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數學思想方法的應用范文1

一、數形結合思想

數形結合思想是指將數（量）與形（圖）結合起來，分析研究并解決問題的一種思維策略，利用平面直角坐標系，使平面上的點與有序數之間構成一一對應關系，直觀形象，為分析問題和解決問題創造了有利條件。

例：某電信公司推廣寬帶網業務，用戶通過寬帶網可以享受影視欣賞、股市大戶室等服務，其上網費用的收取方式有以下三種：

方案一：每月80元包月；

方案二：每月的上網時間x（h）與上網費用y（元）的函數關系如右圖

方案三：以0小時為起點，每小時收取1.6元，月收費不超過120元。

設一用戶上網時間為x（h），月上網總費用為y（元）。

（1）根據所給圖形，寫出方案二中y與x的函數關系式（0≤x≤100）；

（2）試寫出方案三中y與x的函數關系式；

（3）試問：此用戶每月上網60h，選用哪種方式上網費用最少？

分析：利用數形結合思想求解，根據圖象可知函數是一個分段函數，當0≤x≤50時是一個常數函數，當50

解（1）當0≤x≤50時，y=58；當50

58=50k+b118=100k+b

解得k=，b=-2， 故y=x-2，

（2）y=1.6x

y≤120， 1.6x≤120，即x≤75，故x 的取值范圍是0≤x≤75.

（3）當x=60時，方案一的上網費用為80元；

方案二的上網費用為×60-2=70（元）；

方案三的上網費用為1.6x=1.6×60=96（元）.

故選用方案二上網，費用最少。

二、分類討論思想

分類討論法思想也是一種重要的數學思想，它在初中數學解題中有著廣泛的應用，近些年的中考中占有重要的位置，特別在解壓軸題時起很重要的作用。

例：某果品公司1月份銷售A、B兩種水果，A水果的噸數不少于B水果噸數的3倍，A水果每噸的利潤為2000元，B水果每噸的利潤為3000元，總利潤可達90000元。根據1月份的銷售情況，2月份公司銷售部門提出了三種調價方案：

方案一：A水果每噸利潤降低20%，銷售量增加50%；B水果每噸利潤降低50%，銷售量增加80%；

方案二：A水果每噸利潤降低25%，銷售量增加60%；B水果每噸利潤降低40%，銷售量增加60%；

方案三：A水果每噸利潤降低40%，銷售量增加80%；B水果每噸利潤降低30%，銷售量增加50%；

（1）設1月份銷售A種水果x，B種水果y，求y與x的函數關系式（x>0，y>0），并求出自變量x的取值范圍；

（2）果品公司2月份提供的三種銷售方案都一定比1月份的利潤多嗎？請說明理由；

（3）如果你是某公司的總經理，從增加利潤的目標出發，你會選擇哪一種方案？

分析：方案設計是一次函數的綜合應用，在解答過程中，應對幾種方案進行分類討論以免漏解.

解（1）2000x+3000y=90000，y=30-x（30≤x

（2）W1=2400x+2700y， W2=2400x+2880y， W3=2160x+3150y，

顯然，W3>2000x+3000y=90000，故方案三能增加利潤；

W1=2400x+2700×（30-x）=600x+81000，又30≤x

所以W1的最小值為600×30+81000>90000，故方案一也能增加利潤.

因為W2>W1，所以三種方案的利潤均能比1月份多.

（3）因為W2>W1，故只須比較W2與W3的大小，

W2-W3=240x-270y=240x-270×（30-x）=420x-8100， 又30≤x

所以W2>W3，故應選擇方案二。

三、轉化思想

數學解題的本質就是轉化，即把生疏問題轉化為熟悉問題，把抽象問題轉化為具體問題，把復雜問題轉化為簡單問題，把一般問題轉化為特殊問題，把一個綜合問題轉化為幾個基本問題。

例：甲、乙兩人行走的路程與時間的函數關系分別是正比例函數和一次函數，其圖象如圖所示，根據圖象回答：

（1）甲、乙兩人行走的路程s（千米）與時間t（時）的函數關系式；

（2）甲、乙兩人的速度各是多少？

（3）誰晚出發，經過幾小時可以追上？

解（1）設甲的函數關系式為s1=k1t.

由圖可知，點P（5，20）在圖象上，

20=5k1， k1=4，

s1=4t（0≤t≤5）.

乙的圖象過點Q（1，0），P（5，20），設乙的函數關系式為s2=k2t+b.由待定系數法可求出k2=5，b=-5，s2=5t-5（0≤t≤5）.

（2）甲的速度為=4（千米/時），乙的速度為=5（千米/時）.

