前言：尋找寫作靈感？中文期刊網(wǎng)用心挑選的數(shù)學(xué)抽象教育界定，希望能為您的閱讀和創(chuàng)作帶來靈感，歡迎大家閱讀并分享。

一、概念界定   數(shù)學(xué)在本質(zhì)上研究的是抽象了的東西。而這些抽象了的東西來源于現(xiàn)實(shí)世界，是被人抽象出來的。   1．抽象的含義   所謂抽象，通常是指從眾多的事物中抽取出共同的、本質(zhì)性的特征．而舍棄其非本質(zhì)特征的思維過程。要抽象就必須進(jìn)行比較，沒有比較就無法找到在本質(zhì)上共同的部分。   共同特征是指那些能把一類事物與他類事物區(qū)分開來的特征，又稱本質(zhì)特征。因此，抽取事物的共同特征就是抽取事物的本質(zhì)特征，舍棄非本質(zhì)的特征。而抽象的過程也是一個(gè)概括、分離和提純的過程。   2．?dāng)?shù)學(xué)抽象的含義及其作用   “數(shù)學(xué)在本質(zhì)上研究的是抽象的東西州“，這個(gè)命題，從古至今，無論是數(shù)學(xué)家還是哲學(xué)家?guī)缀醵紱]有異議。數(shù)學(xué)抽象是一種特殊性的抽象，其特殊性表現(xiàn)為，數(shù)學(xué)抽象的對(duì)象是“空問形式和數(shù)鍵關(guān)系”．不管是現(xiàn)實(shí)世界中的“數(shù)跫關(guān)系和空間形式”還是思維想象中的“數(shù)量關(guān)系和空間形式”，都屬于數(shù)學(xué)研究的范疇_1。也就是說，數(shù)學(xué)抽象的對(duì)象既可以是現(xiàn)實(shí)世界中的空間形式和數(shù)量關(guān)系，也可以是數(shù)學(xué)思維中的空問形式和數(shù)昔關(guān)系。關(guān)于數(shù)學(xué)抽象的作用，史寧中教授指出，真正的知識(shí)是來源于感性的經(jīng)驗(yàn)、通過直觀和抽象而得到的，并且。這種抽象是不能獨(dú)立于人的思維麗存在的-“。   在數(shù)學(xué)中．抽象是思維的基礎(chǔ)，只有具備了一定的抽象能力，才可能從感性認(rèn)識(shí)中獲得事物(事件或?qū)嵨?的本質(zhì)特征，從而上升到理性認(rèn)識(shí)。這既是一個(gè)獲取知識(shí)的過程．又是一個(gè)研究的過程．這個(gè)過程對(duì)于所有學(xué)科的學(xué)習(xí)都是非常重要的。   二、數(shù)學(xué)抽象的一般步驟   數(shù)學(xué)抽象具有不同的階段性。簡(jiǎn)約階段、符號(hào)階段、普適階段．是數(shù)學(xué)抽象的三個(gè)基本階段㈠。簡(jiǎn)約階段．即把握事物的本質(zhì)，把繁雜問題簡(jiǎn)單化、條理化，并能夠清晰地表達(dá)．，符號(hào)階段，即去掉具體的內(nèi)容．利用慨念、圖形、符號(hào)、關(guān)系表述包括已經(jīng)簡(jiǎn)約化了的事物住內(nèi)的一類事物。   普適階段，即通過假設(shè)和推理建移法則、模式或者模型。并能夠在一般的意義上解釋具體事物。   三、數(shù)學(xué)抽象在數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用   在數(shù)學(xué)教學(xué)中．?dāng)?shù)學(xué)抽象具有鮮明的層次性，正如康德在他的巨著《純粹理性批劃》中所指出的，人類的一切知識(shí)都是從直脫開始，從那咀進(jìn)到概念，而以理念結(jié)束“。學(xué)生的學(xué)習(xí)也足這樣．必須從學(xué)生的現(xiàn)實(shí)開始，逐步過渡到數(shù)學(xué)的高級(jí)抽象。   教學(xué)層商的數(shù)學(xué)抽象基本遵循數(shù)學(xué)抽象的層次性，但有其更深刻而具體的表現(xiàn)，其梯瞧和層次性更強(qiáng)：   1．