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數(shù)值方法范文1

一、1.直接法：利用常見函數(shù)的值域來求

一次函數(shù)y=ax+b（a 0）的定義域為R，值域為R；

反比例函數(shù) 的定義域為{x|x 0}，值域為{y|y 0}；

二次函數(shù) 的定義域為R，

當a>0時，值域為{ }；當a

例1：求函數(shù) 的值域。

解： ， ，

函數(shù) 的值域為 。

例2：求函數(shù) 的值域。

（注意：開口方向；區(qū)間與對稱軸的關系）

解 頂點橫坐標2 [3，4]，

當x=3時，y= -2；x=4時，y=1；

在[3，4]上， =-2， =1；值域為[-2，1].

三、中間變量法：函數(shù)式中含有可以確定范圍的代數(shù)式。

例3：求函數(shù) 的值域。

解：由函數(shù)的解析式可以知道，函數(shù)的定義域為 （定義域優(yōu)先原則），對函數(shù)進行變形可得

，

，（特殊情況優(yōu)先原則） （ ， ），

， ，

函數(shù) 的值域為

例4：求y= （1≤X≤3）的值域。

解：y= ? x=

1≤X≤3 1≤ ≤3 ? y∈[ ， ]

四、分離常數(shù)法：分子、分母是一次函數(shù)的有理函數(shù)，可用分離常數(shù)法，此類問題一般也可以利用反函數(shù)法。

例5：求函數(shù) 的值域。

解：（此處要先求定義域） ，

， ，函數(shù) 的值域為 。

五、換元法：運用代數(shù)代換，獎所給函數(shù)化成值域容易確定的另一函數(shù)，從而求得原函數(shù)的值域，形如 （ 、 、 、 均為常數(shù)，且 ）的函數(shù)常用此法求解。

例6：求函數(shù) 的值域。

解：（求值域先求定義域）令 （ ）（引入新元要標注范圍），則 ，

（ ）（你看：沒有標注范圍的話這里就會出錯）（再利用數(shù)形結合法）

當 ，即 時， ，無最小值。

函數(shù) 的值域為 。

點評：對于形如 （ 、 、 、 為常數(shù)， ）的函數(shù)，我們可以利用換元法求其值域，同時還利用了圖像法。特別注意：引入新的變量時要標注其范圍。

六、判別式法：把函數(shù)轉(zhuǎn)化成關于 的二次方程 ；通過方程有實數(shù)根，判別式 ，從而求得原函數(shù)的值域，形如 （ 、 不同時為零且定義域為 ）的函數(shù)的值域，常用此方法求解。

例7：求函數(shù) 的值域。

解：定義域為：

由 變形得 ，

當 時，此方程無解；（特殊情況優(yōu)先）

當 時， 說明方程至少有解， ，

解得 ，又 ，

函數(shù) 的值域為

點評：（1）此法適用 ≠0）型的函數(shù)；

（2）在解題過程中注意對二次項系數(shù)是否零的討論；

（3）有兩種情況不采用此法。（一是X有限制；二是分子分母有公因式）

七、函數(shù)的單調(diào)性法：確定函數(shù)在定義域（或某個定義域的子集）上的單調(diào)性，求出函數(shù)的值域。

例8：求函數(shù) 的值域。

解：（求值域先求定義域）當 增大時， 隨 的增大而減少， 隨 的增大而增大，函數(shù) 在定義域 上是增函數(shù)。

，

函數(shù) 的值域為 。

八、數(shù)形結合法：函數(shù)圖像是掌握函數(shù)的重要手段，利用數(shù)形結合的方法，根據(jù)函數(shù)圖像求得函數(shù)值域，是一種求值域的重要方法。

例9：求函數(shù) 的值域。

解： ，

數(shù)值方法范文2

1.觀察法

從函數(shù)解析式觀察，利用如等，直接得出它的值域.

例1.求函數(shù)的值域.

解：由得，所以函數(shù)的值域為.

2.分離常數(shù)法

對于分子、分母同次的分式形式的函數(shù)求值域問題，因為分子分母都有變量，利用函數(shù)單調(diào)性確定其值域較困難，因此，我們可以采用湊配分子的方法，把函數(shù)分離成一個常數(shù)和一個分式和的形式，而此時的分式，只有分母上含有變量，進而可利用函數(shù)性質(zhì)確定其值域.

