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函數(shù)值域范文1

關(guān)鍵字：反函數(shù)法、值域、復(fù)合函數(shù)

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函數(shù)值域的求解是中學(xué)數(shù)學(xué)的一個(gè)難點(diǎn)，也是一個(gè)重點(diǎn)。求函數(shù)值域的方法有很多，反函數(shù)法是常用的方法之一，在一些刊物、叢書，甚至中學(xué)教師使用的《教學(xué)參考書》中也頗常見。但該法一直以來存在很多爭議。本文就反函數(shù)法求函數(shù)值域發(fā)表個(gè)人的一些看法。

在這之前先給出反函數(shù)的定義：

一般地，設(shè)函數(shù) 的值域是C，根據(jù)這個(gè)函數(shù)中x,y的關(guān)系，用y把x表示出，得到 。若對于y在C中的任何一個(gè)值，通過 ，x在A中都有唯一的值和它對應(yīng)，那么， 就表示y是自變量，x是因變量的函數(shù)，這樣的函數(shù) 叫做函數(shù) 的反函數(shù)，記作 。反函數(shù) 的定義域、值域分別是函數(shù) 的值域、定義域。

注：函數(shù)存在反函數(shù)的充要條件是，定義域與值域之間的映射是一一映射。

一、反函數(shù)法合理嗎？

反函數(shù)法的合理性一直遭到質(zhì)疑，首先我們看個(gè)例子：

例1、 求函數(shù) 的值域。

解：去分母，得

即(1)

(2)

再由 得(3)

所以函數(shù)的值域?yàn)?的實(shí)數(shù)。

對于例1，文[1]認(rèn)為由(1)式到(2)式的推導(dǎo)并不充分，所以其推導(dǎo)“缺乏依據(jù)”；只有(1)式和(3)式合起來才能推出(2)式這樣又“導(dǎo)致循環(huán)推理”。對于這個(gè)問題，文[2]中已經(jīng)給出了一種合理的解釋。在此，筆者也發(fā)表自己的一點(diǎn)看法，反函數(shù)的定義域是由原函數(shù)的值域確定的，由于反函數(shù)與原函數(shù)的互相依賴的關(guān)系，反過來，在滿足一定條件的情況下，當(dāng)然可以由反函數(shù)的定義域來確定原函數(shù)的值域了。因此，筆者認(rèn)為反函數(shù)法在理論上是毋庸質(zhì)疑的。

二、這是反函數(shù)法嗎？

例2、 求 的值域。

解：為了求值域，由原式解出 ,

得

由此得

所以函數(shù)的值域是 。

例2在解題過程中符合反函數(shù)法的一般步驟，最后的結(jié)果也是正確的。但是我們可以發(fā)現(xiàn)在反解的過程中得到的x關(guān)于y的表達(dá)式 中變量y所對應(yīng)的x并不唯一，即反解得到的解析式不是中學(xué)范疇內(nèi)的函數(shù)解析式，所以不存在反函數(shù)。例2的結(jié)果雖然正確，但只是一種巧合。既然不存在反函數(shù)，當(dāng)然不能用反函數(shù)法。

三、存在反函數(shù)就一定可以用反函數(shù)法嗎？

例3、求函數(shù) 的值域。

解1：用配方法

由于

，且y在 上為u的增函數(shù)

時(shí)， 。

解2：用類似于例1、例2的反函數(shù)法

由原函數(shù)式解出x，得

由此得

函數(shù)的值域是 。

易驗(yàn)證，函數(shù) 存在反函數(shù)，反函數(shù)解析式即為 ，由解析式我們只能得到 ，事實(shí)上反函數(shù)的定義域?yàn)?（解1得出的結(jié)果是正確的）。由此我們可以看出，并不是只要原函數(shù)存在反函數(shù)就一定能用反函數(shù)法求值域。

四、什么情況可以用反函數(shù)法

由上面的討論我們可以看出，反函數(shù)法在理論上是毋容置疑的，但是又受到種種限制，很容易造成錯(cuò)誤的使用。因此在什么情況下可以使用反函數(shù)法就變得很有意義。

