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分類討論的方法范文1
關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué) 教學(xué)方法 分類討論
一般來說，數(shù)學(xué)問題的答案是唯一的，但是卻也不是絕對的唯一。如果條件在一定的區(qū)間和范圍內(nèi)有浮動變化的可能，則同一個題目就可能出現(xiàn)不同的答案。這里討論的是一題多解的數(shù)學(xué)問題。也就是說，當(dāng)問題是有不同的條件同時發(fā)生，解題時就必須要根據(jù)這些條件的變化進(jìn)行思考，找到各自的答案。而這一般也是高中數(shù)學(xué)常見的題型，特別是在函數(shù)與集合這些方面而言，解題往往要根據(jù)問題的不同，及條件的差異進(jìn)行取值。這無疑是增加了學(xué)生解題的難度，如果學(xué)生無法認(rèn)清其中的各種包含關(guān)系，不能進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆诸悾瑒t最終求得的答案可能是某一個部分的，而不是全部的。因此，高中數(shù)學(xué)教師應(yīng)該在教學(xué)中根據(jù)學(xué)生容易忽略某一個方面知識點(diǎn)，解題不全面的缺點(diǎn)進(jìn)行總結(jié)，并讓學(xué)生養(yǎng)成分類討論，全面解題的思想意識，保證解題過程和答案的完整。
一、含參問題中，以參數(shù)的不同取值范圍分類討論
在高中數(shù)學(xué)問題中，一些含參數(shù)的問題，由于參數(shù)取值的不同，會導(dǎo)致問題的不同結(jié)果。或者不同的參數(shù)要用到不同的推演方法。而這往往是高中學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的難點(diǎn)所在。許多學(xué)生因?yàn)閷栴}隱含的多種條件和可能性分析不透，對解題思路和答案的預(yù)測也就會出現(xiàn)偏差。最可能的情況就是學(xué)生只是從一個角度去討論，而沒有多方去思考。而這類問題多半都要根據(jù)參數(shù)的不同取值情況進(jìn)行分類討論來解決。特別是對一些含有雙參數(shù)的問題，處理更須謹(jǐn)慎。因此，高中數(shù)學(xué)要在教學(xué)中注意引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行分類推導(dǎo)，或?qū)蓚€參數(shù)設(shè)法化為一個參數(shù)，從而使問題化繁為簡，易于進(jìn)行討論；或抓住其中的一個，以此進(jìn)行分類，在問題推進(jìn)的過程中帶進(jìn)另一個，隨著問題討論的深入。其對結(jié)論的影響趨于變?nèi)趸驖u趨明朗。舉例說：
求函數(shù)y=kx+l，在x∈[a，b]上的最值。
解析：在此函數(shù)的魑析式中含有參變量k，而k的不同取值直接影響著問題的結(jié)論，k的幾何意義是表示直線的斜率，聯(lián)想斜率對直線的影響，問題可就k進(jìn)行分類討論。
上述問題是含有參變數(shù)的問題。對于這種含參問題，引入分類討論的思想方法可以說是問題解決的基本策略，而在此依參數(shù)的不同取值劃分討論標(biāo)準(zhǔn)又是一有效的抉擇。在此例中我們關(guān)注了參數(shù)的幾何意義，從而使得討論更深刻。也就是說，教師要在教材的基礎(chǔ)之上，把分類思想進(jìn)行進(jìn)一步的深化，讓學(xué)生在實(shí)際的學(xué)習(xí)中收獲更多的知識。
二、依據(jù)運(yùn)算的要求分類討論
在高中數(shù)學(xué)中，許多運(yùn)算都有比較嚴(yán)格的要求限制，在運(yùn)算過程中必須按要求進(jìn)行。如在進(jìn)行除法運(yùn)算時，除式應(yīng)當(dāng)不為零；在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)開偶次方，要求被開方數(shù)必須非負(fù)；對數(shù)之真數(shù)部位一定是正數(shù)；在求解方程或不等式時，兩邊相乘，除的同一個數(shù)（或式子）又應(yīng)該區(qū)分是正數(shù)、負(fù)數(shù)還是零。所有這些在各級運(yùn)算中必須加以考慮。正是基于這一點(diǎn)，當(dāng)我們對某些運(yùn)算情況不明時，就要依此劃分標(biāo)準(zhǔn)，進(jìn)行分類討論，以求得問題的圓滿解答。因此，高中學(xué)生在進(jìn)行解題的過程中，就必須要把各種可能性進(jìn)行分類討論，唯此才能得出完整的答案。