數學思想方法的應用范文2

關鍵詞：高中數學函數數學思想方法

中圖分類號：G632 文獻標識碼： C文章編號：1672-1578（2012)03-0126-01

函數是描述客觀世界變化規律的重要數學模型，是高中數學學科知識的重要組成部分，在各章節知識體系中具有橋梁和紐帶的作用，函數概念的產生標志著數學思想方法的改變，從常量數學轉成變量數學，函數的教學能夠使學生懂得一切事物都是在不斷變化、相互聯系與制約中的，從而了解事物的變化趨向及其運動的規律，對于培養學生的辯證唯物主義觀點、解決實際問題的能力是一個有效的工具[1]。因此，我們有必要去探討如何將高中數學思想方法滲透應用到高中函數教學中，提高課堂教學質量，讓學生對函數學習產生興趣。

1 集合思想

集合是指由一些特定的事物組成的整體，而這些事物中的每一個稱為這個集合的一個元素。將集合思想融入到高中函數教學中，培養學生的集體意識，并利用高中數學重要特點——嚴謹性，在邏輯用語中教會學生認真看清楚題目，理解題目的意思，并能夠從題目中給出的條件推敲出其他的條件，能夠分析哪些是有幫助的、哪些是誤導自己的。將有幫助、有用的條件歸為一個整體，從而為成功解題做好鋪墊。

2 函數與方程思想

函數與方程思想是高中數學函數的基本思想，也是歷年高考的重點和難點，現行的高中教材主要以知識結構作為編寫體系，而其中所蘊含的數學教學思想則是散見于整個教材之中，因此，大多數的學生只側重于用一種方法做一道題，不會舉一反三，這樣就導致了數學思想方法的教學主觀隨意性。函數思想是指采用運動和變化的觀點來建立函數關系或構造函數，運用函數的圖象和性質去分析問題，轉化問題，從而解決問題；方程思想是指分析數學教學問題中的變量間的等量關系，從而建立方程或方程組或者構造方程，運用方程的性質去分析、轉化問題，從而順利的解決問題[2]。函數與方程思想在數學教學中非常強調學生能力的培養，并注重學生的運算能力與邏輯思維能力的訓練，可以讓學生將所學的知識運用到生產和生活實際工作去，同時，也學到了解題的技能和技巧，并不斷的理解題目中蘊含的數學思想，更加主動的應用于社會實踐中去。隨著高考對數學思想考查力度地加大，函數與方程思想在高考試題中出現的頻率越來越高，并滲透到中學數學各個領域，應予以重視。

3 化歸、類比思想

所謂化歸、類比思想是指把需要解決的問題轉化歸結為已有知識范圍內可解的問題的一種數學意識，也就是將陌生化為熟悉，將復雜化為簡單，將抽象的問題轉化為具體直觀的問題，將一般性的問題轉化為直觀的、特殊的問題。化歸、類比思想是高中數學函數中最基本的思想方法，函數中一切問題的解決都離不開化歸與類比，高考的大部分試題的條件與目標的聯系不是顯而易見的，只有在不斷的轉化過程中才能發現所給條件與目標之間的聯系，從而歸結為一個能夠解決的問題。數學創造性思維具有高度的概括性、靈活性、廣闊性、獨立性、論證性等，是各種數學思維品質相互結合、高度協調的產物，又是邏輯思維、形象思維、發散思維等各種思維形式的辯證統一。由于數學思想方法對人們學習和應用數學知識解決問題過程中的思維活動起著指導和調控作用，所以它具有良好的思維訓練功能。例如，符號的引入便數學思維抽象化，能夠突出思維的概括性、簡潔性。在解析幾何的教學中，直線的斜率用符號表示，傾斜角用α表示，所以直線的斜率可以表示為k=tanα。學生理解k=tanα并不難，難的是用數學語言敘述，即直線的斜率等于傾斜角的正切值，反過來也一樣，不會把數學語言轉化成數學表達式。熟悉數學化歸思想，有意識地運用數學變換的方法去靈活解決有關的數學問題，將有利于強化在解決數學問題巾的應變能力，有利于提高學生解決數學問題的思維能力、技巧和技能[3]。

4 整形結合思想

數形結合思想是指在研究與解決數學問題時，將反映問題的抽象的數量關系與直觀的平面和空間圖形結合起來思考解決問題的辦法，也是將抽象思維與形象思維有機地結合起來解決問題的一種重要的數學解題方法[4]。它具有直觀性、靈活性、形象性特點，并跨越各科的知識界限，有較強的綜合性，可以說有了形就有了一切，所以我們在解題時應多觀察圖像和等式的形狀，看是否具有幾何意義。運用整形結合的思想解決函數問題，可以使得學生在學習中得心應手，輕松自如。

5 先猜后證思想

先猜后證是一種重要的數學思想，即大膽猜測，小心求證。牛頓說：沒有大膽的猜想，就做不出偉大的發現，“猜”不是瞎猜、亂猜，而是要在探索中去猜，要以直覺為先導，以聯想為手段，以邏輯為根據，以觀察為向導，以思維為核心地去猜。學生在高中函數學習中，認真應用先猜后證的思想，有利于促進學生的學習意識，可以提高他們學習的積極性，激發其對解決問題的探索創造性，面對未解決的問題，可以假設猜測題目的最終答案，然后運用所有的知識一步一步的剖析問題，去解決問題[5]。

數學思想方法的滲透應該體現在學生函數學習的全過程中，應該體現在數學函數教學的各個環節，只有這樣，才可能日積月累，逐步形成具有無限生命力的思想方法體系，“授人以魚，不如授人以漁”，方法的掌握，思想的形成，會使學生受益終生，這正是數學教育的根本的所在[6]。此外，課堂教學確定合理的教學目標十分重要，在不同的教學階段應該給學生以不同層次的學習體驗。高一、高二新授課的函數教學，要十分注重基礎知識和基本技能，并在此基礎上注重引導學生感悟數學函數的基本思想，從而為后續的教學和高三的復習教學作必要和可能的鋪墊。

【參考文獻】

[1]蔡文龍.關于高中數學思想方法教學的幾點思考[J].基礎教育論壇,2009,3(5)：30-31.