用反函數(shù)法求函數(shù)值域需滿足兩個(gè)條件：1題目給出的函數(shù)應(yīng)該存在反函數(shù)，2 與 同解。

在中學(xué)數(shù)學(xué)所學(xué)的初等函數(shù)中滿足這兩個(gè)條件的很多，例如指數(shù)函數(shù) 的反函數(shù)是對數(shù)函數(shù) ，一次函數(shù) 的反函數(shù)還是一次函數(shù) ，反比例函數(shù) 的反函數(shù)是其本身，所有的奇次冪函數(shù) （其中n為奇數(shù)）與對應(yīng)的冪函數(shù) （其中n為奇數(shù)）互為反函數(shù)。因此它們都可以用反函數(shù)法求函數(shù)值域。當(dāng)然他們的值域教材中都已經(jīng)作為結(jié)論給了出來。

顯然，由上述這些類型的函數(shù)復(fù)合而成的函數(shù)的值域都可以用反函數(shù)法來求。例如形如 類的分式函數(shù)就是由一次函數(shù)和反比例函數(shù)復(fù)合而成。再如：

例4、求 的值域

解：由已知函數(shù)得

，

解得： 或 ，故函數(shù)的值域?yàn)?。

五、小結(jié)

反函數(shù)法作為一種常用的求函數(shù)值域的方法在理論上是毋庸質(zhì)疑的，它有自身的優(yōu)勢也有很大的局限性，因此在采用某種方法之前，我們應(yīng)當(dāng)首先確定題目滿不滿足使用這種方法的條件。

參考文獻(xiàn)

[1]孟德酉.反函數(shù)法求函數(shù)值域質(zhì)疑[J].數(shù)學(xué)通報(bào).1990.4

函數(shù)值域范文2

關(guān)鍵詞：函數(shù)值域；解題方法；重要內(nèi)容；重點(diǎn)難點(diǎn)

中圖分類號：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1992-7711（2017）02-0107

求函數(shù)的值域是學(xué)生感到棘手的問題，它所涉及的知識面廣，方法靈活多樣，在考試中經(jīng)常出現(xiàn)，若方法運(yùn)用得當(dāng)，就能起到化繁為簡、事半功倍的作用。本文就函數(shù)值域的常用求法歸納如下，供參考。

其一，配方法：主要是針對二次函數(shù)或可化成二次函數(shù)型的最值及值域問題，可用此法。

例：1. 求函數(shù)y=-x2+2x+3的值域

解析：y=-（x-1）2+4，當(dāng)x=1時(shí)，y最大=4，所以，值域是（-∞，4]。

2. 求函數(shù)y=32x+2?3x-1在[0，1]上的最大值。

解析：令3x=t，則y=t2+2t-1=（t+1）2-2

x∈[0，1]，t∈[1，3]，當(dāng)t=3時(shí)，y最大=14

其二，換元法：若函數(shù)表達(dá)式中含有根式、分式、指數(shù)式、對數(shù)式等，可考慮用此方法：

例：1. 求函數(shù)f（x）=x+2 的最大值。

解析：方法一：設(shè) =t t≥0，x=1-t2

y=-（t-1）2+2，當(dāng)t=1即x=0時(shí)，y最大=2

方法二：利用導(dǎo)數(shù)法，定義域是{x/x≤1}

f ′（x）=1- 由f ′（x）=0，得x=0

當(dāng)x0，f（x）為增函數(shù)

當(dāng)0

當(dāng)x=0時(shí)，f（x）最大=f（0）=2

2. 求函數(shù)y=x+y=x+ 的值域

解析：換元法 由4-x2≥0，知-2≤x≤2

設(shè)x=2cos，θ∈[0，π]，則y=2cosθ+ =2cosθ+2sinθ=22 （θ+ ）

θ+ ∈[ ， ]，sin（θ+ ）∈[ ，1]

y∈[-2，2 ]

其三，導(dǎo)數(shù)法（利用函數(shù)單調(diào)性）

函數(shù)y=ax+ （a>0，b>0）被稱為對勾函數(shù)，以此為背景的考題，曾是考試熱點(diǎn)。

例：談?wù)摵瘮?shù)f（x）=ax+ （a>0，b>0）的單調(diào)性

解析：f ′（x）=a- 令f ′（x）=0 ax2-b=0 x=±

當(dāng)f ′（x）>0 x> 或x

當(dāng)f ′（x）

f（x）在（-∞，- ]，[ ，+∞）上是增函數(shù)

f（x）在[- ，0），（0， ]上是減函數(shù)

