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一、對教改目標(biāo)的認(rèn)識(shí)——情景化的解決之道
“解決問題”這一概念最早美國數(shù)學(xué)教師協(xié)會(huì)（NCTM）于1980年4月提出，這一概念的提出符合旨在提高美國學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用能力。直到1992年12月，張奠宙教授根據(jù)研究意識(shí)到情景交融的教學(xué)法更符合小學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，于是撰寫《數(shù)學(xué)素質(zhì)教育設(shè)計(jì)（草案）》一文，向教育部門呼吁將“解決問題”的教學(xué)作為對我國基礎(chǔ)數(shù)學(xué)教育改革的突破口。張教授闡述的“解決問題”不僅是解決一個(gè)個(gè)實(shí)際問題，更是一種學(xué)習(xí)能力的培養(yǎng)，這種學(xué)習(xí)能力需要貫穿數(shù)與代數(shù)、統(tǒng)計(jì)與概率、空間與圖形、實(shí)踐與綜合應(yīng)用的教學(xué)過程中。“解決問題”是對學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)思維培養(yǎng)的過程，整個(gè)過程一直和學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和實(shí)踐能力相結(jié)合。筆者分析這正是為了擺脫教育“高分低能”的與實(shí)際應(yīng)用脫機(jī)的重要途徑，故“解決問題”也是一種實(shí)踐能力的培養(yǎng)。數(shù)學(xué)新課程改革中的教學(xué)目標(biāo)在此已十分明確，關(guān)于如何在教學(xué)中體現(xiàn)其教學(xué)目標(biāo)和達(dá)到要求，是一個(gè)十分重要的研究課題。課改以來，我國小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)重點(diǎn)“應(yīng)用題”不再是獨(dú)立的一個(gè)版塊，而是融合到各個(gè)的教學(xué)內(nèi)容中，我們要根據(jù)教改目標(biāo)批判地繼承應(yīng)用題教學(xué)的優(yōu)秀理論和經(jīng)驗(yàn)，積極的研究和實(shí)踐，總結(jié)和探索出解決實(shí)際問題教學(xué)經(jīng)驗(yàn)和基本規(guī)律，以期更好地落實(shí)課程目標(biāo)，提高教學(xué)質(zhì)量。
二、對數(shù)量關(guān)系分析的弱化——數(shù)量關(guān)系分析的重要性
從“應(yīng)用題”到“解決問題”，是傳統(tǒng)教學(xué)和現(xiàn)代教學(xué)的碰撞，兩種教學(xué)方式各有其特色：傳統(tǒng)應(yīng)用題是一種經(jīng)過簡化了的文字題，把一些現(xiàn)實(shí)問題抽象出來高度加工而成，缺點(diǎn)是遠(yuǎn)離了學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)；而“解決問題”則完全按著情境重設(shè)，重視素材的現(xiàn)實(shí)性和趣味性，表現(xiàn)方式也是學(xué)生喜聞樂見的圖文，且生動(dòng)形象，缺點(diǎn)是過于弱化了數(shù)量分析過程。兩者在表現(xiàn)方式上的不同，教學(xué)目標(biāo)上的偏重，直接導(dǎo)致了教學(xué)方式上的差異。新教材要求教師通過現(xiàn)實(shí)生活情境的創(chuàng)設(shè)，在日常教學(xué)之中把數(shù)量關(guān)系的運(yùn)用問題全面滲透。