例2.求函數(shù)的值域.

解：分離常數(shù)，得，，，函數(shù)的值域為.

3.配方法

主要用于和一元二次函數(shù)有關的函數(shù)求值域問題.

例3.求函數(shù)的值域.

解：配方，得，又，結合圖象，知函數(shù)的值域是.

4.判別式法

對于形如（，不同時為）的函數(shù)常采用此法，就是把函數(shù)轉(zhuǎn)化成關于的一元二次方程（二次項系數(shù)不為時），通過方程有實數(shù)根，從而根的判別式大于等于零，求得原函數(shù)的值域.

例4.求函數(shù)的值域.

解：原函數(shù)可化為關于的一元二次方程.

（1）當時，，，解得；

（2）當時，，而.故函數(shù)的值域為.

5.換元法

有時候為了建立已知與未知的聯(lián)系，我們常常引進一個（幾個）新的量來代替原來的量，實行這種“變量代換”往往可以暴露已知與未知之間被表面形式掩蓋著的實質(zhì)，發(fā)現(xiàn)解題方向，這就是換元法.在求值域時，我們可以通過換元將所給函數(shù)化成值域容易確定的另一函數(shù)，從而求得原函數(shù)的值域.

例5.求函數(shù)的值域.

解：令，則，，

，當時，函數(shù)取得最大值，所以函數(shù)的值域為.

6.反解法

就是用來表示，利用其變形形式求得原函數(shù)的值域.

例6.求函數(shù)的值域.

解：函數(shù)可化為，可得，所以原函數(shù)的值域為.

7.單調(diào)性法

單調(diào)性法是求函數(shù)值域的常用方法，就是利用我們所學的基本初等函數(shù)的單調(diào)性，再根據(jù)所給定義域來確定函數(shù)的值域.

例7.求函數(shù)的值域.

解：此題可以看作和，的復合函數(shù)，

顯然函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù)， 易驗證亦是單調(diào)遞增函數(shù)，

故函數(shù)也是單調(diào)遞增函數(shù). 而此函數(shù)的定義域為.

當時， 取得最小值.當時， 取得最大值.故而原函數(shù)的值域為.

8.數(shù)形結合法

對于一些函數(shù)（如二次函數(shù)、分段函數(shù)等）的求值域問題，我們可以借助形象直觀的函數(shù)圖象來觀察其函數(shù)值的變化情況，再有的放矢地通過函數(shù)解析式求函數(shù)最值，確定函數(shù)值域，用數(shù)形結合法，使運算過程大大簡化.

例8.求函數(shù)的值域.

解：將原函數(shù)的解析式中的絕對值去掉，得，

作出圖象（如右圖），顯然.

所以函數(shù)的值域是.

9.基本不等式法

利用基本不等式和求函數(shù)的值域， 要合理地添項和拆項， 添項和拆項的原則是要使最終的乘積結果中不含自變量， 同時， 利用此法時應注意取等號成立的條件.

例9.求函數(shù)的值域.

解： ，當且僅當時等號成立.

故函數(shù)的值域為.

10.導數(shù)法

若函數(shù)在內(nèi)可導， 可以利用導數(shù)求得在內(nèi)的極值， 然后再計算在，點的極限值. 從而求得的值域.

例10.求函數(shù)的值域.

解：顯然在可導，且. 由得的極值點為.

易得在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

數(shù)值方法范文3

中尺度氣象是現(xiàn)代氣象科學中發(fā)展迅速的一個重要分支，它所研究的大氣中尺度運動，關系到區(qū)域重要災害性天氣的預報。

中尺度數(shù)值氣象預報模式有許多，其中MM5是目前國內(nèi)外應用最為廣泛的模式，被廣泛應用于國內(nèi)外各氣象部門和相關機構。WRF模式是在MM5模式上發(fā)展起來的新一代中尺度模式，它將逐漸替換MM5模式。GRAPES模式是中國氣象局自主開發(fā)的新一代數(shù)值預報系統(tǒng)，它是中小尺度與大尺度通用的先進數(shù)值預報系統(tǒng)，目前國內(nèi)很多氣象部門已經(jīng)在對GRAPES進行研究和應用。MM5的最新版本是MM5V3，其研發(fā)工作已經(jīng)停止，繼而轉(zhuǎn)向WRF模式。中尺度氣象預報模式對高性能計算機提出三大挑戰(zhàn)：