例如：解關(guān)于x的不等式a2x+10，且a≠1）。
解析：此題是關(guān)于指數(shù)不等式的求解問題。原不等式可化為a2x-（a2+d12）a2x+1
解析，以上問題可以說原本是我們沒有進(jìn)行討論的打算，只是在問題推進(jìn)的過程中，新的矛盾的出現(xiàn)阻礙了運(yùn)算的繼續(xù)進(jìn)行，為突破這一矛盾，才使我們作出了進(jìn)行分類討論的決定。可見分類討論的思想方法作用于問題的方式也是比較靈活的，在有些問題中思維一經(jīng)啟動，就邁人了分類討論的征程，而在另外一些問題中，問題開始仍是一般性的按部就班的操作。當(dāng)運(yùn)行到某一階段時，引出了新的問題，設(shè)置了問題繼續(xù)運(yùn)行的障礙，在此教師若引導(dǎo)學(xué)生能靈活應(yīng)變地引進(jìn)分類討論，問題往往可以輕松解決。
三、根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)分類討論
函數(shù)對于中學(xué)數(shù)學(xué)具有統(tǒng)攝作用。我們接觸的數(shù)學(xué)問題，有些本來就是屬于函數(shù)范疇的，有些雖別有所屬，但函數(shù)非凡的滲透力，使得問題仍可和函數(shù)產(chǎn)生千絲萬縷的聯(lián)系，這樣在數(shù)學(xué)問題的解決中，引入函數(shù)，依據(jù)函數(shù)或其具有的性質(zhì)對問題展開討論，構(gòu)成了問題突破的重要途徑。而且這樣的討論，新穎別致，往往具有創(chuàng)新意識。
總之，在關(guān)于函數(shù)問題中，分類思想是一種重要的解題方法，對學(xué)生認(rèn)清函數(shù)問題，找到解題突破口有重要的幫助。高中教師應(yīng)該在函數(shù)思想的基礎(chǔ)之上，注意引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行分類思想的運(yùn)用。
四、結(jié)束語
總之，分類思想在高中數(shù)學(xué)中發(fā)揮著重要的作用，充分利用可以使問題得到圓滿的解決。因此，高中數(shù)學(xué)教師應(yīng)該注意結(jié)合課程教學(xué)和日常課堂訓(xùn)練的需要，適當(dāng)?shù)膶W(xué)生進(jìn)行分類思想的強(qiáng)化教育，讓分類思想成為學(xué)生解題的有效途徑。當(dāng)然，我們說分類思想在數(shù)學(xué)解題中有重要的作用，不代表將所有題目都按分類討論進(jìn)行解答，對有些雖然要求分類討論，但是可以避免分類討論的，還是要注意避繁就簡，使問題解決更簡潔快速。
參考文獻(xiàn)：
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分類討論的方法范文2
關(guān)鍵詞：分類討論思想；一次函數(shù)；應(yīng)用
當(dāng)前，數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)思想方法多種多樣。一個好的數(shù)學(xué)思想能輕松的解決生活中的實(shí)際問題，一種好的數(shù)學(xué)思想方法能便捷的使我們學(xué)習(xí)理解一個數(shù)學(xué)思想。本篇論文主要論述分類討論思想和一次函數(shù)及分類討論思想在一次函數(shù)中的應(yīng)用。目前國內(nèi)外論述分類討論思想在一次函數(shù)中的應(yīng)用的論文不勝枚舉，大多都是從函數(shù)的概念、性質(zhì)、圖像、實(shí)際應(yīng)用和解題需求這五個方面分類。首先，分類討論思想是基本數(shù)學(xué)思想方法之一。它是一種解決生活中的實(shí)際問題的邏輯方法。