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一、引言

作為計(jì)算機(jī)相關(guān)專業(yè)核心基礎(chǔ)課程，離散數(shù)學(xué)在國內(nèi)外大學(xué)計(jì)算機(jī)專業(yè)教學(xué)中均受到充分的重視。近年來，計(jì)算機(jī)專業(yè)離散數(shù)學(xué)課程的教學(xué)改革受到國內(nèi)各高校關(guān)注，更多地注重應(yīng)用信息技術(shù)輔助于教學(xué)過程，并結(jié)合計(jì)算機(jī)學(xué)科背景、計(jì)算機(jī)專業(yè)應(yīng)用開展教學(xué)，如在教學(xué)中引入數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)或數(shù)學(xué)建模、網(wǎng)絡(luò)精品課程、雙語教學(xué)，以及近年來的MOOC課程等。同時(shí)，眾多的學(xué)校也在教學(xué)思想、方法上進(jìn)行改革，包括在教學(xué)過程中融入程序設(shè)計(jì)、應(yīng)用案例、數(shù)學(xué)建模以及數(shù)學(xué)文化等。這些教學(xué)改革措施取得了一定的效果，但針對目前計(jì)算機(jī)專業(yè)教學(xué)面臨的就業(yè)問題、學(xué)科專業(yè)創(chuàng)新思維培養(yǎng)、課程教學(xué)學(xué)時(shí)限制等，離散數(shù)學(xué)課程教學(xué)還存在一系列需要探討的問題。注意到，這些教學(xué)改革能夠增加學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣與學(xué)習(xí)信心，強(qiáng)化學(xué)習(xí)過程。但根據(jù)我們多年的教學(xué)實(shí)踐，從離散數(shù)學(xué)課程的理論性強(qiáng)、抽象程度高的特點(diǎn)以及學(xué)生學(xué)習(xí)該課程時(shí)的基礎(chǔ)等方面分析，這些教學(xué)改革措施實(shí)施并不容易，難以達(dá)到預(yù)期的效果，甚至可能出現(xiàn)本末倒置的情況。特別是網(wǎng)絡(luò)課程學(xué)習(xí)、動(dòng)畫輔助教學(xué)等教學(xué)效果并不理想，這是有離散數(shù)學(xué)課程特點(diǎn)決定了的。我們認(rèn)為要從計(jì)算機(jī)專業(yè)學(xué)科體系高度出發(fā)思考如何進(jìn)行研究性教學(xué)，要抓住計(jì)算機(jī)學(xué)科發(fā)展規(guī)律、離散數(shù)學(xué)課程特點(diǎn)，以增強(qiáng)學(xué)生理論知識、抽象思維能力、邏輯思維能力、自主學(xué)習(xí)能力，以及理解計(jì)算機(jī)科學(xué)核心思想和方法為目標(biāo)進(jìn)行教學(xué)改革。本文在分析各類教學(xué)改革措施基礎(chǔ)上，探討新時(shí)期下離散數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容與教學(xué)模式。