計算量巨大

中尺度氣象預報模式有著驚人的計算量，同時由于氣象預報的特點決定了其極高的實時性，要求模式必須在指定的時間內(nèi)完成運算。人們對氣象預報的精度提出了越來越高的要求，目前預報精度從幾百公里、幾十公里提高到幾公里，而這大幅度提高了模式的計算量。

通訊極為密集

由于模式都是并行軟件，一般都采用有限差分格點模式并行計算，所以運行中尺度氣象預報模式時，各個CPU之間的通訊量非常驚人，且模式對通訊的性能要求非常高。所以這就要求高性能計算機有高性能的通訊網(wǎng)絡。

實時性強、定時運行

氣象預報本身的特點決定了其要求很強的實時性，預報系統(tǒng)要求定時定點自動運行，無需人工干預。

從軟件的處理流程上看，一般分為前處理、主模式和后處理。前處理包括資料的下載、數(shù)據(jù)同化等等，后處理主要是指圖形化處理等，前/后處理一般對計算機要求不高。中尺度數(shù)值氣象預報可以有多種架構方法，本文重點說明小規(guī)模解決方案和二代小型機解決方案。

小規(guī)模解決方案

小規(guī)模解決方案主要應用于地市級氣象預報部門，完成一個地市48小時以內(nèi)的短期天氣預報，格局一般在12~18公里左右。這個解決方案也可用于小型環(huán)保部門或氣象科研部分。

系統(tǒng)配置8~16個計算節(jié)點，用戶可以以較少的投資很好地滿足地市級氣象部門的預報需求。

整個系統(tǒng)雖然不大，但是包含了氣象模式處理的絕大部分系統(tǒng)，在其上能運行絕大部分氣象模式，特別適合氣象研究和開發(fā)部門，同時，配有機群作業(yè)調(diào)度系統(tǒng)，能輕松保證多個用戶同時使用和運行模式。

采用機群的方式構建整個系統(tǒng)，相比于傳統(tǒng)的RISC小型機具有極高的性價比。

采用機群的另一好處在于系統(tǒng)具有很好地可擴展性和升級的能力，能很好地保護用戶的投資。

由于采用X86體系結構和Linux操作系統(tǒng)，系統(tǒng)具有良好的兼容性和可移植性，運行于PC機上的軟件能不用移植而直接在其上運行。

中尺度氣象預報模式CPU和CPU之間的通訊極為頻繁，它不僅對計算網(wǎng)絡的帶寬有很高要求，而且對網(wǎng)絡延遲的要求更高。作為計算網(wǎng)絡的千兆以太網(wǎng)在很大程度上影響了系統(tǒng)的總體性能。由于并行計算的通訊是多對同時通訊的模式，所以要求交換機必須是無阻塞的線速交換機。

二代小型機解決方案

二代小型機是繼承了第一代RISC小型機的優(yōu)點并拓展第一代RISC小型機的應用而發(fā)展起來的高性能計算機。在繼承了第一代RISC小型機高運算處理性能、高可靠性、高IO性能等優(yōu)點的條件下，二代小型機相比其前輩具有以下優(yōu)勢：

程序移植性增強

二代小型機基于X86的體系結構，可以輕松完成應用的移植。

擴展性增強

拋棄傳統(tǒng)小型機依托的專用系統(tǒng)設計，采用通用標準設計，使得第二代小型機可以輕松跟隨服務器產(chǎn)品技術的發(fā)展，而不受限于單一硬件廠商發(fā)展的制約。

易管理、易維護

第一代RISC小型機采用專用的硬件、軟件系統(tǒng)，系統(tǒng)管理員必須經(jīng)過專業(yè)培訓。而二代機采用標準化的硬件和Linux操作系統(tǒng)，易于系統(tǒng)的管理和維護。

性價比高

由于第二代小型機在設計時吸收第一代小型機優(yōu)點的同時，順應時代的變化，在保證性能的同時使得產(chǎn)品成本大幅下降，目前第二代小型機的價格相當于同類傳統(tǒng)小型機產(chǎn)品的30%~50%。