合理地使用分類討論思想，我們可以使繁瑣的問題簡單化，使解決問題的思路更有條理。分類討論思想在教學(xué)中的應(yīng)用實(shí)際就是“化整為零，各個擊破”的教學(xué)策略。這也是為什么教材每個章節(jié)需要分各個小節(jié)。同時，分類討論思想應(yīng)用到數(shù)學(xué)教學(xué)中，有助于提高學(xué)生的邏輯性、條理性、概括性，對于培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)態(tài)度和邏輯的數(shù)學(xué)思維有重要意義。使學(xué)生掌握分類討論的思想方法有助于提高學(xué)生解題能力和分析問題的效績。其次，一次函數(shù)是重要的幾類函數(shù)之一，合理的利用好一次函數(shù)可以便捷的解決生產(chǎn)和生活中的諸多問題。近年來的考綱都有應(yīng)用書本知識解決實(shí)際問題的考點(diǎn)，諸如成本最小化、經(jīng)濟(jì)效益最大化、方案最優(yōu)化等等。可見掌握函數(shù)思想的重要性，因此學(xué)生應(yīng)該學(xué)好一次函數(shù)。最后，學(xué)習(xí)一次函數(shù)常用到分類討論的思想方法。分類討論思想應(yīng)用到一次函數(shù)中使教學(xué)思路更有條理，教學(xué)方案更清晰明了。
一、淺談分類討論思想
（一）分類討論思想的起源
大家都知道數(shù)學(xué)思想方法的兩大源頭分別是中國的《九章算術(shù)》和古希臘的《幾何原本》。隨著古今學(xué)者的研究發(fā)展，數(shù)學(xué)思想方法已經(jīng)出現(xiàn)了很多種。分類討論思想方法就是眾多的基本數(shù)學(xué)思想方法之一。
分類現(xiàn)象自古就存在。遠(yuǎn)古時期，人們收集到的食物會分類保存。能長時間保存的和不能長時間保存的、可以播種的和不能播種的植物，能圈養(yǎng)和不能圈養(yǎng)的動物。一個狩獵團(tuán)體根據(jù)體質(zhì)差異也有分工，行動敏捷的成員負(fù)責(zé)吸引獵物的注意力，身體壯實(shí)的負(fù)責(zé)對獵物造成傷害，臂力大的負(fù)責(zé)投擲標(biāo)槍等等。現(xiàn)在分類現(xiàn)象隨處可見，各種各樣的職業(yè)共同推動社會發(fā)展，大小不一的零件使機(jī)器正常運(yùn)行。正是因?yàn)榉诸愃枷耄藗冇袟l理的生活著，避免了很多的差錯與混亂現(xiàn)象。分類思想是古老文明的基本思想。
司馬遷編撰的《史記》 [1]卷六十五《孫子吳起列傳第五》曾記載“田忌賽馬”的故事，齊王與田忌賽馬，雙方按馬的速度將馬分為三等，齊王同等次的馬的速度均高于田忌。田忌將馬出場次序換位以下等馬對齊王的上等馬，以上等馬對齊王的中等馬，以中等馬對齊王的下等馬贏得比賽。田忌這種根據(jù)對方的馬出場次序而相應(yīng)的對自己的馬出場次序作出調(diào)整的思想方法就是分類討論思想。正是因?yàn)檫@一思想，田忌巧妙地贏得了比賽的勝利。為古代人的智慧史添上了絢麗的一筆。通過這個事例我們知道分類討論思想的重要性，分類討論思想其實(shí)與我們的生活息息相關(guān)。
現(xiàn)在已經(jīng)有很多的學(xué)者專家都有總結(jié)分類思想的含義，在《數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)研究導(dǎo)論》的第253頁指出：“分類是基本的邏輯方法之一，數(shù)學(xué)中的分類是按照數(shù)學(xué)對象的相同點(diǎn)和差異點(diǎn)，將數(shù)學(xué)對象區(qū)分為不同種類的思想方法。分類以比較為基礎(chǔ)，通過比較識別出數(shù)學(xué)對象之間的異同點(diǎn)，然后根據(jù)相同點(diǎn)將數(shù)學(xué)對象歸并為較大的類，根據(jù)差異點(diǎn)將數(shù)學(xué)對象劃分為較小的類，從而將數(shù)學(xué)對象區(qū)分為具有一定從屬關(guān)系的等級系統(tǒng)。”
隨著數(shù)學(xué)的發(fā)展，分類討論思想方法逐漸演化成數(shù)學(xué)思想方法的主要思想方法之一。同時，也正使得數(shù)學(xué)這門學(xué)科使得分類思想方法更加地深化與細(xì)化。如今，分類討論思想方法已經(jīng)是中高考試中的常考點(diǎn)。