問題就暴露出來了，首先是教師不太適應(yīng)此種沒有重點(diǎn)，又全是重點(diǎn)的融合滲透教學(xué)方式，融合滲透讓課堂教學(xué)實(shí)踐中出現(xiàn)的生活情境過于泛濫，缺乏抽象的精簡，特別是缺乏對數(shù)量關(guān)系的專項(xiàng)訓(xùn)練以至于學(xué)生不能有效地結(jié)合情境來理解滲透了數(shù)量關(guān)系的運(yùn)用問題。其學(xué)生的課堂表現(xiàn)為：對解決問題望找不到思路，亂猜亂撞解題，對綜合列式不理解，理解能力差的學(xué)生的認(rèn)識(shí)和思維水平便只能停留在某些具體的情境上，而缺乏抽象概括能力。而實(shí)際上，基本的數(shù)量關(guān)系是幫助學(xué)生形成“解決問題”模型的基礎(chǔ)，換句話來說就是擁有概括和抽象問題本質(zhì)能力的底子，只有積累了基本的數(shù)量關(guān)系和結(jié)構(gòu)之后，掌握了基本的綜合分析方法之后，才能使學(xué)生在繁雜的情景之后進(jìn)行抽象的概括，有效地形成解決問題的思路，提高解決問題的能力。所以我們對傳統(tǒng)的教學(xué)方式應(yīng)該是批判和繼承，因?yàn)閷τ跀?shù)量關(guān)系的訓(xùn)練是解決傳統(tǒng)應(yīng)用題的核心教學(xué)方法之一。小學(xué)教育是基礎(chǔ)性教育，社會(huì)對小學(xué)成績沒有高考一般的關(guān)注，但是小學(xué)階段數(shù)量關(guān)系的算術(shù)運(yùn)用，將影響到學(xué)生以后對于方程和不等式知識(shí)等后續(xù)學(xué)習(xí)，因此小學(xué)階段數(shù)量關(guān)系運(yùn)用的教學(xué)十分重要。由此可見，盡管傳統(tǒng)的和新教改之后的教育目標(biāo)不同，但是教育方法卻應(yīng)是互補(bǔ)的。我們要把創(chuàng)設(shè)情境和還原生活問題與分析數(shù)量關(guān)系和形成解題模型并重，教學(xué)改革絕不是從一個(gè)極端走向另一個(gè)極端，而是通過新的方法來解決舊有的問題，反過來既有的經(jīng)驗(yàn)來指導(dǎo)新的解決方法。筆者結(jié)合本校教學(xué)組的經(jīng)驗(yàn)探討和思考，提出“將數(shù)量關(guān)系的運(yùn)用和運(yùn)用能力的加強(qiáng)，要紅會(huì)貫通到“小學(xué)‘數(shù)學(xué)解決’問題教學(xué)中”。
三、對數(shù)量關(guān)系的剖析——對數(shù)學(xué)化思維能力的培養(yǎng)
《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》強(qiáng)調(diào)：數(shù)學(xué)教學(xué)要“從學(xué)生已有的生活經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，讓學(xué)生親身經(jīng)歷將實(shí)際問題抽象成數(shù)學(xué)模型并進(jìn)行解釋與應(yīng)用的過程”。這個(gè)過程的實(shí)現(xiàn)能讓學(xué)生達(dá)成“解決問題”的教學(xué)目標(biāo)，更重要的是培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)化思維能力，因?yàn)槔蠋煹慕讨荒苁且粋€(gè)個(gè)案例，而思維能力才是目標(biāo)之中的目標(biāo)。
1．小學(xué)生在解決問題過程中的兩次轉(zhuǎn)化