[2]劉國明.職業高中數學課堂教學中滲透數學思想方法教學初探[J].新西部,2009,16(5)：227-228.

[3]鄧勤.新課程背景下初高中數學教學的有效銜接--從函數概念的教學談起[J].數學通報,2011,50(2)：33-35.

[4]周俊.數學思想在求“函數值域”中的應用[J].試題與研究,2011,4(2)：61.

數學思想方法的應用范文3

關鍵詞：初中數學思想；化歸理論；實踐應用

新時代的數學課改方向，著力于培養學生學習數學的思想和方法，尤其是新課程越來越普及，方法的歸納總結更成為了中學數學研究的重點，此時，各個中學數學教育中對于解題思想的研究越來越成為教育者共同關注的焦點。對解題方法有效的歸納總結有利于數學思維的形成，對數學學習的方法應用上有很大好處。初中學習數學的主要思想歸納為分類討論、化歸以及數形結合等。而幾種數學思想當中最重要也最基礎的就是化歸思想，這種思想方法在學生整個初中階段的學習都有涉及，可以有效幫助學生打通數學思想道路上的阻礙，幫助學生建立良好通暢的數學學習思想。

一、認識化歸思想

1.1化歸思想概念

在對初中數學進行教授過程中，將正在研究的數學課題或題目運用轉化法將其簡單化既是化歸方法。這種轉化法巧妙地將一道題目中的瓶頸問題得以轉移，問題迎刃而解。直白地講，就是將復雜的問題簡單化，繁瑣的步驟明了化，找到數學解題方法的捷徑，歸納總結加以應用。數學解題過程中時刻保持這種解題思想的應用，就會常常有柳暗花明又一村的感覺，久而久之，自身的數學解題能力加強了，解題思想深化了，解題方法更好了。具體應用比如：很多數學問題往往題目復雜特殊，而且考察的知識點眾多，越具有綜合性，但利用化歸的思想，就可以將題目拆分為幾個點，使較綜合的題目變得清晰明了，這樣在解題時就不會偏離解題方向。由此可知，化歸的思想方法并不像以往的解題方案直接看到題目不管三七二十一就開始解，而是首先對題目有一個宏觀的把控，進而將其拆分、變形，使其變成幾個小題目，解決起來更加得心應手。

雖然化歸本身是一種數學解題思想方法，但運用化歸方法時也有細的劃分如：構造法、分解組合法、坐標法、消元法、圖形變換法、換元法等等。解題時要注意合理運用化歸的步驟：首先，看清題目，找到要進行化歸的部分；其次，宏觀掌握，清楚化歸的最終目標，從而進行合理的化歸應用；最后正確使用化歸方法中的分支方法，避免偏頗，使問題得到有效簡明的解決?？偟膩碚f，化歸思想在中學數學中的應用，就是將各種解題思想歸納統一的結果。[1]

1.2化歸方法的重要性

化歸的數學思想之所以如此普遍地應用，正是因為它的可操作性很強，不論是簡單還是復雜的數學問題，都可以運用這種方法來解題。例如，數學題目中很多的代數問題讓學生們頭疼，尤其是解方程，此時，運用化歸的解題思想可以將方程分析為簡易的形式，使復雜的方程組拆分為一元一次的形式或一元二次的形式，這樣一來復雜的問題馬上就變得簡單了。同樣，解方程式多加運用化歸思想還可以將高次方程簡化為低次的形式，分式題目變為整式形式等等。其實，這些方法在我們中學數學學習中屢見不鮮，只是我們現在統一把它們稱為化歸方法。雖然數學學習過程中，題目的種類多樣，感覺總有做不完的題，但漸漸的我們可以發現，很多題目都是換湯不換藥，只要我們掌握了一道題目，就相當于掌握了千百道題目，這就要求我們良好的運用數學解題思想，從而幫助我們更加快速高效地解決數學題目。