（二）分類討論思想的概念界定
我們先了解分類討論思想的漢語釋義。“分類”一詞在辭海中的釋義為根據(jù)事物的特點(diǎn)分別歸類。“討論”一詞在辭海中的釋義為就某一問題進(jìn)行商量或辯論。“思想”一詞在辭海中指思維活動的結(jié)果，屬于理性認(rèn)識。從分類討論思想的漢語釋義可以知道分類討論思想先分別歸類再逐一商量討論。
分類思想和分類討論有什么區(qū)別與聯(lián)系呢？按從屬關(guān)系劃分，分類討論是一個種概念，分類思想是一個屬概念。分類思想并不專屬于數(shù)學(xué)領(lǐng)域，它是人們早期認(rèn)識世界面貌、改善生活條件的一種思維形態(tài)，即把復(fù)雜的事物依據(jù)其種類、性質(zhì)或品級進(jìn)行劃分或歸類。分類討論是分類思想實(shí)際應(yīng)用的一種具體形式，它要求把事物進(jìn)行劃分歸類，把分類的若干個種類進(jìn)行逐一的研究討論，最后把分類的若干討論結(jié)果歸納總結(jié)。
在數(shù)學(xué)領(lǐng)域各學(xué)者對于分類討論思想方法的概念界定幾乎大同小異，對于分類討論思想方法的概念幾乎不存在爭議。顧泠沅教授所著的《數(shù)學(xué)思想方法》有提到分類討論這一思想方法。在解答某些數(shù)學(xué)問題時，有時會遇到多種情況，需要對各種情況加以分類，并逐類求解，然后綜合得解，這就是分類討論思想，同時也是一種重要的解題策略，它體現(xiàn)化整為零、集零為整的思想與歸類整理的方法。有關(guān)分類討論思想的數(shù)學(xué)問題具有明顯的邏輯性、綜合性、探索性，能訓(xùn)練人的思維條理性和概括性，有關(guān)分類討論思想的數(shù)學(xué)問題是比較繁瑣復(fù)雜的，通常安排在解答題板塊，所占分值比較高。所以在高考試題中占有重要的位置。
（三）分類討論思想的分類原則與方法
分類討論思想的分類原則：（1）所要分類的對象必須是確定的（2）分類出的各級內(nèi)容必須是完整的，不能犯遺漏某一級這種錯誤（3）應(yīng)該按同一標(biāo)準(zhǔn)分類（4）各個集域應(yīng)當(dāng)是互斥的，不出現(xiàn)重復(fù)的集域（5）分類必須逐級進(jìn)行，不能越級分類。分類討論思想的分類方法：明確分類討論的對象，確定對象的所有內(nèi)容，明_分類的標(biāo)準(zhǔn)，將對象正確進(jìn)行分類；逐級進(jìn)行討論，獲取階段性結(jié)果，歸納小結(jié)，綜合結(jié)論。
三、分類討論思想在一次函數(shù)中的應(yīng)用
分類討論思想在一次函數(shù)中的應(yīng)用主要體現(xiàn)在一次函數(shù)的概念、性質(zhì)、圖像與實(shí)際應(yīng)用這幾個方面。
（一）分類討論思想在一次函數(shù)概念方面的應(yīng)用
如何來辨別一個函數(shù)關(guān)系是不是一次函數(shù)？前面已經(jīng)給出了一次函數(shù)的概念。一般地。形如y=kx+b（k，b是常數(shù)，k≠0）的函數(shù)，叫做一次函數(shù)（linear function）.當(dāng)y=kx+b中的k是變量或者x的指數(shù)是變量時，該變量取不同的值會有不同的結(jié)果，因此就需要是用分類討論的思想方法逐一討論。
那么我們來看這道例題：
例4 已知函數(shù)y=（m-5）x2m-1+3x-1，當(dāng)m為何值時，該函數(shù)是一次函數(shù)？
分析：根據(jù)函數(shù)概念，本題應(yīng)該分為三種情況討論：當(dāng)m-5=0時，函數(shù)是一次函數(shù)；當(dāng)2m-1=1時，函數(shù)是一次函數(shù)；當(dāng)2m-1=0時，函數(shù)是一次函數(shù)。綜上所述，m=5或1或 。
（二）分類討論思想在一次函數(shù)性質(zhì)方面的應(yīng)用
我們已經(jīng)知道一次函數(shù)具有單調(diào)增減性，一次函數(shù)的增減性在生活中經(jīng)常用到。一次函數(shù)要么遞增要么遞減，因此又是也需要用到分類討論思想。