2. 求函數(shù)f（x）=x+ 在[3，+∞]的最小值

解析：此函數(shù)是對勾函數(shù)，由其性質(zhì)，知f（x）在[3，+∞]上是增函數(shù)，所以，其最小值是 。

其四，分離常數(shù)法

例：1. 求函數(shù)y= 的值域

解析：y=2+ 其值域是{y/y≠2}

2. 求y= 的值域

解析：法一：分離常數(shù)法，y= 由2x-1>-1

知 0，y>1或y

法二：反函數(shù)法2x= ，x=log2

由 >0，得y>1或y

3. 求函數(shù)y= （x>1）的最小值。

解析：x>-1，x+1>0

原式= =x+1+ +5≥2 +5=9

當(dāng)且僅當(dāng)x+1= ，x=1時(shí)，等號“=”成立

當(dāng)x=1時(shí)，原函數(shù)的最小值為9。（先分離常數(shù)，再用不等式法求最小值）

其五，不等式法

例：已知：x>0，y>0 ，且 + =1，求x+y的最小值。

方法一：把求二元函數(shù)f（x，y）=x+y，轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)。由 + =1得y= =9+ ，由x>0y= >0得x>1

x+y=x+9+ =x-1+ +10≥2 +10=16且僅當(dāng)x-1= 即：x=4時(shí)，上式取“=”號

x+y的最小值是16。

方法二：對二元函數(shù)也可轉(zhuǎn)化為 + 型函數(shù)，然后再用均值不等式。

（上接第107頁）

+ =1x+y=（x+y）（ + ）=10+ + ≥16當(dāng)且僅當(dāng) = ，即：x=4，y=12時(shí)，上式取“=”號

x+y的最小值為16。

其六，線性規(guī)劃問題，求目標(biāo)函數(shù)的最值問題

例：已知x，y滿足約束條件x≥1x-3y≤-43x+5y≤30

①求目標(biāo)函數(shù)，y=2x+y的最值

②求y= 的取值范圍

③求y=x2+y2的取值范圍

其七，數(shù)形結(jié)合法，函數(shù)表達(dá)式具有明顯的某種幾何定義，如兩點(diǎn)距離、直線斜率等，用此方法會更加簡單、一目了然。

例：1. 求函數(shù)y= + 的值域

解析：y=x-2+x+8可看成數(shù)軸上點(diǎn)x與點(diǎn)2與點(diǎn)-8的距離之和，y∈[10，+∞）

2. 求函數(shù)y= = 的值域

解析：上式可變形為：

y= -

= =

上式可看成在坐標(biāo)平面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)P（x，0）到定點(diǎn)A（3，2）與B（-2，1），距離之差。

即：y=AP-BP

由AP-BP≤AB=

- ≤y≤

函數(shù)值域范文3

例1：求函數(shù)y=■的值域。

解：原函數(shù)變形為關(guān)于x的方程得(y-2)x2+2(y-2)x+3y+7=0。原函數(shù)定域?yàn)镽。上述方程在x∈R內(nèi)有實(shí)根。

（1）當(dāng)y-2=0時(shí),方程化為13=0在x∈R內(nèi)無實(shí)根,不合題意，故y≠2；

（2）當(dāng)y-2≠0時(shí), 上述方程為一元二次方程, 要使該方程在x∈R內(nèi)有實(shí)根, 必須滿足?駐=4(y-2)2-4(y-2)（3y+7)≥0，解得－■≤y≤2。

綜合(1)(2)，得原函數(shù)的值域?yàn)閇－■,2)。

例2：求函數(shù)y=■的值域。

解：原函數(shù)變形為關(guān)于x的方程得：(y-2)x2+x-y-7=0。又原函數(shù)的定義域?yàn)?-∞,-1)∪(-1,1)∪(1,+∞)。 所以上述方程在（-∞,-1)∪(-1,1)∪(1,+∞)上有實(shí)根。

（1）若y-2=0，方程化為x-3=0，其在上述區(qū)間內(nèi)有實(shí)根，此時(shí)y=2；

（2）若y-2≠0，方程為一元二次方程，要使其在上述區(qū)間內(nèi)有實(shí)根只須?駐=1+4(y-2)(y+1)≥0，y-2+1-y-1≠0，-2-1-y-1≠0，解得y≤■或y≥■。

