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摘要：伯努利方程是大學物理中流體力學的基本方程，也是教學中的重點和難點。為了提高學生的學習興趣與課堂思考能力，本文首先以一個簡單的實驗為切入點，引出伯努利方程，并且介紹了伯努利方程的應用。本課程的設計增強了學生獨立思考的能力，取得了較好的教學成果。

關鍵詞：大學物理；伯努利方程；課程設計

伯努利方程是大學物理中流體力學基礎章節的核心內容，而大學物理又是大學中理工科專業的必修課。一些同學在高中時期或多或少學習了一些伯努利方程的內容，在大學物理教學中，更注重方程的推導過程與思想，同時多介紹生活與科技中伯努利方程的應用，以激發學生獨立思考，增加學生對大學物理的學習興趣。本文主要介紹在教授伯努利方程這一節內容時，對課程的設計以及講解內容，為同行提供參考。首先我們演示一個小實驗，通過讓學生觀察實驗結果，思考實驗原理；其次，講解伯努利方程的推導過程，讓學生領會其中的物理思想與思維；最后聯系生活與科技，介紹伯努利方程的應用，調動學生的主觀能動性，能夠把所學的物理知識聯系實際生活[1]。

一教學流程

（一）實驗演示

實驗室物理學的基礎，通過對實驗現象的觀察、分析，加深對物理知識的理解與掌握。講課時，首先在講臺做一個乒乓球的懸浮實驗來演示伯努利效應[2,3]。實驗裝置的簡化圖如圖1所示，實驗器材是一個漏斗和一個乒乓球，儀器簡單有益于學生自己在課下重復實驗。整個實驗流程分為兩步，首先把乒乓球放在較為粗糙的硬紙板上，其次把漏斗放在乒乓球上空，對漏斗的狹小空間內吹氣。結果發現，乒乓球離開硬紙板，被吸附在漏斗的錐形區域內。教師演示這個實驗之后，請兩到三位學生上來重復這個實驗，調動學生的積極性。學生在看到乒乓球旋轉懸浮在紙板之上，會感到十分驚奇，此時已經充分調動了學生的好奇心，接下來讓學生帶著問題開始學習伯努利方程的內容。

（二）伯努利方程

伯努利方程是由瑞士物理學家伯努利1738年提出來的，是理想流體做定常流動時的動力學基本規律，它反映了理想液體作穩定流動時，壓強、流速和高度三者之間的關系。接下來我們利用功能原理來推導這一方程[4]。如圖2所示，在作定常流動的理想流體中，我們任意選一個細流管，假設在某個時刻t，流管中一段流體所處的位置為a1a 2，在a1、a2處流管的橫截面積分別為△S1、△S2，流速分別為v1、v2，高度分別為h1、h2，壓強分別為p1和p2，經過很短的時間△t，這段流體運動至位置b1b2。我們先來研究這段流體從a1a 2運動至b1b2時的機械能變化。由于選取的研究對象是在作定常流動的理想流體，所以流體的壓強、密度、流速等物理量不隨時間發生變化，因此從圖中我們可以得到b1a2段的流體在運動狀態在流動過程中沒有變化，我們只需考慮a1b1和a2b 2兩段流體的機械能變化即可，用E1和E2來分別表示這兩段流體的機械能。

（三）伯努利方程的應用

伯努利方程只適用于理想液體做穩定流動的情況。對于黏性較小的水、乙醇等液體或流動中密度變化很小的氣體，當它們作穩定流動時，伯努利方程仍近似成立。伯努利方程在水利、造船、航空等領域有著廣泛的應用，下面我們舉幾個生活中常見的例子加以說明[5,6]。

（1）火車站臺的兩米線

在火車站臺上，都會在距離火車軌道兩米處的站臺上，刷上一條長長的黃色警示線，每當有列車即將進站的時候，車站里總是會廣播：列車即將進站，請候車的旅客不要越過地面黃色的警示線。同時，地面的執勤人員也會提醒乘客不要越過警示線。這是什么原因呢？我們可以通過伯努利方程來分析。通常列車通過車站或者進站的時候速度比較快，前行速度較大的列車會帶動周圍空氣快速的流動。這時，我們可以選取一個水平流管，根據（2）式，可知速度大的地方壓強小，速度小的地方壓強大。站臺上的空氣流速與車廂附近的空氣流速相比較小，壓強就較大，這樣在人體的兩側會產生一個壓力差，好比存在一個將人推向列車的推力。這是非常危險的情況，很容易發生意外，因此在站臺候車的旅客要站在兩米安全線以外。