例5 一次函數(shù)y=kx+b，當(dāng)2≤ x ≤ 4時，10≤ y ≤ 14。求的值。
分析：此題中一次函數(shù)的單調(diào)性尚不明確，因此需要分為兩種情況討論：
當(dāng)函數(shù)單調(diào)遞增時，即當(dāng)x=5時，y=10，當(dāng)x=4時，y=14，因此k=2， b=6
故=3，當(dāng)函數(shù)是單調(diào)遞減時，即當(dāng)x=2時，y=14，當(dāng)x=4時，y=10，因此k=-2， b=18故=-9。
（三）分類討論在一次函數(shù)圖像位置方面的應(yīng)用
如果一次函數(shù)y=kx+b中的k或b不明確那么一次函數(shù)圖像在平面直角坐標(biāo)系中的位置也將不明確，因此很多時候需要用到分類討論思想來解決相關(guān)問題。
例6 已知正比例函數(shù)y=x和一次函數(shù)y=kx+2的函數(shù)圖像與x軸圍成了一個面積為1的三角形，求一次函數(shù)的解析式。
分析：此題中一次函數(shù)的斜率并不明確，因此函數(shù)圖像的位置需要分為兩類。因?yàn)橐呀?jīng)知道兩個函數(shù)圖像與x軸圍成的三角形面積是1，且一次函數(shù)經(jīng)過定點(diǎn)（0，2）根據(jù)斜率將一次函數(shù)分為遞增和遞減兩類：當(dāng)一次函數(shù)單調(diào)遞增時，一次函數(shù)經(jīng)過x軸上的點(diǎn)A（-1，0），一次函數(shù)解析式為y=2x+2；當(dāng)一次函數(shù)單調(diào)遞減時，一次函數(shù)經(jīng)過x軸上的點(diǎn)E（2，0），一次函數(shù)的解析式為y=-x+2。所以總結(jié)兩類討論，一次函數(shù)的解析式為y=2x+2或y=1x+2。作圖如圖3.1和圖3.2。
（四）分類討論在一次函數(shù)實(shí)際問題方面的應(yīng)用
一次函數(shù)應(yīng)用到實(shí)際問題中已經(jīng)是常考點(diǎn)，這使數(shù)學(xué)更貼近生活，培養(yǎng)學(xué)生靈活運(yùn)用知識的能力。而在一些典型題型中常需要用到分類討論思想。
例7 小明準(zhǔn)備換電話卡，現(xiàn)在他已經(jīng)了解了兩種電話卡的套餐。A卡套餐為每月通話不超過100分鐘，則按每分鐘0.2元收費(fèi)，若每月通話大于100分鐘則超出時長按每分鐘0.16元收費(fèi)；B卡套餐為每月通話不超過200分鐘按每分鐘0.2元收費(fèi)，若每月通話超過200分鐘超出時長則按每分鐘0.12元收費(fèi)。如果小明每月通話 分鐘，請問他該如何選擇套餐最劃算？
分析：此題尚不明確小明每月通話時長，因此需要分三種情況討論：
當(dāng)0≤ x ≤ 100時，顯然兩種卡消費(fèi)一樣。
當(dāng)100≤ x ≤ 200時，A卡有優(yōu)惠，B卡無優(yōu)惠，因此選擇A卡。
當(dāng)x>200時，設(shè)A、B兩卡消費(fèi)分別為y1、y2。A卡消費(fèi)為y1=0.16x+20，B卡消費(fèi)為y2=0.12x+40，當(dāng)y1=y2時，x=500因此又需要分三種情況討論：當(dāng)x=500時，A、B兩卡消費(fèi)一樣，當(dāng)200500時，y1>y2選B卡更劃算。
分類討論思想這是數(shù)學(xué)基本思想方法之一。學(xué)生熟練掌握了這一思想方法，將更有邏輯有條理的分析處理問題。一次函數(shù)是最基本的函數(shù)，它對于解決實(shí)際生活生產(chǎn)需要有重要意義。教師在教學(xué)一次函數(shù)時應(yīng)當(dāng)科學(xué)的選取適當(dāng)?shù)慕蘔方法，務(wù)必是學(xué)生理解掌握一次函數(shù)，并將其遷移到實(shí)際問題中去。
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分類討論的方法范文3
分類討論是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法，當(dāng)問題的對象不能進(jìn)行統(tǒng)一研究時，就需要對研究的對象進(jìn)行分類，然后對每一類分別研究，給出每一類的結(jié)果，最終綜合各類結(jié)果得到整個問題的解答。