綜合(1)(2)，得原函數(shù)值域?yàn)?-∞,■ ]∪[■,+∞)。

例3：已知x＞■，求函數(shù)f(x)=■的值域。

解：原函數(shù)變形為關(guān)于x的一元二次方程得x2-(2y+4)x+5+4y=0。原函數(shù)定義域?yàn)椋ā?+∞），上述方程在（■,+∞）上有根，則?駐≥0，（x1-■)(x2-■)≥0，x1+x2＞5，或?駐≥0，（x1-■)(x2-■)

即(2y+4)2-4(5+4y)≥0，5+4y-■(2y+4)+■≥0，2y+4≥5，

或2y+4)2-4(5+4y)≥05+4y-■(2y+4)+■＜0，

解得y≥1。原函數(shù)的值域?yàn)閇1,+∞)。

例4：已知函數(shù)f(x) =log3■的定義域?yàn)镽，值域?yàn)?0 , 2)， 求m、n的值。

解：f(x) 的值域?yàn)?0,2)，■∈[1,9]，設(shè)y=■, 則1≤y≤9, 化為關(guān)于x的方程為(y-m)x2-8x-y-n=0，由函數(shù)定義域?yàn)镽知，上述方程在R內(nèi)有實(shí)根。

（1）若y-m=0，則上述方程化為一元一次方程8x+m-n=0在R內(nèi)有實(shí)根，此時(shí)y=m，又1≤y≤9，所以1≤m≤9。

（2）若y-m≠0，上述方程為一元二次方程,要使其在R內(nèi)有實(shí)根,則?駐=(-8)2-4(y-m)(y-n)≥0，即y2－（m+n）y+（mn－16）≤0。由1≤y≤9 知，關(guān)于y的一元二次方程y2－（m+n）y+（mn－16）=0的兩根為1和9。由韋達(dá)定理得m+n=1+9，mn－16=1×9，解得■

綜合（1）（2），得m=n=5。

注意：（1）“判別式法”的解題思想是：函數(shù)在D內(nèi)有意義等價(jià)于方程在D內(nèi)有實(shí)根。（2）用判別式之前，必須先考慮x2的系數(shù)是否為0。（3）一元二次方程在D內(nèi)有實(shí)根：若D=R，則只須?駐≥0；若D≠R，則除了?駐≥0外，還須考慮實(shí)根在D內(nèi)的具體分布情況。

函數(shù)值域范文4

關(guān)鍵字：函數(shù)，值域，案例

以下是我在教學(xué)中發(fā)現(xiàn)的有關(guān)"求函數(shù)的值域"的例題，拿出來供大家研討。

一、出示例題

上例是求函數(shù)的值域的一種較常用的方法、即"配湊法"，學(xué)生易于掌握，但教學(xué)中發(fā)現(xiàn)有學(xué)生在解答其它例題時(shí)也采用此法，如：

二、案例分析

上述學(xué)生對例2、例3的誤解即反映出學(xué)生在解題教學(xué)的積極一面，又反映出學(xué)生對知識的系統(tǒng)性與思維的全面性的不足，下面作一扼要的分析。

對學(xué)生的誤解的合理之處，其一是反映出學(xué)生已掌握"配湊法"求函數(shù)的值域的要點(diǎn)，另一就是學(xué)生具備了舉一反三的思想。

不足之處就是忽視知識的系統(tǒng)性、嚴(yán)密性。同時(shí)，習(xí)慣性思維在腦海中也根深蒂固，從而導(dǎo)致知識（或公式）的生般硬套。細(xì)推敲，可以從以下幾方面分析：

①知識性錯(cuò)誤：表現(xiàn)在對函數(shù)性質(zhì)的把握上，例一中分母X-1其值域?yàn)镽，其性質(zhì)就只需考慮X-1≠0。而例2中涉及指數(shù)函數(shù)y=a （0a ≠1） 的值域問題，不僅僅是只考慮分母不為0，而且要考慮a 0 這一隱含條件，同時(shí)例3中分母x +x-1也需考慮其最小值問題，而學(xué)生籠統(tǒng)只要求分母不為0，顯然屬于思維不全面。

②邏輯性錯(cuò)誤：由于例1的存在，故讓很多學(xué)生錯(cuò)誤的認(rèn)為，如例2、例3類型的題目均可用"配湊法"來解題，這種邏輯思維顯然是錯(cuò)誤的，很多問題是要求具體問題具體分析。