同時，由于采用標準化的軟硬件，二代機的價格優(yōu)勢不僅僅體現(xiàn)在設備采購時，設備的維護和運行成本也在大幅降低。

數(shù)值氣象預報在國內(nèi)的發(fā)展越來越快，使用也越來越普遍，對高性能計算的依賴程度也在不斷加強，對高性能計算機的要求也越來越高；但另一方面，相比于其他應用，數(shù)值預報有其顯著的特點，對高性能計算機系統(tǒng)的要求也有其獨特性。

結束語:從天氣預報到氣象服務

很多人對天氣預報不準很憤怒，但不得不承認的事實是，對于大氣現(xiàn)象的演變，科技工作者還沒有完全掌握。氣象科學還是早晨八九點鐘的太陽，是一個極其年輕的學科。盡管責備也許會激發(fā)人們的斗志，但理解、關愛與呵護更重要。

面對社會公眾的寬容與理解，氣象工作者是否就可以止步不前呢？其實不然。可以先看看天氣預報與氣象服務這兩個詞語的差別。天氣預報強調(diào)的是氣象工作者作為主體，向社會公眾統(tǒng)一的信息。氣象服務則不同，強調(diào)的是服務，服務當然要以被服務對象為主體。

有人會說，這是文人在咬文嚼字，其實沒有差別。那就請看一個服務與預報的差別。細心的人可能會注意到，在北京上海等大城市里，廣播、電視、報紙等媒體上的是穿衣指數(shù)、舒適度指數(shù)、醫(yī)療指數(shù)、晨煉指數(shù)等等，而不再是風力幾級溫度多高。

隨著人們對于生活質(zhì)量的追求，以往那種類似陰晴雨雪籠而統(tǒng)之的天氣預報已經(jīng)不能滿足需要了，缺少的是個性化的氣象服務。

數(shù)值方法范文4

關鍵詞：溢油處理裝置；圍油欄；撇油器；數(shù)值模擬

0引言

近幾年來，由于海上石油工業(yè)和海上油運業(yè)的飛速發(fā)展，海上溢油事故頻繁發(fā)生。溢油對海洋生態(tài)環(huán)境影響很大。如2010年發(fā)生在美國墨西哥灣的深海地平線石油鉆井平臺爆炸事故，事故導致大量石油泄漏入海，給當?shù)卦斐闪司薮蟮慕?jīng)濟損失和嚴重的生態(tài)環(huán)境災難。再如2011年發(fā)生在我國渤海海域發(fā)生的蓬萊溢油事件，造成超過6200平方千米海水污染，是我國海洋資源開發(fā)以來發(fā)生的最嚴重的事故。因此，一旦發(fā)現(xiàn)海上事故造成溢油后，就必須根據(jù)現(xiàn)場實際情況采取及時有效的措施對溢油進行處理，降低和消除溢油造成的危害。

1海上溢油的處理技術

海上溢油的處理方法通常可分為物理法、化學法和生物法。

1.1物理法

是指將溢油從水面分離出來而不改變其存在形態(tài)的物理形態(tài)，如采用圍油欄圍困溢油、撇油器回收溢油、收油網(wǎng)回收水面上乳化溢油等方法。

1.2化學法

是指通過使用化學制劑使溢油聚集或分散，即通過改變溢油在海面上中存在形態(tài)來達到降低污染的目的。化學法適用于溢油油膜很薄的情況，處理溢油的化學制劑包括溢油聚油劑、分散劑、吸油劑和凝油劑等。

1.3生物法

是指利用生物分解作用清除海域溢油的方法。生物法溢油清除時間較長，見效慢，但是對環(huán)境的影響小，是一種利用前景廣闊的方法。

2溢油處理裝置優(yōu)化方法

為了減少對溢油海域的進一步污染，選擇物理法是清除海面溢油時最好的。尤其是在處理大面積海上溢油時，圍油欄和撇油器兩種溢油處理設備是溢油回收中應用最為廣泛的。對圍油欄和撇油器的優(yōu)化設計大體有三種思路：