小學(xué)生在“解決問題”的過程中，其思想上要完成兩次認(rèn)識(shí)上的轉(zhuǎn)化，第一次抽象出數(shù)學(xué)問題，是指從繁雜的實(shí)際問題中觀察、收集、篩選出有用的信息。第二次是探索出解決問題的方法，是根據(jù)已經(jīng)抽象出的數(shù)學(xué)問題，進(jìn)行全面的數(shù)量關(guān)系，并進(jìn)行檢驗(yàn)和運(yùn)用。這兩次轉(zhuǎn)化是一個(gè)完整的思維過程，矛盾也集中在傳統(tǒng)教學(xué)和新課改之后教學(xué)的的不同側(cè)重：傳統(tǒng)應(yīng)用題教學(xué)過于重視第二次轉(zhuǎn)化而忽視了第一次轉(zhuǎn)化，課改后的教學(xué)又過于重視第一次轉(zhuǎn)化而忽視第二次轉(zhuǎn)化。即傳統(tǒng)的教學(xué)不注重信息的搜集和整理，課改之后的教學(xué)不注重?cái)?shù)量關(guān)系的形成與分析。傳統(tǒng)的教學(xué)直接抽象出問題，導(dǎo)致學(xué)生脫離實(shí)際，課改之后教學(xué)從“生活情境”直接走向“應(yīng)用”，忽視了“數(shù)量關(guān)系形成”的數(shù)學(xué)建模過程，削弱了學(xué)生的思考過程以及學(xué)生對數(shù)學(xué)的理解。
至此，可見數(shù)量關(guān)系的教學(xué)仍然是“解決問題”的教學(xué)重點(diǎn)，它是引導(dǎo)學(xué)生由表及里、由淺人深的認(rèn)識(shí)問題的環(huán)節(jié)，是培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維能力的重要分析法。
2．?dāng)?shù)量關(guān)系的形成過程和運(yùn)用過程的有機(jī)統(tǒng)一
在以往的數(shù)量關(guān)系教學(xué)中，教師為了訓(xùn)練學(xué)生對運(yùn)用數(shù)量關(guān)系來解決應(yīng)用題的能力，編制了大量題型進(jìn)行操練，這種題型往往和學(xué)生的生活實(shí)際并不匹配，故而學(xué)生脫離實(shí)際。新課改正是針對這一問題才力求還原問題的生活原貌，以便讓學(xué)生通過進(jìn)入可理解的情境來求解。據(jù)國內(nèi)外的多項(xiàng)研究表明，在情景交融的教學(xué)中，學(xué)生解決問題時(shí)的重點(diǎn)是問題與運(yùn)算的意義，而不是問題和類型的聯(lián)系。因此，師者在將數(shù)量關(guān)系的形成過程和運(yùn)用過程運(yùn)用到新課改之后的教學(xué)過程中，首先要提供相對真實(shí)的現(xiàn)實(shí)情境，然后再將“現(xiàn)實(shí)情境”抽象出并引導(dǎo)進(jìn)“數(shù)學(xué)問題”的數(shù)量關(guān)系形成過程中，讓學(xué)生在過程中探索和理解數(shù)量關(guān)系。這種結(jié)合的過程將學(xué)生的個(gè)體“數(shù)學(xué)思考”能力強(qiáng)化，故“數(shù)量關(guān)系的形成”和“數(shù)量關(guān)系的運(yùn)用”有機(jī)統(tǒng)一是解決問題的教學(xué)的有效探索。
四、教學(xué)案例——對數(shù)量關(guān)系的提煉與概括
1．注重基本數(shù)量關(guān)系的理解和累積
前文說過，學(xué)生解決問題時(shí)的重點(diǎn)是問題與運(yùn)算的意義，故教師要充分的領(lǐng)會(huì)到教材編排循序漸進(jìn)的原則，引導(dǎo)學(xué)生將情境中的問題與運(yùn)算的意義相聯(lián)系，經(jīng)歷一個(gè)充分思考和體驗(yàn)的過程。以教學(xué)加法為例：如一上教材P40，靜態(tài)相加，兩部分合并，“3個(gè)男生和2個(gè)女生在澆花，澆花的一共有多少人？”動(dòng)態(tài)相加，在原有的人數(shù)上增加數(shù)量，“3個(gè)人在澆花，又來了2個(gè)人，現(xiàn)在有多少人?”二上教材P26，在“比較”情境中求較大的量，如“紅花片有11個(gè)，綠花片比紅花片多3個(gè)，綠花片有幾個(gè)?”