③心理性錯(cuò)誤：表現(xiàn)在人的思維定勢及經(jīng)驗(yàn)主義。往往很多學(xué)生在老師講解某題的特殊解法后，學(xué)生把這種解法掌握后，所以在做其它題目不去考慮其它題目的具體特點(diǎn)，往往憑經(jīng)驗(yàn)或憑已有固定的思路把這些題目和老師講的例題等同其來，這完全是心理作用在作怪。

④缺乏拓展思維：學(xué)生應(yīng)認(rèn)識到有很多數(shù)學(xué)問題，解法不唯一，應(yīng)提倡學(xué)生對同一題目思考多種解法，若多種解法的答案不同，便可自己發(fā)現(xiàn)問題，進(jìn)而進(jìn)一步思考，從而去偽存真。同時(shí)眾多的解法中，也宜來用更為簡單較好的。如上述例2，事實(shí)上也可用反解法解之：

函數(shù)值域范文5

一、函數(shù)關(guān)系式與定義域

函數(shù)關(guān)系式包括定義域和對應(yīng)法則，所以在求函數(shù)的關(guān)系式時(shí)必須要考慮所求函數(shù)關(guān)系式的定義域，否則所求函數(shù)關(guān)系式可能是錯(cuò)誤。如：

例1：某單位計(jì)劃建筑一矩形圍墻，現(xiàn)有材料可筑墻的總長度為100m，求矩形的面積S與矩形長x的函數(shù)關(guān)系式？

解：設(shè)矩形的長為x米，則寬為(50－x)米，由題意得：

故函數(shù)關(guān)系式為： ．

如果解題到此為止，則本題的函數(shù)關(guān)系式還欠完整，缺少自變量 的范圍。也就說學(xué)生的解題思路不夠嚴(yán)密。因?yàn)楫?dāng)自變量 取負(fù)數(shù)或不小于50的數(shù)時(shí)，S的值是負(fù)數(shù)，即矩形的面積為負(fù)數(shù)，這與實(shí)際問題相矛盾，所以還應(yīng)補(bǔ)上自變量 的范圍：

即：函數(shù)關(guān)系式為：（ ）

這個(gè)例子說明，在用函數(shù)方法解決實(shí)際問題時(shí)，必須要注意到函數(shù)定義域的取值范圍對實(shí)際問題的影響。若考慮不到這一點(diǎn)，就體現(xiàn)出學(xué)生思維缺乏嚴(yán)密性。若注意到定義域的變化，就說明學(xué)生的解題思維過程體現(xiàn)出較好思維的嚴(yán)密性。

二、函數(shù)最值與定義域

函數(shù)的最值是指函數(shù)在給定的定義域區(qū)間上能否取到最大(小)值的問題。如果不注意定義域，將會導(dǎo)致最值的錯(cuò)誤。如：

例2：求函數(shù) 在[－2，5]上的最值．

解：

當(dāng) 時(shí)，

初看結(jié)論，本題似乎沒有最大值，只有最小值。產(chǎn)生這種錯(cuò)誤的根源在于學(xué)生是按照求二次函數(shù)最值的思路，而沒有注意到已知條件發(fā)生變化。這是思維呆板性的一種表現(xiàn)，也說明學(xué)生思維缺乏靈活性。

其實(shí)以上結(jié)論只是對二次函數(shù) 在R上適用，而在指定的定義域區(qū)間 上，它的最值應(yīng)分如下情況：

⑴ 當(dāng) 時(shí)， 在 上單調(diào)遞增函數(shù) ；

⑵ 當(dāng) 時(shí)， 在 上單調(diào)遞減函數(shù) ；

⑶ 當(dāng) 時(shí)， 在 上最值情況是：

，

．即最大值是 中最大的一個(gè)值。

故本題還要繼續(xù)做下去：

函數(shù) 在[－2，5]上的最小值是－ 4，最大值是12．

這個(gè)例子說明，在函數(shù)定義域受到限制時(shí)，若能注意定義域的取值范圍對函數(shù)最值的影響，并在解題過程中加以注意，便體現(xiàn)出學(xué)生思維的靈活性。

三、函數(shù)值域與定義域

函數(shù)的值域是該函數(shù)全體函數(shù)值的集合，當(dāng)定義域和對應(yīng)法則確定，函數(shù)值也隨之而定。因此在求函數(shù)值域時(shí)，應(yīng)注意函數(shù)定義域。如：