一是直接將溢油處理裝置放置于實際海況中， 測量其能夠回收溢油的自然條件（ 風速、波高和流速） 的最大標準。這種方法測試工作量大、費用高；二是在實驗室中分別進行風、浪、流的測試，根據(jù)實驗結果推算其性能。這一方法由于受到實驗室條件限制， 往往只能對裝置某一部分進行實驗，并且因為實驗室考慮到污染問題， 不可能投放溢油；三是應用數(shù)值模擬仿真的方法研究溢油處理裝置。這一方法由于節(jié)省人工、物力及財力資源并且能夠獲得良好效果而被廣泛應用于溢油處理裝置的優(yōu)化設計。

3海上溢油處理裝置數(shù)值模擬

數(shù)值模擬的總體思路是是利用計算機繪圖軟件進行對溢油處理裝置進行幾何建模，然后將其導入計算流體動力學軟件Fluent中的前處理器GAMBIT進行網(wǎng)格劃分，然后確定計算模型，利用Fluent進行相關計算，最后得到仿真結果。具體的步驟概述如下所示：

3.1幾何建模

利用計算機繪圖軟件如CAD或Solidworks，根據(jù)圍油欄或者撇油器尺寸進行幾何建模，CAD可進行二維幾何建模，Solidworks可進行三維建模。如喬衛(wèi)亮在對新型動態(tài)斜面式撇油器進行優(yōu)化設計時，應用Solidworks軟件對新型動態(tài)斜面式撇油器流道及集油箱進行了三維幾何建模；戴瑞在船用內(nèi)嵌式收油機流場數(shù)值模擬與結構優(yōu)化中，利用CAD對內(nèi)嵌式收油機內(nèi)部的導流板進行了二維幾何建模。

3.2導入Fluent進行網(wǎng)格劃分

建立好幾何模型后，將模型導入到Fluent軟件的前處理器Gambit，進行區(qū)域剖分，形成符合CFD計算要求的網(wǎng)格形式。Gambit中網(wǎng)格劃分方式主要有三種：自由網(wǎng)格劃分、映射網(wǎng)格劃分、體掃描劃分，如表1所示：

3.3確立計算模型

3.3.1單相流模擬

根據(jù)流量和撇油器箱體的尺寸可以計算出撇油器箱體的流動區(qū)域內(nèi)流體的流動狀態(tài)，經(jīng)過計算可以得知在進行溢油回收過程中，集油箱內(nèi)部的流動為湍流流動狀態(tài)，所以在選用計算模型時，應選擇湍流計算模型，并需要對湍流模型進行數(shù)學描述。

湍流流場充滿著尺度大小不同的漩渦，大的漩渦尺度可以與整個流場區(qū)域相當，而小的漩渦尺度往往只有流場尺度千分之一的數(shù)量級，流場中大小不同漩渦的不斷產(chǎn)生和消失，相互之間強烈的摻混，使得湍流流場中的物理量表現(xiàn)出脈動性質(zhì)，具有極強的不規(guī)則性和隨機性。但無論湍流運動多么復雜，非穩(wěn)態(tài)的連續(xù)方程和N—S方程在一般情況下仍適用于湍流的瞬時運動。在連續(xù)性方程和N—S方程基礎上，人們不斷引入新的算法，逐步發(fā)展成了多個湍流模型。

應用雷諾平均思想的湍流模型優(yōu)缺點對比如表2所示：

科研人員在撇油器流道優(yōu)化設計中，廣泛應用雷諾平均思想的RNG k-ε湍流模型和Realizablek-ε模型，例如王國有在對動態(tài)曲面式撇油器流道優(yōu)化設計研究中利用了RNGk-ε模型；喬衛(wèi)亮在對新型動態(tài)斜面式撇油器流場數(shù)值模擬與結構優(yōu)化研究中同樣采用了RNGk-ε模型；戴瑞在對船用內(nèi)嵌式收油機的流場數(shù)值模擬與結構優(yōu)化時，選用了Realizable k-s瑞流模型來進行模擬計算。以上三者均取得了足夠的精度和良好的模擬效果。