實(shí)物層面的抽象   這個(gè)層【蔚的抽象(過程)，實(shí)際一1-．是芷足已有的生活經(jīng)驗(yàn)和社會(huì)現(xiàn)實(shí)，進(jìn)行第一步抽象．即以實(shí)物為對(duì)象進(jìn)行抽象．到剛剛超越實(shí)物而尚未完全脫離實(shí)物即結(jié)束。   案例l小學(xué)自然數(shù)的“蔭位數(shù)加一位數(shù)的進(jìn)位加法”的“十位”的抽象：27+5=?借助于“十個(gè)雞蛋一盒”這個(gè)非常現(xiàn)實(shí)的經(jīng)驗(yàn)．學(xué)生已經(jīng)有相對(duì)豐富的類似經(jīng)驗(yàn)或經(jīng)歷，27表示兩盒雞蛋．另有一盒不滿的雞蛋(即盒子里有7個(gè)雞蛋．這意味著空著3個(gè)窄位)，另有5個(gè)雞蛋。一共幾個(gè)雞蛋呢?借助生活經(jīng)驗(yàn)，學(xué)生很自然地將5個(gè)雞蛋中的3個(gè)拿出來．填補(bǔ)在第j盒雞蛋的3個(gè)宅位上．即將空位補(bǔ)齊，湊成一整盒，余下2個(gè)雞蛋。   這就是，將5分成3與2的和，而3與27湊成30，因而，結(jié)果是32，這是最樸素的“湊十進(jìn)位”，而這里的“一(整)盒”就是最直接、最形象的“十位”，屬于典型的借助“實(shí)物”的直接抽象。   2．半符號(hào)層面的抽象   這個(gè)階段實(shí)際上是簡(jiǎn)約階段的一種．是建立在實(shí)物抽象的摹礎(chǔ)之上的進(jìn)一步發(fā)展。此時(shí)，有關(guān)的屬性已經(jīng)從實(shí)物中“提取”出來、抽象出來，仁l是．并沒有完全脫離實(shí)物，或者更確切地說．是部分屬性“脫離”了實(shí)物，而其中的關(guān)鍵屬性已經(jīng)初見端倪。   案例2“圓”的概念的抽象過程，就需要多個(gè)層面的抽象：初升的太陽．十五的月亮、水中的波紋……都能給人以圓的形象，這是“圓”概念抽象的第一步．屬于實(shí)物商觀層面的第一次抽象；而從太陽、月亮、波紋等具體的實(shí)物模型中，抽象出集中刻I毋J圓的形狀特點(diǎn)的一般概念．即幾何中圓的定義“到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合”則是實(shí)物直觀層面的第二次抽象。   紙片研究網(wǎng)的摹本性質(zhì)．則是“圓”的半符號(hào)層面的抽象，屬于更高層斷的抽象，此時(shí)的“圓紙片”看得見、摸得著，已經(jīng)是具有鮮明的“圓”的特征。只不過，數(shù)學(xué)中的“網(wǎng)”是沒有厚度的，只是一個(gè)縫補(bǔ)曲線，其邊緣沒有厚度、不包括邊緣線所圍的區(qū)域。而這種東西在現(xiàn)實(shí)中并不存在。畢竟，數(shù)學(xué)中的“圓”是對(duì)客觀現(xiàn)實(shí)中的大量原型的抽象。   3．符號(hào)層面的抽象   即已經(jīng)去掉_r具體的內(nèi)容，利用概念、圖形、符號(hào)、關(guān)系表述包括已經(jīng)簡(jiǎn)約化r的事物在內(nèi)的一類事物。   符號(hào)層面的抽象具有典型的階段性、層次性，因而，有的學(xué)者(如徐利治先牛)將其定義為“抽象度”的概念“，即，從實(shí)物抽象開始，到達(dá)半符號(hào)抽象，進(jìn)而達(dá)到符號(hào)層面的抽象。而以后的抽象會(huì)以卜一級(jí)抽象的結(jié)果為對(duì)象．進(jìn)行進(jìn)一步的抽象．達(dá)到一個(gè)新的抽象高度。例如．在自然數(shù)抽象的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步抽象得到分?jǐn)?shù)．再抽象得到有理數(shù)．