例3：求函數(shù) 的值域．

錯(cuò)解：令

故所求的函數(shù)值域是 ．

剖析：經(jīng)換元后，應(yīng)有 ，而函數(shù) 在[0,+∞)上是增函數(shù)，

所以當(dāng)t=0時(shí)，ymin=1．

故所求的函數(shù)值域是[1, +∞）．

以上例子說明，變量的允許值范圍是何等的重要，若能發(fā)現(xiàn)變量隱含的取值范圍，精細(xì)地檢查解題思維的過程，就可以避免以上錯(cuò)誤結(jié)果的產(chǎn)生。也就是說，學(xué)生若能在解好題目后，檢驗(yàn)已經(jīng)得到的結(jié)果，善于找出和改正自己的錯(cuò)誤，善于精細(xì)地檢查思維過程，便體現(xiàn)出良好的思維批判性。

四、函數(shù)單調(diào)性與定義域

函數(shù)單調(diào)性是指函數(shù)在給定的定義域區(qū)間上函數(shù)自變量增加時(shí)，函數(shù)值隨著增減的情況，所以討論函數(shù)單調(diào)性必須在給定的定義域區(qū)間上進(jìn)行。如：

例4：指出函數(shù) 的單調(diào)區(qū)間．

解：先求定義域：

函數(shù)定義域?yàn)?．

令 ，知在 上時(shí)，u為減函數(shù)，

在 上時(shí)， u為增函數(shù)。

又 ．

函數(shù) 在 上是減函數(shù)，在 上是增函數(shù)。

即函數(shù) 的單調(diào)遞增區(qū)間 ，單調(diào)遞減區(qū)間是 。

如果在做題時(shí)，沒有在定義域的兩個(gè)區(qū)間上分別考慮函數(shù)的單調(diào)性，就說明學(xué)生對函數(shù)單調(diào)性的概念一知半解，沒有理解，在做練習(xí)或作業(yè)時(shí)，只是對題型，套公式，而不去領(lǐng)會解題方法的實(shí)質(zhì)，也說明學(xué)生的思維缺乏深刻性。

五、函數(shù)奇偶性與定義域

判斷函數(shù)的奇偶性，應(yīng)先考慮該函數(shù)的定義域區(qū)間是否關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)成中心對稱，如果定義域區(qū)間是關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)不成中心對稱，則函數(shù)就無奇偶性可談。否則要用奇偶性定義加以判斷。如：

例5：判斷函數(shù) 的奇偶性．

解：

定義域區(qū)間[－1,3]關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)不對稱

函數(shù) 是非奇非偶函數(shù)．

若學(xué)生像以上這樣的過程解完這道題目，就很好地體現(xiàn)出學(xué)生解題思維的敏捷性

如果學(xué)生不注意函數(shù)定義域，那么判斷函數(shù)的奇偶性得出如下錯(cuò)誤結(jié)論：

函數(shù) 是奇函數(shù)．

錯(cuò)誤剖析：因?yàn)橐陨献龇ㄊ菦]有判斷該函數(shù)的定義域區(qū)間是否關(guān)于原點(diǎn)成中心對稱的前提下直接加以判斷所造成，這是學(xué)生極易忽視的步驟，也是造成結(jié)論錯(cuò)誤的原因。

綜上所述，在求解函數(shù)函數(shù)關(guān)系式、最值(值域)、單調(diào)性、奇偶性等問題中，若能精細(xì)地檢查思維過程，思辨函數(shù)定義域有無改變(指對定義域?yàn)镽來說)，對解題結(jié)果有無影響，就能提高學(xué)生質(zhì)疑辨析能力，有利于培養(yǎng)學(xué)生的思維品質(zhì)，從而不斷提高學(xué)生思維能力，進(jìn)而有利于培養(yǎng)學(xué)生思維的創(chuàng)造性。

參考文獻(xiàn)：

1． 王岳庭主編數(shù)學(xué)教師的素質(zhì)與中學(xué)生數(shù)學(xué)素質(zhì)的培養(yǎng)論文集北京海洋出版社1998