3.3.2多相流模擬

現(xiàn)在已有一些數(shù)值計算方法用于計算多相流流動問題，主要應用有兩種：歐拉-拉格朗日方法和歐拉-歐拉方法。

（1）歐拉-拉格朗日方法

在歐拉-拉格朗日方法中，多相流由連續(xù)相和分散相組成。連續(xù)相代表連續(xù)流體介質(zhì)，其運動方程是N-S方程，而分散相代表分散在連續(xù)相中的流體介質(zhì)，其運動規(guī)律是在已計算得到的連續(xù)相流場的基礎上，跟蹤各離散粒子（顆粒、氣泡或液滴）的運動而得到的。分散相和連續(xù)相之間可以有質(zhì)量、動量和能量的交換。歐拉-拉格朗日方法的局限是分散相的體積組分不能太大。但它能較好的求解噴霧干燥、煤與液體燃料燃燒和一些粒子負載流動問題。

（2）歐拉-歐拉方法

在FLUENT中，共有三種歐拉-歐拉多相流模型，分別為混合物模型、歐拉模型及流體體積（VOF）模型。如表3所示：

其中VOF模型在溢油處理模擬仿真中應用廣泛。VOF模型適用于兩種或多種互不相融流體間界面的跟蹤計算，不同的流體組分共用一套動量方程，計算時在全流場的每個計算單元內(nèi)，都記錄下各流體組分所占有的體積分數(shù)。

例如魏芳利用流體體積分數(shù)法（ VOF） ，模擬計算傳統(tǒng)圍油欄的攔油性能， 分別成功地模擬出低黏度油類和高黏度油類在水流速度各自超過其臨界值時發(fā)生的油滴夾帶失效和累積失效并在此基礎上改進了圍油欄的外部結構，獲得了良好的模擬效果。張政等人利用流體體積分數(shù)（VOF）法模擬計算了兩種攔油失效的情形：低粘度的油類在水流速度超過某一臨界值時發(fā)生了油滴夾帶失效；粘度很大的油類在水流速度超過臨界值時發(fā)生了臨界累積失效。模擬結果在定性上與已有的實驗結果相一致。

3.4邊界條件確定和收斂判斷

根據(jù)撇油器所選的計算模型，設置相應的初始條件和邊界條件，并利用流體仿真軟件FLUENT中的湍流模擬計算各模型內(nèi)部流體的流動，得到模型計算收斂的結果。

3.5仿真結果分析

利用Fluent后處理功能，生成撇油器油水分離的過程中內(nèi)部流場云圖、線條圖以及壓力分布圖、速度分布圖等，可以對撇油器內(nèi)部油水混合物流場分布情況進行直觀的描述。并通過改變撇油器相關結構的尺寸，又可以獲得不同的內(nèi)部流場分析。選擇最優(yōu)的結構型式，從而達到對撇油器進行優(yōu)化的目的。

4結論

機械溢油回收技術是一門復雜的技術，它涉及到機械設計、流體分析、流場模擬等方面。但其優(yōu)化設計可以通過計算機繪圖軟件CAD或Solidworks幾何建模，導入Fluent軟件選擇適當計算模型對其內(nèi)部流場進行數(shù)值模擬，獲得內(nèi)部流場的數(shù)據(jù)和圖形分析，從而為溢油回收裝置的優(yōu)化設計提供基本依據(jù)，同時可以節(jié)省大量的人力物力，因此具有廣泛的應用前景。

參考文獻

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數(shù)值方法范文5

【關鍵詞】分段壓裂 產(chǎn)能 數(shù)值模擬

油藏數(shù)值模擬中，人工壓裂縫的處理方法主要分為兩種：網(wǎng)格加密和近井模擬（Near Wellbore Module）。但是由于近井模擬處理起來較繁瑣，在模型中計算起來較慢且容易不收斂，所以目前人工裂縫的模擬主要是通過局部網(wǎng)格加密（Local Grid Refinemnt）的方法來完成。局部網(wǎng)格加密的方法很多，有基于笛卡爾網(wǎng)格的加密方法，有基于非結構網(wǎng)格的加密方法，如Pebi網(wǎng)格加密。

笛卡爾網(wǎng)格的加密方法也分為兩種，一種是運用不均勻加密網(wǎng)格（HXFIN），另一種是利用不均勻網(wǎng)格（DX）。以往的研究表明，將裂縫所在的網(wǎng)格用“等效導流能力”法處理，在“縫寬”小于1.0m的情況下井的產(chǎn)量變化不大，該方法實用可靠。