我們在中學數學學習中主要學習的就是代數和幾何的運用。剛才我們分析了化歸思想在代數中的運用，其實幾何學習中化歸思想也是得以重點使用的。例如，在對多邊形的研究中，我們往往可以將一個較為復雜的圖形分解為幾個較容易分析的簡單多邊形，甚至將其轉化為三角形、四邊形的知識來加以解決，這樣不僅使圖形看上去更直觀，就連解題時的步驟也更加簡單明了。很多時候，我們在解決一個斜角的三角形問題時，就可以通過對其作高的方式將這個問題轉化為直角三角形問題加以解決；在對梯形多邊性問題加以解決時，也可以通過添加平行輔助線的形式，將問題簡單化；解決圓形圖形問題時，同樣可以通過作垂線等方法來解決等等。這些方法其實都是化歸思想的具體運用，同學們在解決數學題目時應多思考，用不同方法對題目加以分析，看待問題的角度不同往往解決方法也不同。同樣的，如果在知識運用過程中發掘出了好方法，那么更應該溫故而知新，讓自己的學習方法得到鞏固，這樣才能更好更快的提高自己的學習效率。[2]

二、教學過程中積極運用化歸的教學方式

2.1要重視化歸思想

化歸思想的應用不僅體現在學生解題方面，更體現在師生教學過程中的互動中，教師教學中對于解題方法的傳授方式對學生影響很大。因此，教師們對于化歸方法的教授要落到實處。與此同時，教育工作者更應在教學過程中強化和滲透學生對化歸方法的使用。說到底，化歸方法不只是一種方法，也是一種看待事物的思想，我們不應把眼光集中在一個角度去觀察事物，而是應該全方位多角度地對事物加以分析，往往會發現，事物的變化與不變都是相對的。就如之前對代數與幾何問題的分析就是如此，眼光的遠近決定了問題的難易。同樣地，在數學的教學過程中，教育者們應多加強化這一思想觀念。[3]

2.2增強學生化歸方法運用意識

要求學生強化化歸方法使用意識之前，首先教師們就應該對這種思想加以深刻領悟，掌握化歸思想并靈活變通，在教學過程中多舉實例，并對學生進行正確領導，強化學生解題時化歸思想的應用。不論是課堂活動還是解題時間，老師們的積極引導對學生化歸思想的理解和深化都有重要意義。因此，在教學過程中，教師們應有意無意地讓學生們對新舊知識的解決方法加以歸納總結，逐漸建立適合于自身的化歸解題方法，提高解題效率。與此同時，同學們也應積極參與思考，增強化歸思想的記憶，鍛煉自身的解題思維，幫助大腦靈活運用知識。[4]

三、總結

通過以上對化歸思想的研究分析發現，化歸思想并不是一成不變的，也不是唯一的，只有學生們真正將其加以運用和實踐并轉化為屬于自己的學習思想，才能真正為己所用。老師和同學們都應積極參與探究、自主學習，使學生和老師得以良好互動，化歸思想才能更好地運用于課堂教學當中來?？偠灾?，化歸思想在中學數學教育中有著舉足輕重的地位，數學教育者和中學學生應真正重視這種思想方法的應用，這樣才能對師生的教育學習道路起到良好的鋪墊作用。

參考文獻

[1]馬艷，馬貴.化歸思想方法在中學數學教學中的應用――以解方程為例[J]. 北京教育學院學報（自然科學版），2012，03

[2]戴華君.淺議化歸思想在初中數學教學中的應用[J]. 科教文匯（下旬刊），2011，05

數學思想方法的應用范文4

世界數學大師波利亞強調：“不斷地變換你的問題”，“我們必須一再變化它，重新敘述它，變換它，直到最后成功地找到某些有用的東西為止.”他認為，解題過程就是“轉化”過程.因此，“轉化”是解數學題的重要思想方法之一.

使問題通過轉化而求得解決，是數學上普遍的做法.從思維結構上看，是首先對一些基本原理、基本法則和典型問題的解法及結論形成深刻的認識，當我們遇到生疏的或繁難的問題時，通過這些問題與基本問題的關系，“化生為熟、化繁為簡”解決問題.轉化的方式，有時是等價的，即轉化前后的命題保真（二者的成立與否互為充要條件），此時必須追加其他步驟.本文主要從等價轉化思想的含義、重要性以及用途等方面來進行論述.

一、等價轉化的含義以及運用的目的

1.等價轉化的含義

著名的數學家，莫斯科大學教授C?A?雅潔卡婭曾在一次向數學奧林匹克參賽者發表《什么叫解題》的演講時提出：“解題就是把要解題轉化為已經解過的題.”數學的解題過程，就是從未知向已知、從復雜到簡單的化歸轉換過程.等價轉化是把未知解的問題轉化到在已有知識范圍內成為可解決的問題的一種重要的思想方法.通過不斷的轉化，把不熟悉、不規范、復雜的問題轉化為熟悉、規范甚至模式化、簡單的問題.我們要不斷培養和訓練自覺的轉化意識，這將有利于強化解決數學問題中的應變能力，提高思維能力和技能、技巧，還會讓學生在解題的過程中事半功倍，提高學習效率.

2.運用等價轉化的目的

（1）小為對問題的局部進行轉化.對問題的某個條件或結論作出轉化；如式的恒等變形、三角函數值與角終邊滿足的條件的轉化等等.這種轉化主要是為了能直接運用一般規律和結論.

（2）中為命題轉化.例如根據原命題和逆否命題的等價性進行轉化等.這種“不同說法”之間的轉化常常可以使那些“理不清”或“說不清”的問題變得容易判斷、理解.