函數(shù)值域范文6

思維品質(zhì)是指個(gè)體思維活動(dòng)特殊性的外部表現(xiàn)。它包括思維的嚴(yán)密性、思維的靈活性、思維的深刻性、思維的批判性和思維的敏捷性等品質(zhì)。函數(shù)作為高中數(shù)學(xué)的主線，貫穿于整個(gè)高中數(shù)學(xué)的始終。函數(shù)的定義域是構(gòu)成函數(shù)的兩大要素之一，函數(shù)的定義域（或變量的允許值范圍）似乎是非常簡單的，然而在解決問題中不加以注意，常常會使人誤入歧途。在解函數(shù)題中強(qiáng)調(diào)定義域?qū)忸}結(jié)論的作用與影響，對提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)是十分有益的。

一、函數(shù)關(guān)系式與定義域

函數(shù)關(guān)系式包括定義域和對應(yīng)法則，所以在求函數(shù)的關(guān)系式時(shí)必須要考慮所求函數(shù)關(guān)系式的定義域，否則所求函數(shù)關(guān)系式可能是錯(cuò)誤。如：

例1：某單位計(jì)劃建筑一矩形圍墻，現(xiàn)有材料可筑墻的總長度為100m，求矩形的面積S與矩形長x的函數(shù)關(guān)系式？

解：設(shè)矩形的長為x米，則寬為（50-x）米，由題意得： ，故函數(shù)關(guān)系式為： .

如果解題到此為止，則本題的函數(shù)關(guān)系式還欠完整，缺少自變量 的范圍。也就說學(xué)生的解題思路不夠嚴(yán)密。因?yàn)楫?dāng)自變量 取負(fù)數(shù)或不小于50的數(shù)時(shí)，S的值是負(fù)數(shù)，即矩形的面積為負(fù)數(shù)，這與實(shí)際問題相矛盾，所以還應(yīng)補(bǔ)上自變量 的范圍：

即：函數(shù)關(guān)系式為： （ ）

這個(gè)例子說明，在用函數(shù)方法解決實(shí)際問題時(shí)，必須要注意到函數(shù)定義域的取值范圍對實(shí)際問題的影響。若考慮不到這一點(diǎn)，就體現(xiàn)出學(xué)生思維缺乏嚴(yán)密性。若注意到定義域的變化，就說明學(xué)生的解題思維過程體現(xiàn)出較好思維的嚴(yán)密性。

二、函數(shù)最值與定義域

函數(shù)的最值是指函數(shù)在給定的定義域區(qū)間上能否取到最大（小）值的問題。如果不注意定義域，將會導(dǎo)致最值的錯(cuò)誤。如：例2：求函數(shù) 在[-2，5]上的最值.

解： ， 當(dāng) 時(shí)，

初看結(jié)論，本題似乎沒有最大值，只有最小值。產(chǎn)生這種錯(cuò)誤的根源在于學(xué)生是按照求二次函數(shù)最值的思路，而沒有注意到已知條件發(fā)生變化。這是思維呆板性的一種表現(xiàn)，也說明學(xué)生思維缺乏靈活性。

其實(shí)以上結(jié)論只是對二次函數(shù) 在R上適用，而在指定的定義域區(qū)間 上，它的最值應(yīng)分如下情況： ⑴ 當(dāng) 時(shí)， 在 上單調(diào)遞增函數(shù) ；

⑵ 當(dāng) 時(shí)， 在 上單調(diào)遞減函數(shù) ；

⑶ 當(dāng) 時(shí)， 在 上最值情況是：

，

.即最大值是 中最大的一個(gè)值。

故本題還要繼續(xù)做下去：

這個(gè)例子說明，在函數(shù)定義域受到限制時(shí)，若能注意定義域的取值范圍對函數(shù)最值的影響，并在解題過程中加以注意，便體現(xiàn)出學(xué)生思維的靈活性。

三、函數(shù)值域與定義域

函數(shù)的值域是該函數(shù)全體函數(shù)值的集合，當(dāng)定義域和對應(yīng)法則確定，函數(shù)值也隨之而定。因此在求函數(shù)值域時(shí)，應(yīng)注意函數(shù)定義域。如：例3：求函數(shù) 的值域.錯(cuò)解：令

故所求的函數(shù)值域是 .剖析：經(jīng)換元后，應(yīng)有 ，而函數(shù) 在[0，+∞）上是增函數(shù)，所以當(dāng)t=0時(shí)，ymin=1.故所求的函數(shù)值域是[1， +∞）.