二、離散數(shù)學(xué)教學(xué)模式

基于現(xiàn)有的研究基礎(chǔ)與教學(xué)實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)，筆者認(rèn)為，要達(dá)到離散數(shù)學(xué)的主要教學(xué)目標(biāo)，需要進(jìn)一步探討如下幾個(gè)方面的問題:如何通過應(yīng)用案例有效地增加學(xué)生學(xué)習(xí)興趣?如何有效訓(xùn)練學(xué)生計(jì)算思維?如何增強(qiáng)學(xué)生的創(chuàng)新能力?如何選擇教學(xué)實(shí)驗(yàn)?針對目前國內(nèi)高校計(jì)算機(jī)專業(yè)體系安排以及教學(xué)學(xué)時(shí)壓縮和增強(qiáng)學(xué)生自主學(xué)習(xí)能力難度較大的現(xiàn)實(shí)，筆者認(rèn)為，離散數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容應(yīng)該以數(shù)理邏輯、集合論以及代數(shù)結(jié)構(gòu)、圖論為主，同時(shí)注重如下幾方面的教學(xué)內(nèi)容的設(shè)計(jì):應(yīng)用案例、計(jì)算思維訓(xùn)練、“本原性學(xué)科問題”導(dǎo)學(xué)設(shè)計(jì)等。離散數(shù)學(xué)采取傳統(tǒng)教學(xué)方式與現(xiàn)代計(jì)算機(jī)輔助教學(xué)方式結(jié)合的教學(xué)模式是最佳選擇。前者強(qiáng)調(diào)有益于學(xué)生獨(dú)立自主的學(xué)習(xí)思考的教學(xué)過程，后者強(qiáng)調(diào)可以適當(dāng)使用多媒體方式展示有大量文字信息的內(nèi)容給學(xué)生，以節(jié)省時(shí)間，讓學(xué)生快速地了解教學(xué)內(nèi)容。特別地，基于歷史上學(xué)科發(fā)展過程的視角的“本原性學(xué)科問題驅(qū)動(dòng)”教學(xué)模式是一種適宜于離散數(shù)學(xué)課程的教學(xué)模式，主要基于如下兩方面的思考:一方面，離散數(shù)學(xué)課程一般在低年級開設(shè)，學(xué)生對計(jì)算機(jī)專業(yè)還沒有深入的理解，如果僅僅是提供離散數(shù)學(xué)課程中邏輯性、抽象性非常強(qiáng)的概念、性質(zhì)給學(xué)生，會(huì)使得學(xué)生在思維與方法上脫離計(jì)算機(jī)科學(xué)專業(yè)而導(dǎo)致其學(xué)習(xí)興趣不強(qiáng)，從而影響后續(xù)理論與實(shí)踐課程的學(xué)習(xí)。在新的就業(yè)形勢下，有必要開展新的教學(xué)模式研究。另一方面，教學(xué)經(jīng)驗(yàn)表明，學(xué)生對課程相關(guān)主題的研究歷史(相當(dāng)程度上也是計(jì)算機(jī)學(xué)科的發(fā)展歷史)和研究具體過程表現(xiàn)出濃厚的興趣，從而啟發(fā)我們，是否可以將學(xué)科本質(zhì)問題或?qū)W科相關(guān)主題的研究或發(fā)展歷史過程與離散數(shù)學(xué)課程的理論教學(xué)結(jié)合起來?希望學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中不僅僅能看到成熟的離散數(shù)學(xué)成果，也能夠看到原始問題，看到計(jì)算機(jī)學(xué)科本質(zhì)、計(jì)算機(jī)學(xué)科發(fā)展過程，能夠真正理解為什么要學(xué)、學(xué)什么以及怎么學(xué)的問題，能夠積極主動(dòng)了解、理解或甚至參與學(xué)科相關(guān)問題的提出、發(fā)展的過程，這個(gè)過程類似于計(jì)算機(jī)科學(xué)家或數(shù)學(xué)家的研究活動(dòng)過程。因此，研究與設(shè)計(jì)來源于歷史、可以反映研究過程并適合于課程教學(xué)的離散數(shù)學(xué)本原性學(xué)科問題是很必要和重要的。

三、離散數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容

目前，國內(nèi)大多數(shù)高校計(jì)算機(jī)專業(yè)離散數(shù)學(xué)課程教學(xué)內(nèi)容主要包括四個(gè)部分:數(shù)理邏輯、集合論、代數(shù)結(jié)構(gòu)以及圖論，而國外大部分計(jì)算機(jī)專業(yè)離散數(shù)學(xué)課程主要包括數(shù)理邏輯(證明方法)、集合、圖論、離散概率以及組合數(shù)學(xué)部分基礎(chǔ)或算法分析等內(nèi)容，少數(shù)還討論數(shù)論。國內(nèi)有少部分高校采用國外教材從而在教學(xué)內(nèi)容上與后者一致，前者更合適國內(nèi)計(jì)算機(jī)專業(yè)教學(xué)體系，并能更好地銜接研究生考試。整體上，國內(nèi)高校離散數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容與學(xué)時(shí)安排上是比較統(tǒng)一的，適合國內(nèi)絕大部分高校計(jì)算機(jī)專業(yè)的實(shí)際情況。

1．應(yīng)用案例設(shè)計(jì)

應(yīng)用案例教學(xué)在離散數(shù)學(xué)教學(xué)中已受到相當(dāng)程度的重視，但如何選擇案例仍然值得研究。教學(xué)案例應(yīng)該是能夠很好地融合到理論學(xué)習(xí)中，學(xué)生通過課堂教學(xué)、課外自學(xué)逐步了解、理解案例的理論背景以及學(xué)科思想與方法。但限于當(dāng)前學(xué)生學(xué)習(xí)任務(wù)重，自學(xué)時(shí)間少，具體分析討論的案例應(yīng)該精而少。例如，筆者近年教授的計(jì)算機(jī)專業(yè)學(xué)生的專業(yè)方向是信息安全，便設(shè)計(jì)了如下的教學(xué)案例:圖論應(yīng)用案例描述:軟件水印因?yàn)槠浞N類繁多、檢測和分析困難而成為研究的熱點(diǎn)之一，尤其是抗攻擊能力較好的動(dòng)態(tài)圖軟件水印特別受到關(guān)注。動(dòng)態(tài)圖水印是由Collberg和Thomborson提出的一種基于圖論的軟件水印技術(shù)，DGW的基本思想是用一個(gè)圖的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)來表示水印數(shù)據(jù)，當(dāng)輸入一個(gè)特定的序列后可以觸發(fā)后該拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)在程序運(yùn)行時(shí)動(dòng)態(tài)創(chuàng)建，從而提取出圖的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)得到水印數(shù)據(jù)。實(shí)現(xiàn)動(dòng)態(tài)圖軟件水印的基本步驟略。相關(guān)問題:①分析圖基礎(chǔ)概念與圖的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)定義;②定義圖結(jié)構(gòu)與水印映射關(guān)系;③圖的遍歷;④設(shè)計(jì)一種圖結(jié)構(gòu)與映射關(guān)系，使得動(dòng)態(tài)圖軟件水印擁有更高的數(shù)據(jù)率，從而獲得更好的隱蔽性和魯棒性;⑤定義圖的Catalan數(shù)。該案例具有如下特點(diǎn):①是計(jì)算機(jī)科學(xué)領(lǐng)域當(dāng)前研究前沿?zé)狳c(diǎn);②可以擴(kuò)展到遙感影像數(shù)字水印，這有著學(xué)校特色與交叉學(xué)科優(yōu)勢;③本案例主要涉及到圖論多個(gè)知識點(diǎn)，并可以擴(kuò)展到代數(shù)結(jié)構(gòu)部分，是理論知識與應(yīng)用融合的典型案例。