本文分別用笛卡爾網(wǎng)格的加密兩種方法模擬裂縫，比較了它們的區(qū)別。

1 不均勻加密網(wǎng)格

在不均勻加密網(wǎng)格方法中，我們設置的模型維數(shù)為110*40*10，DX=DY=DZ=5m，模型中心順著X方向有一水平井生產(chǎn)。我們分別在X方向第10列、20列、30列、40列、50列、60列、70列、80列、90列、100列網(wǎng)格中分別進行不均勻加密，這樣在每一列加密的網(wǎng)格中加密出一條0.5m寬的網(wǎng)格，我們用這列0.5m寬的網(wǎng)格來模擬分段壓裂的裂縫。這樣就形成一個長度為550m，等間距分段壓裂了10段0.5m寬裂縫的水平井生產(chǎn)的模型（圖1）。

（1）雖然兩種方法都是比較常用的裂縫模擬方法，但是結果差別較大。

（2）不均勻加密網(wǎng)格方法中，水平井生產(chǎn)140d，日產(chǎn)油由50t/d緩慢遞減至0t/d。

（3）不均勻網(wǎng)格方法中，水平井生產(chǎn)140d，前50天保持日產(chǎn)油50t/d不變，之后10d日產(chǎn)油迅速降至0t/d。

（4）兩種方法雖然日產(chǎn)油不同，但是生產(chǎn)140d后的累產(chǎn)油相同都為2590m3。

（5）在計算時間上，由于不均勻網(wǎng)格方法的網(wǎng)格數(shù)少，計算速度要遠遠快于不均勻加密網(wǎng)格方法。

參考文獻

[1] 韓大匡.油藏數(shù)值模擬基礎[M].北京：石油工業(yè)出版社，1993.HAN Da-kuang.Reservoir Simulation Foundamental[M].Beijing：Petroleum Industry Press，1993

[2] 劉立明，廖新維，陳欽雷.混合PEBI網(wǎng)格精細油藏數(shù)值模擬應用研究[J].石油學報，2003，24（3）：64-67.LIU Li-ming

[3] 蔡強，楊欽，孟憲海，等.二維PEBI網(wǎng)格的生成[J].工程圖學學報，2005（2）：69-72

[4] 安永生，吳曉東，韓國慶.基于混合PEBI網(wǎng)格的復雜井數(shù)值模擬應用研究[J].石油學報，2007，31（6）：60-63

數(shù)值方法范文6

【關鍵詞】美式期權定價 金融 互補問題 計算方法

在現(xiàn)代金融理論和實踐研究中，各種衍生證券的定價是非常重要的問題。期權是一種很特殊的衍生工具，它是指在未來時間的選擇權，它提供給期權持有者在特定的時間按某一確定價格購買（或出售）一定數(shù)量標的資產(chǎn)的權力，而不負有必須購買（或出售）的義務。自1973年期權在芝加哥交易所首次進行交易以來，期權市場便迅猛發(fā)展，而期權定價理論的研究也隨之取得了突破性進展。Black和Scholes首先給出了不支付紅利股票下的歐式期權的定價公式，同年，Merton為他們提出的期權定價理論的完善化做出了杰出的貢獻。期權定價理論是目前金融數(shù)學、金融工程研究的前沿和熱點問題。

中國在改革開放的進程中，金融市場逐漸發(fā)展并與世界接軌。各種新型金融產(chǎn)品的出現(xiàn)和金融交易的的引入，是勢不可擋的。雖然中國的期權市場發(fā)展起步較晚，但縱觀整個國內(nèi)期權市場，其需求已相當成熟。然而期權的開發(fā)能否從研究階段過渡到試運行階段，取決于如何對期權進行有效的風險控制與管理，要做到這一點，則必須首先對期權進行合理的定價。因此，開展對期權定價理論的研究就顯得尤為重要了。

對于歐式期權，Black 和Scholes早已給出解析形式的定價公式，然而，對于美式期權的定價，并不存在這樣的解析公式，也無法求得精確解。此外，在現(xiàn)實世界中，交易所中交易的期權大多數(shù)為美式期權。因此，發(fā)展各種計算美式期權價格的數(shù)值方法具有著重要的實際意義。