這些例子首先在編排上就根據(jù)一年級和二年級學(xué)生的理解能力進(jìn)行了分級，其次情景交融有助于學(xué)生的參與熱情和理解，他們潛移默化的意識(shí)到情境中的問題與數(shù)學(xué)的意義，其基本的數(shù)量關(guān)系教學(xué)也會(huì)得到潛移默化的滲透，比如針對上述三個(gè)例題，學(xué)生可以依次建立部分量+部分量=總量、部分量+增加量=總量、較小量+相差量=較大量的數(shù)量關(guān)系模型，這種原始的積累和拓展，強(qiáng)化了學(xué)生對運(yùn)算本質(zhì)的理解，逐步鞏固了學(xué)生對運(yùn)算意義理解和建構(gòu)過程，為學(xué)生解決問題能力的加強(qiáng)打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。
2．加強(qiáng)常見數(shù)量關(guān)系的抽象概括能力。
數(shù)量關(guān)系除了有按加、減、乘、除意義總結(jié)的一些基本關(guān)系，也有一些密切結(jié)合了某種素材的常見數(shù)量關(guān)系。如：工作效率×工作時(shí)間=工作總量。教師在教學(xué)中應(yīng)鼓勵(lì)學(xué)生多多根據(jù)自己掌握的知識(shí)結(jié)合實(shí)際來自己出題，通過學(xué)生自己的出題，教師進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行梳理和歸納，而得出更簡約、更概括的數(shù)量關(guān)系模型來抽象自主構(gòu)建“原生態(tài)”數(shù)量關(guān)系。比如學(xué)生自我設(shè)定一個(gè)問題情境：“做一個(gè)長為8厘米、寬5厘米、容積為360立方厘米的長方體紙盒，最少需要用多少平方厘米的紙板?”學(xué)生首先就會(huì)在腦海里浮現(xiàn)出一個(gè)長方體的樣子，然后長度、寬度和容積已經(jīng)給出，第一步要求出高度，學(xué)生就會(huì)運(yùn)用長×寬×寬=容積的數(shù)量關(guān)系，第二步求面積，由于長方體三組相對面的面積相等，故學(xué)生會(huì)得出數(shù)量關(guān)系長×寬×2＋寬×高×2＋長×高×2。老師進(jìn)一步引導(dǎo)，學(xué)生又可以轉(zhuǎn)換角度，引導(dǎo)學(xué)生考慮長方體的六個(gè)面只有兩種大小，故可以其分為兩組來求和，由此得出新的數(shù)量關(guān)系(長×寬＋寬×高＋長×高)×2。這種拓展思維、加強(qiáng)抽象概括能力的訓(xùn)練相當(dāng)于有成效，因?yàn)閺亩喾N角度來思考更能明晰數(shù)量關(guān)系之間的本質(zhì)聯(lián)系。由此可見，新課改之后依然要求對學(xué)生進(jìn)行數(shù)量關(guān)系的抽象訓(xùn)練，強(qiáng)調(diào)加強(qiáng)基于學(xué)生對數(shù)學(xué)理解的前提下的數(shù)量關(guān)系的抽象和概括。
五、分析數(shù)量關(guān)系的基本方法——探求解決問題之道
解決問題的策略是具有多樣性的，但是對于常規(guī)問題的解決，師者在教學(xué)過程中完全可以通過不斷地訓(xùn)練讓學(xué)生獲得解題策略。對于某些不守成規(guī)的問題，教師則應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生在理解了常規(guī)策略的基礎(chǔ)上，鼓勵(lì)學(xué)生創(chuàng)新驗(yàn)，并形成個(gè)性化的解題策略。
1．熟練運(yùn)用分析數(shù)量關(guān)系的基本法