再抽象得到實(shí)數(shù)；以實(shí)數(shù)為對(duì)象再抽象．得到代數(shù)式，以代數(shù)式為對(duì)象的再抽象得到函數(shù)。如此，形成逐級(jí)抽象的概念體系。#p#分頁標(biāo)題#e#   4．形式化層面的抽象   這就是“普適階段”的抽象，即通過假設(shè)和推理建立法則、模式或者?？?，并能夠在一般的意義上解釋具體事物。   “形式化”是針對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)科而吉’的，而“普適”是從方法學(xué)的角度思考的結(jié)果．更有思維、方法的韻味。   這個(gè)階段的抽象在中小學(xué)也是時(shí)常存在。例如，小學(xué)、初中的數(shù)學(xué)模型的核心在于兩個(gè)基本關(guān)系，即總量=單價(jià)X數(shù)鰱；總體=各部分之和．例如，“除以一個(gè)數(shù)等于乘以這個(gè)數(shù)的倒數(shù)”．其本質(zhì)在于，“總最=單價(jià)×數(shù)量”的變式“總量÷份數(shù)=一份的蜒”。   在數(shù)學(xué)教學(xué)中．?dāng)?shù)學(xué)抽象的本質(zhì)在于，讓學(xué)生親身經(jīng)歷數(shù)學(xué)抽象的具體過程，接受數(shù)學(xué)抽象的思維訓(xùn)練．進(jìn)而提升數(shù)學(xué)抽象思維的水平，，“與其說學(xué)數(shù)學(xué)，倒小如說學(xué)爿數(shù)學(xué)化”，這是20世紀(jì)后半葉的五十年期|．日】，深刻影響世界數(shù)學(xué)界、數(shù)學(xué)教育界的數(shù)學(xué)家弗茱登塔爾的名言．也道出r數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的本質(zhì)。   在案例l中，學(xué)生在初次學(xué)習(xí)“兩位數(shù)加一位數(shù)”時(shí)。盡管為數(shù)不少的家長(zhǎng)已經(jīng)告訴學(xué)牛如何加，即“個(gè)位敏字、十位數(shù)字分別相加”，然而．絕大部分學(xué)牛并不知道箅理．即為什么必須這樣計(jì)算而小那樣計(jì)算。讓學(xué)生親身經(jīng)歷從“實(shí)物抽象一半符號(hào)抽象一符號(hào)抽象”的過程，即使是對(duì)于那螳已經(jīng)學(xué)過的學(xué)生來說，也是一次溫習(xí)的過程，更是一次經(jīng)歷數(shù)學(xué)抽象的熏陶過程。   四、在數(shù)學(xué)教學(xué)中運(yùn)用數(shù)學(xué)抽象應(yīng)注意的問題   I．應(yīng)有效發(fā)揮數(shù)學(xué)抽象的特殊作用在數(shù)學(xué)教學(xué)中．?dāng)?shù)學(xué)抽象的層次性為數(shù)學(xué)分層教學(xué)的實(shí)施提供了數(shù)學(xué)學(xué)科前提和思維訓(xùn)練的教育基礎(chǔ)。   2．關(guān)注學(xué)生的個(gè)性化發(fā)展   (1)對(duì)每一位學(xué)生而言，要經(jīng)歷每個(gè)階段的抽象．一般不可越級(jí)進(jìn)行?；夂筮M(jìn)生的一個(gè)蕈要策略就是．立足其現(xiàn)實(shí)水平、借助經(jīng)驗(yàn)和直觀，幫助其，學(xué)．握肇礎(chǔ)，跟卜隊(duì)伍．逐步提高其抽象思維水平。由于其抽象水平正處在實(shí)物抽象階段，如果按照一般學(xué)生的水平．即符號(hào)抽象階段進(jìn)行教學(xué)，其理解力達(dá)不到相關(guān)的要求．掉隊(duì)在所難免。因而．中小學(xué)數(shù)學(xué)的抽象，必須‘匹足學(xué)生現(xiàn)實(shí)的抽象水平，從最基礎(chǔ)的抽象開始逐級(jí)抽象，不宜直接開始較難的抽象。