一、美式債券期權定價的數(shù)學模型

這部分我們簡略地描述了美式債券期權的數(shù)學模型。表示短期利率，在這篇文章中，我們假設利率期限結構由CIR模型控制，即，值由均值回歸的平方根控制：

是維納過程的增量，是短利率的長期值，代表調(diào)整的速度，是帶有常數(shù)的方差，在實踐中，值是強制約束的正數(shù)，Cox等人展示了面值1美元的折價債券在到期時它的價格計算式：

，

其中為市場風險溢價。

現(xiàn)在，用表示敲定價格為的美式零息債券看跌期權的價格，持有者可以在到期日獲得一定的報酬。引入時間逆向轉(zhuǎn)換式，期權的價格就能夠用公式表示出來，就像下面幾種拋物線型偏微分互補問題（PDCP）。

問題1：

（1）

幾乎處處屬于內(nèi)，

為了計算的目的，有必要約束值在一個有限的范圍，值是一個足夠大的值，以確保該方案的準確性，因此公式（3）可寫為：

問題2：值得注意的是對于看跌期權，且，而對于看漲期權，，否則期權將無法實施并且毫無價值。

二、美式債券期權定價的數(shù)值方法

1.懲罰法。在這個部分中，我們將采用懲罰法來解決上述互補問題（1）。為了實現(xiàn)這一點，我們通過下面的非線性PDE來近似描繪這一互補問題。

問題3：

， （2）

其中是懲罰參數(shù)，滿足并且對任意的，。

懲罰法背后的思想很簡單。通過添加懲罰項，當懲罰參數(shù)變得足夠大時，正項部分接近于零。因此，（1）中的互補條件近似被滿足。關于懲罰法有解和收斂特性的具體研究可以在其他文獻中找到。

問題4：由于擴散算子的退化和支付函數(shù)的非平滑，問題1一般沒有經(jīng)典解（“平穩(wěn)”的解）。同樣，（2）是非線性和退化的。因此，問題3也沒有經(jīng)典解。在這種情況下，我們要尋找問題1和3的粘性解。在金融上，粘性解正是與金融相關的解。在金融數(shù)學背景下，PDE粘性解的存在性和唯一性都得到之前學者詳細的討論。請注意，問題3的解是問題1的解的近似。各學者已探討得出，當時，收斂于。因此，為了簡單起見，我們將省略這部分討論，集中注意于問題3粘性解的數(shù)值逼近。

2.擬合有限體積法。為了簡化記號，在本文其余部分，我們將省略問題3的解的下標。在進行離散之前，我們先將（2）轉(zhuǎn)化為以下形式：

（3）

其中，

，

，

。 （4）

擬合有限體積法是基于自伴隨形式（3）的。我們先定義I的兩種空間分區(qū)。把I分成N份

，對任意，使，

如果我們定義，這些時間間隔將形成了另一個分區(qū)。

對于任意，在上對（3）進行積分，

（5）

根據(jù)定積分的定義，我們可得：

（6）

是區(qū)間的長度，對于任意，，

表示節(jié)點逼近的值。是與V相關的加權通量密度，可以被定義為：

（7）

我們現(xiàn)在得到了被定義在區(qū)間（對任意）中點處的連續(xù)通量的近似值。現(xiàn)考慮以下兩點邊值問題：

，

（8）

求解這個方程，我們得到：

， （9）

其中，

（10）

同樣，我們也可以在處定義一個通量。

注意到以上的分析并不適用于在區(qū)間上的通量的近似，因為（8）是退化的。為了解決這個問題，可以重新考慮給（8）再加一個自由度，此處不做詳細介紹。

三、結束語

在本文中，我們制定了一種數(shù)值方法，基于CIR模型，用于解決從美式折扣債券看跌期權定價中所產(chǎn)生的互補問題。在這種方法中，我們首先使用懲罰法通過一個非線性PDE來接近原始問題。然后我們提出擬合有限體積法解決非線性PDE的空間離散，再加上時間層隱式差分格式。而關于該方法的離散以及收斂性本文不再證明。

參考文獻

[1] 張鐵.美式期權定價問題的數(shù)值方法[J].應用數(shù)學學報，2002（01）：113-122.