經(jīng)驗(yàn)之所以可傳承，首先是通過了實(shí)踐檢驗(yàn)，對于傳統(tǒng)的應(yīng)用題教學(xué)中我們積累了許多經(jīng)驗(yàn)，如分析法、作圖法、綜合法等等，其次是基本的經(jīng)驗(yàn)具有廣泛的基礎(chǔ)性、普適性和遷移性，基礎(chǔ)性和適用性適用于解決基本問題，遷移性則適用于拓展解決問題的空間，故基本的數(shù)量關(guān)系以及運(yùn)用經(jīng)驗(yàn)是解決問題必須具備的基本能力之一。在教學(xué)中，教師仍然要重視對學(xué)生運(yùn)用“綜合思維”以及“分析思維”能力的強(qiáng)化訓(xùn)練，對一些常規(guī)性的問題解決要進(jìn)行比較完整的“說理訓(xùn)練”，為學(xué)生指明思考問題的方向，這個(gè)說理的過程就是結(jié)合了對數(shù)量關(guān)系的解題思路，即數(shù)學(xué)化思維能力的訓(xùn)練。
2．分析數(shù)量關(guān)系的基本方法應(yīng)與解決問題策略搭建橋梁
現(xiàn)實(shí)情況是復(fù)雜的，師者的任務(wù)就是引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)從紛繁的具體問題中跳出來，將具體的問題抽象成數(shù)學(xué)問題從而去解決問題。通過論述，我們可以確定，通過新課改的“解決問題”和傳統(tǒng)的“應(yīng)用題”的所長，所有的問題都能通過基本方法找到其隱含的數(shù)量關(guān)系。如同除了最基本的數(shù)量關(guān)系之外，應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生更多的拓展數(shù)量關(guān)系一樣，對于解決問題的策略，我們除了最基本的分析問題的方法之外，也要要求學(xué)生具備更多的解決問題的策略。新課改在實(shí)際上已經(jīng)搭起了隱形的一個(gè)分析方法與解決問題的橋梁。對于發(fā)展學(xué)生的策略意識(shí)方面，新教材已在第二學(xué)段的每冊均開辟了獨(dú)立的“解決問題的策略”單元，一些諸如列表整理、枚舉、假設(shè)、轉(zhuǎn)化和還原等基本的解題策略也被循序漸進(jìn)的介紹給師生。對于在具體的解決問題的過程中，我們倡導(dǎo)結(jié)果的統(tǒng)一而不要求過程的一致，因?yàn)閿?shù)量關(guān)系是可以拓展的，是可以多樣化的，多樣化數(shù)量關(guān)系相應(yīng)的就有多樣化的解題策略，將分析數(shù)量關(guān)系的基本方法和解決問題的策略有機(jī)合的共同作用下，可以找到多種解決問題的方法和途徑，并找出最佳方法和途徑。比如對于一個(gè)具體的“解決問題”，首先，可以運(yùn)用數(shù)量分析與綜合的方法，理清現(xiàn)實(shí)情境中出現(xiàn)的條件和問題之間的數(shù)量關(guān)系。其次從多種基礎(chǔ)策略中選擇有效策略并構(gòu)建恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型，以數(shù)學(xué)符號、數(shù)學(xué)圖形、數(shù)學(xué)表達(dá)式、數(shù)學(xué)概念清楚地表達(dá)出來，對于信息的隱含比較深的問題，還可以借助數(shù)學(xué)化的手段，如畫輔助圖、信息列表、關(guān)系轉(zhuǎn)化等來梳理信息之間的數(shù)量關(guān)系，用數(shù)學(xué)語言構(gòu)建基本模型，進(jìn)而解決問題。再次是在建立了數(shù)學(xué)模型的基礎(chǔ)上進(jìn)行數(shù)學(xué)演算和邏輯推理，并做出問題的解答。最后，是把答案放回到問題出檢驗(yàn)數(shù)學(xué)模型的選擇正確與否，檢驗(yàn)問題是否得到了解決。
六、結(jié)論
綜上所述，教育的本質(zhì)就是提高人的素質(zhì)，而小學(xué)的基礎(chǔ)教育今后接受教育的基石。在解決問題的過程中重視數(shù)量關(guān)系教學(xué)，不僅是為了解決問題，也不僅是完善“解決問題”教學(xué)的方法，更重要的是培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)化思維能力，這才最接近教學(xué)改革的理想。