過程中，反映一個人的思維方式、態度、價值觀和數學觀;現實問題大部分又是源于社會，反映了數學的社會需求，反映了社會發展推動數學發展的作用。

二、“一元一次方程”的數學文化教學的特點

數學文化的隱性內涵決定了數學文化教學具有以下幾個特點:

(一)主體參與性將數學文化隱性內涵進行“顯化”不是教師“教”出來的，也不是學生“學”出來的，而是學生主動地“悟”出來的，強調主體參與。主體參與分為主體接受性參與和主體體驗性參與。主體接受性參與使學生理解一元一次方程的概念，懂得用方程來描述和刻畫事物間的等量關系。當然，主體接受性參與不是被動接受，而是通過教師的引導、組織，學生經過觀察、歸納，得出一元一次方程的相關數學知識。主體體驗性參與指向學生關于一元一次方程背后隱藏的情感、態度、價值觀、數學思想方法等非智力因素或精神層面或隱喻性的數學文化，這些因素尤其重要，影響到學生的一生，學生并從中獲益。這就要求教師不僅創設學生主體參與的良好的外部環境和氣氛，利用學生主體參與的心理契機，給予學生主體參與的機會和時間，而且要求教師創設貼近學生的基本活動經驗，給學生“悟”的情境。

(二)過程性從方程的歷史發展過程來看，人類最早用算術方法來解決人類當時生產、生活所遇到的實際問題，后來發展到采用方程的方法，以至方程成為早期代數學的主要研究問題。由算術方法提升到方程方法是數學思想的一次飛躍，如果學生沒有經歷體驗過程中獲得方程的思想，那么學生往往對方程的認知障礙很難突破，這已在教學實踐中得到了印證:教師發現學生解應用題總是喜歡算術方法，使用方程的思想存在一定的障礙，總要教師不斷地重復強調，慢慢地才被學生機械地接受。造成這種情況出現的原因有多種，其中一個重要原因是學生在學習方程時，沒有感受到方程思想的魅力。因此，學生學習一元一次方程時，教師應努力創設情境，引導學生經歷方程的形成和發展過程，讓學生在這個過程中體會方程思想在解決問題中的優越性，并且這種體驗是一個不可逾越的過程。只有經歷這個體驗過程作為基礎，學習一元一次方程概念就顯得自然，而且成為學生用于解決實際問題的需要和自覺。

(三)差異性柏拉圖曾說過這樣的名言:“同樣的風在刮著，然而我們中間有一個人會覺得冷，另一個人會覺得不冷，或者一個人會覺得稍微有點冷，又有一個人覺得很冷。”意思是風冷不冷不決定于風的客觀存在，而決定于人的感覺，決定于主體。就教學而言，教師教得好與不好不完全決定于教師的教，而部分決定于學生的學習情感、意志、習慣、能力等。不同的學生在數學學習參與過程中存在不同的認識或感受，必然對數學文化的理解存在著差異。學生主體參與的過程中體驗一元一次方程，必然出現不同學生主體對一元一次方程不同的認識。

三、“一元一次方程”的數學文化教學過程設計

基于上述一元一次方程的數學文化內涵及其數學文化教學的特點，我們不妨對崔佳佳老師的《一元一次方程》的教學過程設計作為案例，剖析或改造其中所蘊含的數學文化，反映數學教學實質上數學文化教學。