（3）大為對問題整體上的轉化.諸如代數、三角、幾何領域之間的跨躍式轉化.近年來的高考對等價轉化思想的考查十分重視.而就考生來說，同前三種數學思想相比，這又是理解較薄弱的，譬如將等價轉化誤解為就是恒等變形，其實恒等變形只是式子的保值不變，而等價轉化則是命題的保真不變.

二、等價轉化的用途

等價轉化思想方法的特點是具有靈活性和多樣性.在應用等價轉化的思想方法去解決數學問題時，沒有一個統一的模式去進行.它可以在數與數、形與形、數與形之間進行轉換；它可以在宏觀上進行等價轉化，如在分析和解決實際問題的過程中，普通語言向數學語言的翻譯；它可以在符號系統內部實施轉換，即所說的恒等變形.消去法、換元法、數形結合法、求值求范圍問題等等，都體現了等價轉化思想，我們更是經常在函數、方程、不等式之間進行等價轉化.可以說，等價轉化是將恒等變形在代數式方面的形變上升到保持命題的真假不變.由于其多樣性和靈活性，我們要合理地設計好轉化的途徑和方法，避免死搬硬套題型.

1.等價轉化在條件方面的作用

在一道數學問題中，假設擁有A、B兩個條件，若干B是A的充要條件，那么用B代替A或者A的后續步驟，可以使問題更容易得到解決，這就是等價比在轉化條件方面的作用.

例1已知函數f（x）=2（a2-5a+6）x+41是減函數，求實數a的取值范圍.

解依據復合函數“同增異減”的單調性質，函數f（x）是減函數，等價于函數g（x）=（a2-5a+6）x+41是減函數；g（x）是減函數， 又等價于a2-5a+6

解得-1

所以， 實數 a的取值范圍是{a |-1

條件等價轉化在此問題的解答過程中，被運用了兩次.即f（x）是減函數g（x）是減函數a2-5a+6

數學題的解答過程就是用已知的條件獲悉可知的條件，最后推算出未知的條件.在這個過程中條件等價轉化的方法可以被多次使用.

例2已知函數f（x）=log2（x2-ax+1）的定義域是（-∞，+∞），求實數a的取值范圍.

解首先，將已知函數f（x）的定義域是（-∞，+∞）轉化為對任意的實數x，不等式x2-ax+1>0恒成立；其次，再把不等式x2-ax+1>0恒成立轉化為Δ=（-a）2-4

這道題告訴我們，題目中的結論也可能是“條件轉化”中的“條件”，而不僅僅是題目中的題設或已知.

2.等價轉化在命題方面的作用

如果在一道題目證明命題真假的過程中遇到困難，可以采用等價轉化的方法，來證明此命題的等價命題是否正確，通過這種變通的方式，讓解題過程變得更加的容易.相對于條件轉化來說，命題轉化是一種整體的轉化，而不僅僅是部分的轉化，其本質是探究解決一些問題的總體策略和思路.

例3已知x2+y2=2， 求證：x+y≤2.

解當x+y>2時，有x2+y2=[SX（]1[]2[SX）][（x+y）2+（x-y）2]>[SX（]1[]2[SX）]（22+02）=2，所以，x2+y2≠2.以上表明，若x2+y2=2，則x+y≤2的逆否命題為真命題，所以，原命題成立.

在此問題的解答過程中，所運用的方法就是典型的命題等價轉化的思想.將問題從一個較難的命運轉化為相對較為簡單的命題，再進行論證，降低了解題的難度，提高了學習效率.

例4條件p：|x+1|>2，條件q：1/（3-x）>1，則條件p是條件q的

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

如果在解析此題的過程中，不使用命題轉化法，直接解答起來會比較棘手，如果使用命題等價轉化法，把命題看成是q是p的什么條件，這樣問題解決起來會容易得多.

另一方面，在證明的過程中，命題等價轉化思想方法應用得最多的是“反證法”.

三、化歸中的等價轉化

化歸不僅是一種重要的解題思想，也是一種最基本的思維策略，更是一種有效的數學思維方式.所謂的化歸思想方法，就是在研究和解決有關數學問題時采用某種手段將問題通過變換使之轉化，進而達到解決的一種方法.一般總是將復雜問題通過變換轉化為簡單問題；將難解的問題通過變換轉化為容易求解的問題；將未解決的問題通過變換轉化為已解決的問題.總之，化歸在數學解題中幾乎無處不在，化歸的基本功能是：生疏化成熟悉，復雜化成簡單，抽象化成直觀，含糊化成明朗.說到底，化歸的實質就是以運動變化發展的觀點，以及事物之間相互聯系，相互制約的觀點看待問題，善于對所要解決的問題進行變換轉化，使問題得以解決.實現這種轉化的方法有：待定系數法，配方法，整體代入法以及化動為靜，由抽象到具體等轉化思想.

如果說條件和命題的等價轉化只是一道題目中部分和整體的轉化，那么，就是對某一類數學問題的等價轉化.當然，化歸包含的方法不僅僅只包括等價轉化法.其目的是為了總結出一套解析數學題的方法.