這是確保義務(wù)教育基礎(chǔ)件的關(guān)鍵點(diǎn)之一。   (2)對(duì)于群體的學(xué)生而言，課程教學(xué)形態(tài)的數(shù)學(xué)抽象，允許在同一個(gè)教學(xué)環(huán)境下．不同的學(xué)生可以達(dá)到不同的抽象程度．實(shí)現(xiàn)個(gè)性化發(fā)展，即在達(dá)到基本要求的前提下，每位學(xué)生都可以獲得適合自己的發(fā)展水平。   3．?dāng)?shù)學(xué)抽象過程要特別關(guān)注歸納思維和演繹思維的培養(yǎng)在數(shù)學(xué)教學(xué)中，在展示數(shù)學(xué)對(duì)象逐級(jí)抽象的同時(shí)，也要充分展示數(shù)學(xué)真知發(fā)生發(fā)展的鮮活過程，即人們通過直覺、借助歸納發(fā)想，預(yù)測(cè)結(jié)論，通過演繹推理驗(yàn)證結(jié)論，即．既要教抽象思維，又要教歸納思維和演繹思維。   例如．對(duì)于初次學(xué)習(xí)平方差公式f—b2=(a+b)•(a+b)，初中牛的抽象思維水平尚未達(dá)到完全符號(hào)化的程度，因麗，直接采取傳統(tǒng)的做法，即由(a+b)(m+n)=am+all+bm+bn，直接導(dǎo)出a2一b2=(a—b)•(a+b)。這種做法的確節(jié)省時(shí)間，但是，對(duì)多數(shù)學(xué)生來說并沒有真正理解平方差公式的內(nèi)在含義，或者說，學(xué)生并不真正認(rèn)同這個(gè)公式；不儀如此．這種學(xué)習(xí)也使學(xué)生喪失了一次思維訓(xùn)練的良機(jī)。   如果將其改為如下的形式，其效果町能會(huì)有質(zhì)的差異。   教師一上課就出示問題：能否將代數(shù)式a2一b2分解為兩個(gè)代數(shù)式的乘積的形式呢?我們?cè)撊绾嗡伎歼@個(gè)問題呢?我們不妨從最簡(jiǎn)單的情況入手：令b=l，先討論a2一I的情形。a2一I能否分解為兩個(gè)代數(shù)式乘積的形式呢?我們嘗試著借助自然數(shù)的分解來思考：如果a=l，那么f—l=l=0，0=0X0。結(jié)論很不明朗!如果a=2，結(jié)論仍不明朗!繼續(xù)試驗(yàn)，如果a=3，那么a2一l=9—1=8，而8除l和自身外，有兩個(gè)因子2、4，而8的確可以拆成2x4。而2=3一l。4=3+l。結(jié)論已經(jīng)開始明朗!……繼續(xù)試驗(yàn)，如果a=6，那么a2一l=36一l=35，而35的確可以拆成5X7，而H是唯一的，同時(shí)。5=6一l，7=6+l。至此，我們可以做出猜測(cè)，a2一l=(a—1)•(a+1)，并進(jìn)一步猜測(cè)a2一b2=(a—b)•(a+b)。但是，b=2、3、4、5、6時(shí)，az—b2=(a—b)•(a+b)是否成立呢?學(xué)生可以分組研究b=2，b=3，b=4，b=5，b=6的情況，而后進(jìn)行全班匯報(bào)，最終，綜合各種情況，得出，礦一b2=(a—b)•(a十b)。至此，我們發(fā)現(xiàn)了一個(gè)新的公式，這個(gè)公式恰恰是(a—b)•(a+b)=a2一b2的逆用。   讓學(xué)生經(jīng)歷這樣的過程，并非多余，而是借助自然數(shù)的因數(shù)分解實(shí)現(xiàn)多項(xiàng)式的因式分解．讓學(xué)生獲得歸納的經(jīng)驗(yàn)，在直觀的基礎(chǔ)上進(jìn)行逐步抽象，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)理解性掌握．使之在獲得新知的同時(shí)，經(jīng)歷一次思維的訓(xùn)練，實(shí)現(xiàn)思維水平的提升。