(一)情境導入，回顧概念

崔佳佳老師通過“猜猜老師的年齡”、“日歷中的方程”、“比較算術方法和方程”和“方程小史”四個教學活動來進行。其中，我們不妨對兩個教學活動進行改造:“猜猜老師的年齡”改為“請同學們結合自己的年齡設計一個問題。”“日歷中的方程:請學生圈出日歷中一個豎列上相鄰的三個日期，把它們的告訴老師，教師能馬上知道這三天分別是幾號。”改為“請同學們看看日歷，你能提出一個與方程有關的數學問題嗎?”彰顯的數學文化:其一，以學生的生活世界為背景，教師引導、創設教育情境，讓學生主動地從生活中挖掘、體會數學，更深刻地感受數學與自己的生活息息相關，真正感受數學的社會需求這種數學文化內涵，改變日常教師問答的方式，學生被動地忙于解答，無法、也無暇體會數學的情趣。其二，讓學生如何去思考問題的方法，啟發學生主動建構，這是一個充滿學生智慧的過程，從而讓學生感受到數學所帶來的快樂。這種以學習一元一次方程的數學知識為載體，在學生逐漸建立科學的數學觀過程中發揮其文化價值的作用。教學建議:學生在小學階段已經學習過方程，對方程有了一個初步認識，讓學生結合自己的生活實際來進行編題已有一定的基礎。如果學生有困難，教師可以創設情境，采用層層遞進的設疑方式進行。教師重在引導、組織，學生作為主體參與者，讓學生經歷體會、體驗方程的建構過程。至于“方程小史”這個教學活動，我們還可以進一步去完善、豐富。歷史上，早期人類文明古國很早使用了方程思想，都是用文字的方程表達，但沒有現代符號形式，如古巴比倫數學，中國古代數學，古希臘數學。12世紀左右，阿拉伯數學家阿爾•花拉子米專門研究方程而編著了《代數學》，這時的代數學還是專門研究方程領域。到了17世紀，歐洲數學家韋達完成了數學的符號化，經過后來的數學家如笛卡兒不斷地對符號進行改進，才有我們今天“方程”符號化系統。而中國在研究方程中也產生了符號化的思想，我們現在所說“元”，其來源于中國數學家研究方程所創用的符號，相當于今天的未知數，據文獻記載，有關研究方程的數學家有李冶、朱世杰，其使用的工具是算籌來進行方程的布列和演算。到了明清以后，引入西方的方程之后發現中國早已研究過方程，于是翻譯時，很自然地將方程的未知數稱為“元”對應起來，也就有了今天的“一元方程”、“二元方程”等。簡要介紹李冶的生平情況和故事。彰顯的數學文化:其一，讓學生從數學史的角度領略方程思想的發展過程，了解方程原初形式以及現代符號表示區別與聯系;其二，從數學史角度讓學生理解一元一次方程中“元”字的由來，反映東西方關于方程的多元文化。其三，了解數學家李冶的生平，體會李冶被元世祖所器重的一個原因，反映社會與數學的關系。教學建議:初步介紹方程的發展過程，建立方程發展的整體脈絡，了解方程的來龍去脈。如果時間允許，可以介紹中國用算籌布列方程的思想及特點，這部分內容可以視課堂教學具體情況進行彈性設計，可以調整到建立一元一次方程的概念之后。#p#分頁標題#e#

(二)聯系實際，探究新知

崔佳佳老師引用3個實際問題列出方程:例1有關手機計費方式的比較;例2有關足球黑白皮塊個數確定;例3有關光盤面積與半徑問題。數學文化剖析:其一，讓學生學會如何積累前人的間接經驗，以課堂講解實際問題的方式打開學生認識社會、生活等與數學的關系;其二，學生科學的數學觀在潛移默化中要以通過解決實際問題構建起來，從而引起他們的思維方式、價值觀等的變化，也就是說在以后遇到實際問題時，學生可能會主動地探究其中的科學道理，有意識地豐富自己的知識經驗，而不會被動地以解出問題的答案為目的;其三，讓學生探討發現、分析和解決問題的思路、方法和途徑，從中體會樂趣，在這一過程中，學生的意志品質、探索精神等非智力因素有所提高。教學建議:討論、交流這些實際問題，列出方程，讓學生進行充分的交流，發揮其主體參與性。之后，教師在實際問題的基礎上引導學生如何積累數學基本活動經驗，如何評價應用題的提問內容或方式的價值，如何提煉提出、分析和解決問題的方法和策略，通過一元一次方程知識的學習為學生接受數學文化熏陶發揮其應有的作用。關于歸納一元一次方程的概念。崔老師采用聯系前面所舉的實際問題的辦法，用數學符號列出方程。讓學生觀察、分析、歸納等方法總結這些方程的共同點，從而歸納出一元一次方程的概念。數學文化剖析:其一，建立一元一次方程的概念;其二，體現符號代數的思想;其三，符號化的簡潔美。教學建議:在教學過程中，除了讓學生歸納總結一元一次方程的概念之外，教師還應向學生適時表明方程符號表示的數學意義，體會符號代數的科學和人文價值。