例5比較下列各組數的大小

①321與322；②log31.1與log31.11.

對于這兩道題目，總體思路是一樣的，但在解題過程中使用的方法不一樣，第（1）小題要通過指數函數y=ax的單調性來解決，第（2）小題要通過對數函數y=logax的單調性來解決，在這種情況下，可以將它們化歸為函數的單調性問題.

例6在直三棱柱ABC-A1B1C1中，ABC是以∠A=120°為頂角的等腰三角形，AA1=BC.

（1）求異曲直線AB1與A1C所成角的余弦值；

（2）求直線AB1與平面AA1C1C所成的角的正弦值；

（3）求二面角A1-AC-B的平面角θ的余弦值；

（4）求點C1到平面ACB1的距離.

可以用解析幾何的方法，利用相對應的空間直角坐標系來解出這道題目.在這道題目中，可以看出立體幾何中最具代表性的四種問題，在解題的過程中，使用解析幾何方法的同時，還應該用化歸的思想去剖析.可以得出：

（1）第一，在確定兩條異曲直線AB與CD所成的角θ的大小有困難時，可以通過求兩直線的方向向量的夾角來實現，即cosθ=|cos〈AB[TX]，CD[TX]〉|.

（2）設直線m是平面α的一條斜線，[WTHX]n[WTBX]是平面α的法向量，確定直線m與平面α所成的角θ的大小有困難時，可以通過公式sinθ=|cos〈[WTHX]m，n[WTBX]〉|來完成.

（3）計算二面角的大小，可以借助計算兩平面法向量的夾角的大小來實現.

（4）求點P到平面α的距離d有困難時，可以向平面引（找）斜線，如：PA，A∈α，[WTHX]n[WTBX]為平面α的法向量，d=[SX（][WTHX]n[WTBX]?PA[TX][]|[WTHX]n[WTBX]|[SX）]來完成.

數學思想方法的應用范文5

數學思想，是指現實世界的空間形式和數量關系反映到人們的意識之中，經過思維活動而產生的結果。數學思想是對數學事實與理論經過概括后產生的本質認識；基本數學思想則是體現或應該體現于基礎數學中的具有奠基性、總結性和最廣泛的數學思想，它們含有傳統數學思想的精華和現代數學思想的基本特征，并且是歷史地發展著的。通過數學思想的培養，數學的能力才會有一個大幅度的提高。掌握數學思想，就是掌握數學的精髓。

數學方法即用數學語言表述事物的狀態、關系和過程，并加以推導、演算和分析，以形成對問題的解釋、判斷和預言的方法。

一種數學思想的形成絕不是一朝一夕可以做到的，古往今來世人留下的數學思想方法非常豐富，這些數學思想方法有難的但也有容易的，所以，數學思想方法的教學不只是中學、大學教師的事，小學階段進行數學基礎知識的教學時，適時適度滲透數學思想方法，不僅成為一種可能，也成為一種必需。因此，在小學數學課堂中滲透數學思想是十分重要的。

二、重要的數學思想值得在課堂中應用

1、化歸思想。化歸思想就是將待解決的或者難以解決的問題A經過某種轉化手段，轉化為有固定解決模式的或者容易解決的問題B，通過解決問題B達到解決問題A的方法?；瘹w的原則有化未知為已知、化繁為簡、化難為易、降維降次、標準化等。

2、數形結合思想?！皵禑o形，少直觀；形無數，難入微。”利用“數形結合”可使所要研究的問題化難為易、化繁為簡。把代數和幾何相結合，例如對幾何問題用代數方法解答，對代數問題用幾何方法解答，這種方法在解析幾何里最常用。例題：有某種濃度的酒精溶液，加1杯水后，濃度變為25%，再加1杯純酒精后，濃度變為40%，求原來酒精溶液的濃度。

分析：這道題條件中沒有原來溶液的容量，濃度一會兒是25%，一會兒又是40%，數量關系看似十分繁雜，難以理解。我在教學中是用下面形象的圖形表示其數量關系來引導學生思考的。

25%=1/4，40%=2/5，用代表1份酒精，用■代表1份水。

加1杯水濃度為25%，即　，圖示為：■■■

再加1杯酒精濃度為40%，也即　，圖示為：■■■

由上圖很容易得出：

1份酒精、1份水剛好也是1杯酒精、1杯水，如不加1杯水和1杯酒精，原酒精濃度由圖示應為：■■■--■=■■

即原酒精溶液的濃度為1/3，也即33.3%。

3、分類討論思想。當一個問題因為某種量或圖形的情況不同而有可能引起問題的結果不同時，需要對這個量或圖形的各種情況進行分類討論。

4、方程思想。當一個問題可能與某個方程建立關聯時，可以構造方程并對方程的性質進行研究以解決這個問題。

例題：六年級學生元旦晚會上教室里掛滿了紅、黃、綠三種顏色的彩燈，笑笑、欣欣、童童統計彩燈的數量，笑笑發現紅、黃、綠三種顏色的彩燈共65個，欣欣發現紅色和綠色彩燈之和比黃色的多1個，而童童發現紅色彩燈比綠色的多15個。聰明的小朋友，你能幫三位小朋友計算一下教室中紅、黃、綠三種顏色的彩燈各有多少個嗎？