2．計(jì)算思維訓(xùn)練

計(jì)算思維是運(yùn)用計(jì)算機(jī)科學(xué)的基礎(chǔ)概念進(jìn)行問題求解、系統(tǒng)設(shè)計(jì)、以及人類行為理解等涵蓋計(jì)算機(jī)科學(xué)之廣度的一系列思維活動(dòng)。計(jì)算機(jī)專業(yè)學(xué)生對計(jì)算思維的學(xué)習(xí)要求更高，這更有利于理解與應(yīng)用計(jì)算機(jī)理論、方法與技術(shù)，更有利于開展創(chuàng)造性工作。離散數(shù)學(xué)課程的特點(diǎn)決定其在培養(yǎng)學(xué)生計(jì)算思維過程中將起到重要作用。例如，傳統(tǒng)離散數(shù)學(xué)教學(xué)中，在介紹圖論起源即K?nigsberg七橋問題時(shí)，常常僅作為歷史故事以及從建模角度引入圖論，而從計(jì)算思維角度，考慮從解決問題的層次進(jìn)行分析，將清晰、抽象地描述該問題，并特別地該問題的解決方案表示為一個(gè)信息處理的流程。這樣，在保證相當(dāng)充分且必要的理論學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上，展現(xiàn)給學(xué)生的是一個(gè)完整的計(jì)算機(jī)科學(xué)最為核心的思維方式，可以有效地訓(xùn)練學(xué)生計(jì)算思維，并增強(qiáng)學(xué)習(xí)興趣。

3．本原性學(xué)科問題示例

下面是一部分“本原性學(xué)科問題”示例。①從數(shù)學(xué)到命題邏輯:介紹亞里士多德、布爾、弗雷格以及羅素等對數(shù)理邏輯發(fā)展所做的工作;②符號邏輯代數(shù):學(xué)習(xí)了解布爾、維恩以及皮爾斯等在符號邏輯的提出、發(fā)展到成熟的過程;③哈夫曼編碼:介紹哈夫曼提出哈夫曼編碼的歷史背景與詳細(xì)過程，以及其應(yīng)用模式;④網(wǎng)絡(luò)與生成樹:主要基于凱萊的工作介紹樹的提出、分析模式，特別是凱萊定理的提出與證明;⑤代數(shù)學(xué)中的抽象:拉格朗日、柯西、凱萊為早期群理論所做的工作;⑥七橋問題與歐拉回路:基于早期歐拉的論文完整呈現(xiàn)歷史上七橋問題的提出到求解的完整過程;⑦Icosian游戲于哈密爾頓回路:呈現(xiàn)Icosian游戲中的離散數(shù)學(xué)思想。

四、結(jié)論

本文探討了新時(shí)期離散數(shù)學(xué)教學(xué)模式與教學(xué)內(nèi)容設(shè)計(jì)，提出了不簡單依賴于信息技術(shù)輔助手段，而是回歸到以學(xué)科思想、方法引領(lǐng)下的離散數(shù)學(xué)理論教學(xué)、學(xué)生主動(dòng)學(xué)習(xí)的教學(xué)模式。將“本原性學(xué)科問題”的教學(xué)模式融入并統(tǒng)領(lǐng)離散數(shù)學(xué)理論教學(xué)過程，設(shè)計(jì)本原性學(xué)科問題指導(dǎo)下的本原性學(xué)科問題、應(yīng)用案例、課程實(shí)驗(yàn)，從而讓學(xué)生能夠在了解、理解甚至參與學(xué)科相關(guān)問題的提出、發(fā)展的研究過程中學(xué)習(xí)離散數(shù)學(xué)理論，最終在強(qiáng)化理論學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上，調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性、參與性、創(chuàng)造性。教學(xué)實(shí)踐表明，所提出的研究內(nèi)容與方法對提高學(xué)生理論學(xué)習(xí)以及就業(yè)競爭力具有較好的效果。本研究的后續(xù)工作主要是在進(jìn)一步實(shí)踐中總結(jié)提高，特別是進(jìn)一步完善“本原性學(xué)科問題”模式與具體教學(xué)過程設(shè)計(jì)。

作者：薛思清 單位：中國地質(zhì)大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院