（2）船吸現象

1912年秋天，“奧林匹克”號正在大海上航行，在距離100米處，有一艘比它小得多的鐵甲巡洋艦“豪克”號正在向前疾駛，兩艘船似乎在比賽，彼此靠的很行著駛向前方。忽然，正在疾駛中的“豪克”號好像被大船吸引似地，一點也不服從舵手的操縱，竟一頭向“奧林匹克”號闖去，釀成一件重大海難事故。在水上航行的兩艘船，航行期間不能距離太近并行，很容易發生相撞。我們可以根據伯努利方程來分析原因。根據學過的連續性原理，兩船之間的水流截面積減小，流速加快。在垂直于船行方向上，兩船之間與外側水流速度存在差值，根據伯努利方程速大壓小的結論，可得知兩船的外側壓力大于內側的壓力，就好像存在壓力使得兩船向一齊靠攏，最終發生相撞。

（3）大風掀起屋頂

著名的詩人杜甫有一首詩《茅屋為秋風所破歌》中有一句：“八月秋高風怒號，卷我屋上三重茅”。在風大打的時候，房屋的屋頂被風吹走，這其中也蘊含著伯努利方程的知識。曾有新聞報道，2013年7月江蘇省高郵市遭遇龍卷風襲擊，大量的房屋屋頂被風吹走。我們來思考一下怎么來解釋這種現象。當暴風來襲時，空氣的流速非常大，甚至可以達到200km/s或者更大，而屋內的空氣流速可以近似的看成零。根據伯努利方程，速度大處壓強小，可以得知屋頂外的壓強遠遠小于屋內的壓強，當屋頂內外壓強差達到一定程度時，就會把屋頂掀翻。

（4）“香蕉球”原理

香蕉球又稱為弧線球，指運動員運用腳法，踢出球后并使球在空中向前作弧線運行的踢球技術。香蕉球常用于攻方在對方禁區附近獲得直接任意球時，利用其弧線運行狀態，避開人墻直接射門得分。英國著名的足球運動員貝克漢姆在2002年世界杯預選賽，對希臘一戰中最后一分鐘以一腳香蕉球聞名于世界。我們仔細觀察足球的運動狀態會發現，足球在前進的過程中在不停的旋轉。，當足球轉動時，四周的空氣會被足球帶動，形成旋風式的流動。足球的兩側，一側是逆風行駛，另一側則是順風，從而造成了足球兩側的空氣流速有一定的差值，我們根據伯努利方程可知，有速度差存在，足球的兩側就存在著壓強差。足球在前行的過程中同時也會受到朝一側放入推力，從而行駛出類似于香蕉形狀的弧線軌跡。

二總結

伯努利方程是大學物理流體力學章節中的重點，也是學生學習的難點。本課程設計的教學過程，以一個實驗為開端引起了學生的學習興趣和疑問，從而根據功能原理推導出伯努利方程。最后基于伯努利方程，解釋生活中常見的幾個現象。既加深了學生的理解，又提高了學生知識應用的能力。希望本課程的討論，為其他老師在講解伯努利方程時，提供一些課程設計的思路與參考。

參考文獻

[1]張志穎，付申成.淺談大學物理教學中存在的問題[J].長春理工大學學報，2007，20（1）:71-72.

[2]李海寶，姜洪喜，張琳，等.一例關于伯努利方程知識點的教學案例[J].物理與工程，2015,25（1）:61-64.

[3]孟慶昌，鄧輝，王沖，等.問題導入式教學法在流線伯努利方程講授中的應用[J].力學與實踐，2019,41（1）:98-103.

[4]張慶國，陳慶東.普通物理學[M].中國農業出版社，2011.

[5]何云兵，蘭善紅，等.淺析伯努利方程的應用[J].山東化工，2015,44（11）:81-82.

[6]吳明眼.伯努利方程原理及其應用[J].信息記錄材料，2018,19（9）:115-117.

作者:周清曉 單位:河南科技大學物理工程學院