分析：設紅、黃、綠三種彩燈分別有a、b、c個，則根據題意可得：a+b+c=65，a+c=b+1，a=15+c。通過三個式子發現每個式子中都有a，故可設紅色彩燈有x個，于是黃色的就有（x-15）個，綠色的有（x+x-15-1=2x-16）個，于是可列方程x+(x-15)+(2x-16)=65，解得x=24，即紅色彩燈有24個，進而可以得出黃色彩燈有9個、綠色彩燈有32個。

5、轉化思想。即將未知的、陌生的、復雜的問題通過演繹歸納轉化為已知的、熟悉的、簡單的問題。常見的轉化方式有：一般特殊轉化，等價轉化，復雜簡單轉化，數形轉化，構造轉化，聯想轉化，類比轉化等。

三、如何滲透數學思想

如何在小學數學教學中滲透數學思想，把握它的可行性是關鍵。這就要求我們對于每一章每一節，都要考慮如何結合具體內容進行數學思想方法滲透，滲透哪些數學思想方法，怎么滲透，滲透到什么程度，應有一個總體設計，提出不同階段的具體教學要求。

例如，在概念的教學中可以滲透類比的思想、分類的思想。在法則的歸納、公式的推導、結論的發現過程中，可以滲透類比與聯想、符號化等數學思想方法。在解決實際問題教學中，可以滲透化歸思想、數學模型思想等。同時，進行數學思想方法的教學要注意有機結合、自然滲透，要有意識潛移默化地啟發學生領悟蘊含于數學知識之中的種種數學思想方法，切忌生搬硬套、和盤托出、脫離實際等適得其反的做法。

1、教師應對教材進行深入研究、潛心挖掘，還應講究正確的滲透方法。鑒于小學生的認知能力，教師在教學過程中應采用較為直觀的方法，例如用圖表的方法將數學思想直觀化、具體化、形象化，這樣就能將十分抽象的數學思想轉化為利于學生感知的間接材料。

2、在教學過程中，教師應不失時機地向學生滲透各類數學思想，教師可以在教學過程中利用各種現代教育手段進行講解并可以通過舉辦各類數學講座來系統地教授并滲透這些數學思想。

數學思想方法的應用范文6

【關鍵詞】高考選擇題；數學；思想方法

數學在培養和提高人的思維能力方面有著其他學科所不可替代的獨特作用，這是因為數學不僅僅是一種重要的“工具”或者“方法”，更重要的是一種思維模式.

數學思想方法揭示了數學學習的本質，比數學知識具有更大的統攝性和包容性，它們猶如網絡，將全部數學知識有機地編織在一起，形成環環相扣的結構和息息相關的系統.

一直以來，高考十分重視對于數學思想方法應用的考查，所以考生應該善于通過應用數學思想方法分析問題、解決問題，來提升自己的數學能力，培養自己的數學素質.

高考數學選擇題在當今高考試卷中占分比例高，約占總分的40%.其特點是概括性強，知識覆蓋面寬，小巧靈活，有一定的綜合性和深度，滲透考查各種數學思想和方法.考生能否迅速、準確、全面、簡捷地解好選擇題成為得分的關鍵，而考生能否快速準確地解題，就在于掌握并運用數學思想方法的能力.

下面結合2011年各省市高考數學試題，就五種數學思想方法在選擇題中的應用做個淺析.

一、函數與方程的思想

函數思想是指用函數的概念和性質去分析問題、轉化問題和解決問題.方程思想是指從問題的數量關系入手，用數學語言將問題中的條件轉化為數學模型（方程、不等式或方程與不等式的混合組），然后通過解方程（組）或不等式（組）來使問題獲解.有時，還能實現函數與方程的互相轉化、接軌，達到解決問題的目的.函數與方程思想是中學數學的基本思想，也是歷年高考的考點.

例1 （2011浙江卷理8）已知橢圓C1：x2[]a2+y2[]b2=1（a>b>0）與雙曲線C2：x2-y2[]4=1有公共的焦點，C2的一條漸近線與以C1的長軸為直徑的圓相交于A，B兩點，若C1恰好將線段AB三等分，則

A.a2=13[]2 B.a2=13

C.b2=1[]2 D.b2=2

分析 本題利用方程思想，通過建立漸近線方程與橢圓方程的關系，從而求解出答案.

利用漸近線方程將橢圓方程化為b2x2+（b2+5）y2=（b2+5）b2.橢圓與雙曲線有公共焦點，則有x2=（b2+5）b2[]5b2+20.又C1將線段AB三等分，1+22×2（b2+5）b2[]5b2+20=2a[]3，解得b2=1[]2.故選C.

注 我們應用函數思想的幾種常見類型有：

（1）把字母看作變量或把代數式看作函數.

（2）用函數和方程的性質解題.