(三)鞏固交流，拓展思維

崔佳佳老師安排了3組練習，達到鞏固一元一次方程的概念。其中“根據方程2(x+3x)=40，設計一道有實際背景的應用題，并進行交流。”可改為:學生根據方程2(x+3x)=40，設計一道應用題并進行交流之后，教師還可以向學生交代早期的數學應用問題及解答的情境。歷史上，早期人類流傳下來的數學應用問題是來源于人類生產、生活實際的典型問題，是經驗的總結，具有代表性，而且其表達方式是語言文字;在解答時由于沒有創造數學符號，往往也是用語言文字來敘述。彰顯的數學文化:其一，“讓學生加深對一元一次方程及其應用的認識。”［1］其二，讓學生體會方程早期發展歷史，人類對方程經歷了一個漫長的發展過程才有今天的這種形式，聯系了前面的“方程小史”，從而進一步感受早期數學發展過程;向學生提出假設:如果掌握了方程概念及其思想，那么你們任何一個人回到那個時代都是了不起的數學家，起到激勵作用，體現其人文價值。

(四)歸納小結，布置作業

崔老師安排了3個步驟:回顧知識;總結方法;提煉思想。最后布置作業。其中，布置作業，我們還可以進一步提供一些開放性的、與學生生活貼近的例子，請學生去觀察，或者提供李冶用算籌方法布列方程的思想的例子，請學生嘗試用現代數學符號進行解釋。彰顯的數學文化:其一，利用所學方程觀察學生現實生活，進一步去體會方程的思想以及方程在社會生活中所扮演的角色;其二，用現代數學符號解釋李冶用籌算布列方程，感受中國數學家李冶的創新精神。

四、思考與建議

上述一元一次方程的教學是以一元一次方程為內容的數學文化教學，嘗試將一元一次方程的知識教學包含于數學文化教學之中，將數學知識作為數學文化教學的一個組成部分，而不是將數學文化有機地結合一元一次方程的內容，以至教師在進行這部分教學時容易將數學文化看成可有可無，沒有重視數學文化教學。在某種程度上，這種嘗試可以說凸顯了數學文化，避免了數學文化教學的偏廢。由此，《九年義務教育數學課程標準(實驗稿)》和《普通高中數學課程標準(實驗稿)》所提的數學文化的教學建議:“數學文化盡可能有機地結合數學課程的內容，選擇介紹一些對數學發展起重大作用的歷史事件和人物，……”［2］應重新定位:數學教學是數學文化的教學;與此同時，我們可以思考《普通高中數學課程標準(實驗稿)》和《九年義務教育數學課程標準(實驗稿)》中“數學文化”的設置問題。

《普通高中數學課程標準(實驗)》設置“數學文化”的專題，以體現高中數學課程的基本理念之一———“體現數學的文化價值”:“數學是人類文化的重要組成部分。數學課程應適當反映數學的歷史、應用和發展趨勢，數學對推動社會發展的作用，數學的社會需求，社會發展對數學發展的推動作用，數學科學的思想體系，數學的美學價值，數學家的創新精神。數學課程應幫助學生了解數學在人類文明發展中的作用，逐步形成正確的數學觀。”［2］歸納起來，有以下七個方面:其一，反映數學的歷史;其二，反映數學的應用;其三，反映數學與社會;其四，反映數學的思想方法;其五，反映數學的美;其六，反映數學家的創新精神;其七，反映數學是人類文明發展的標志。由此可知，數學文化承載了數學所反映的多方面、多角度的內容，是一個豐富多彩的、有血有肉的、立體的“面孔”，而不是冰冷的數學公式、定理等數學知識。但結合高中數學課程的其他基本理念，我們發現體現數學的文化價值理念涵蓋了其他基本理念，如反映數學的歷史與“強調本質，注意適度形式化”，反映數學的應用與“發展學生的數學應用意識”，反映數學的思想方法與“注重提高學生的數學思維能力”。

《全日制義務教育數學課程標準(實驗稿)》提出:“數學是人類的一種文化，它的內容、思想、方法和語言是現代文明的重要組成部分”。［3］這一提法雖較為籠統，但數學文化的內涵還是基本上涵蓋了課程的其他基本理念。基于此，不妨對“數學文化”的設置進行調整:由原來的基本理念之一“體現數學的文化價值”提升到“總的基本理念”的高度，其他基本理念是其具體的體現。這種調整應該說更加體現了數學教育實質上是數學文化教育［4，5］，數學教學是一個充滿激情的數學文化教學，這樣才能切實關注到學生的理性培養和心靈的成長，關注到學生的思維方式，關注到學生的終生意義、生命意義的價值觀和世界觀。