（3）構造函數解題.

二、數形結合的思想

數形結合的思想方法，其實質是將抽象的數學語言與直觀的圖形結合起來，由數想形，以形助數，具有可以使問題直觀呈現的優點，它可以使代數問題幾何化，幾何問題代數化.

但是，在高考選擇題中，主要是數到形的轉化，以借助圖形的直觀性研究數的問題，最終實現數形結合的目標.

數到形的轉化工具有：坐標法、方程曲線和函數圖像.

例2 （2011陜西卷理6）函數f（x）=x-cosx在[0，+∞）內（ ）.

A.沒有零點 B.有且僅有一個零點

C.有且僅有兩個零點D.有無窮多個零點

分析 本題可以采用數形結合的思想，關鍵在于如何將數轉化成形.

令f（x）=x-cosx=0，則x=cosx.設函數y=x和y=cosx，如圖，它們在[0，+∞）的圖像的交點有且只有一個，所以函數f（x）=x-cosx在[0，+∞）內有且僅有一個零點.故選B.

注 在應用數形結合思想分析和解決問題時，要注意三點：第一要徹底明白一些概念和運算的幾何意義，以及曲線的代數特征，對數學題目中的條件和結論既分析其幾何意義又分析其代數意義；第二是恰當設參、合理用參，建立關系，由數思形，以形想數，做好數形轉化；第三是正確確定參數的取值范圍.

三、分類與整合的思想

在解答某些數學問題時，有時會遇到多種情況，需要對各種情況加以分類，并逐類求解，然后綜合得解，這就是分類討論法.

分類討論是一種邏輯方法，是一種重要的數學思想方法，同時也是一種重要的解題策略，它體現了化整為零、積零為整的思想與歸類整理的方法.由于這類數學問題具有明顯的邏輯性、綜合性、探索性，對學生能力的考查有著重要的作用，因而在高考試題中占有重要的位置.

例3 （2011山東卷理4）不等式|x-5|+|x+3|≥10的解集是（ ）.

A.[-5，7] B.[4，6]

C.（-∞，-5]∪[7，+∞）D.（-∞，-4]∪[6，+∞）

分析 本題考查解絕對值不等式的知識，在求解的過程中需對x的取值范圍進行分類，再綜合考慮.題目中需把5與-3作為臨界點，分類討論，最后得x≥6或x≤-4，故選D.

解答分類討論問題時，我們的基本方法和步驟是：（1）要確定討論對象，以及所討論對象的全體的范圍；（2）確定分類標準，正確進行合理分類，即標準統一、不漏不重；（3）對其逐步進行討論，分級進行，獲取階段性結果；（4）進行歸納小結，綜合得出結論.

四、化歸與轉化的思想

化歸與轉化的思想是指在解決問題時，采用某種手段使之轉化，進而使問題得到解決的一種解題策略，是數學學科與其他學科相比，一個特有的數學思想方法.化歸與轉化思想的核心是把生題轉化為熟題.如：未知向已知的轉化，命題之間的轉化，數與形的轉化，空間向平面的轉化，高維向低維的轉化，多元向一元的轉化，高次向低次的轉化等，都是轉化思想的體現.

例4 （2011遼寧卷理3）已知F是拋物線y2=x的焦點，A，B是該拋物線上的兩點，|AF|+|BF|=3，則線段AB的中點到y軸的距離為（ ）.

A.3[]4 B.1 C.5[]4 D.7[]4

分析 本題考查學生的等價轉換能力，將問題轉化成梯形中位線問題，從而過渡求解中點C的橫坐標.由拋物線定義知|AM|+|BN|=|AF|+|BF|，則中點C的橫坐標為3[]2-1[]4=5[]4.故選C.

在高考中，對化歸思想的考查，總是結合對演繹證明、運算推理、模式構建等理性思維能力的考查進行，我們在解每一道題時，實際上都在轉化和類比.將問題由難轉易，由陌生的問題轉為熟悉的問題，從而從問題得到解決.因此可以說高考中的每一道試題，都在考查化歸意識和轉化能力.

五、特殊與一般的思想

由特殊到一般，再由一般到特殊反復認識的過程是人們認識世界的基本過程之一.在研究數學問題時，特殊與一般相結合也是一種既普遍又有效的思想方法.特別是在解答選擇題時，若能恰當利用特殊與一般的辯證關系，則能快速解決問題，為高考爭取時間.

特殊與一般相結合的思想在解題中的應用主要表現在：一是特殊賦值法，即通過給變量賦值達到迅速判斷的目標；二是抓住問題的某個特殊條件展開分析和思考；三是由部分特殊情形歸納總結出一般的數學規律.

例5 （2011遼寧卷理9）設函數f（x）=21-x，x≤1，

1-log2x，x>1，則滿足f（x）≤2的x的取值范圍是（ ）.

A.[-1，2]B.[0，2]C.[1，+∞）D.[0，∞）

分析 本題運用特殊值法能更快解決問題.觀察四個選項中包含的特殊點，分別取x的特殊值0、2、3，都能滿足題意，則選D.