1．有關(guān)分類討論的數(shù)學(xué)問題需要運(yùn)用分類討論思想來解決，引起分類討論的原因大致可歸納為如下幾種：
（1）涉及的數(shù)學(xué)概念是分類討論的，如絕對值|a|的定義分a>0、a＝0、a
（2）運(yùn)用的數(shù)學(xué)定理、公式、運(yùn)算性質(zhì)及法則是分類給出的，如等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，分q＝1和q≠1兩種情況。這種分類討論題型稱為性質(zhì)型。
（3）求解的數(shù)學(xué)問題的結(jié)論有多種情況或多種可能性。
（4）數(shù)學(xué)問題中含有參變量，這些參變量的不同取值導(dǎo)致不同的結(jié)果的，這種題應(yīng)稱為含參型。
（5）較復(fù)雜或非常規(guī)的數(shù)學(xué)問題，需要采取分類討論的解題策略來解決的。
2．分類討論是一種邏輯方法，在中學(xué)數(shù)學(xué)中有極廣泛的應(yīng)用。根據(jù)不同標(biāo)準(zhǔn)可以有不同的分類方法，但分類必須從同一標(biāo)準(zhǔn)出發(fā)，做到不重復(fù)，不遺漏，包含各種情況，同時要有利于問題研究。
3．分類原則：（1）對所討論的全域分類要“既不重復(fù)，也不遺漏”；（2）在同一次討論中只能按所確定的一個標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行；（3）對多級討論，應(yīng)逐級進(jìn)行，不能越級。
4．分類方法：（1）概念和性質(zhì)是分類的依據(jù)；（2）按區(qū)域（定義域或值域）進(jìn)行分類是基本方法；（3）不定因素（條件或結(jié)論不唯一，數(shù)值大小的不確定，圖形位置的不確定）是分類的突破口；（4）二分法是分類討論的利器；（5）層次分明是分類討論的基本要求。
5．討論的基本步驟：（1）確定討論的對象和討論的范圍（全域）（2）確定分類的標(biāo)準(zhǔn)，進(jìn)行合理的分類（3）逐步討論（必要時還得進(jìn)行多級分類）；（4）總結(jié)概括，得出結(jié)論。
6．簡化和避免分類討論的優(yōu)化策略：（1）直接回避，如運(yùn)用反證法、求補(bǔ)法、消參法等方法有時可以避開煩瑣討論；（2）變更主元，如分離參數(shù)、變參置換，構(gòu)造以討論對象為變量的函數(shù)得便感形式解題時可避開討論；（3）合理運(yùn)算，如利用函數(shù)奇偶性、變量的對稱輪換以及公式的合理選用等有時可以簡化甚至避開討論；（4）數(shù)形結(jié)合，利用函數(shù)圖象、幾何圖形的直觀性和對稱特點(diǎn)有時可以簡化甚至避開討論。
二、命題趨勢
分類討論思想是一種重要的數(shù)學(xué)思想，它在人的思維發(fā)展中有著重要的作用，因此在近幾年的高考試題中，它都被列為一種重要的思維方法來考察。
分類討論是每年高考必考的內(nèi)容，預(yù)測2012年對本專題的考察為：將有一道中檔或中檔偏上的試題，其求解思路直接依賴于分類討論，特別關(guān)注以下方面：涉及指數(shù)、對數(shù)底的討論，含參數(shù)的一元二次不等式、等比數(shù)列求和，由Sn求an等。
三、題型展示
題型1 集合中分類討論問題
例1 設(shè)a∈R，函數(shù)f（x）=ax2-2x-2a。若f（x）＞0的解集為A，B={x｜x＜x＜3}，A∩B≠，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。
(-∞，-2)∪（67，+∞)。（詳解略）
點(diǎn)評：二次函數(shù)與二次不等式和集合知識有很多聯(lián)系，不等式的解集、函數(shù)的值域成為集合運(yùn)算的載體，對于含參數(shù)問題要確定好分類的標(biāo)準(zhǔn)，做到不重不漏。
題型2 函數(shù)、方程中分類討論問題
[TP2-n14.tif,Y]
例2 如圖，有一塊半橢圓形鋼板，其長半軸長為2r，短半軸長為r，計(jì)劃將此鋼板切割成等腰梯形的形狀，下底AB是半橢圓的短軸，上底CD的端點(diǎn)在橢圓上，記CD=2x，梯形面積為S。
（Ⅰ）求面積S以x為自變量的函數(shù)式，并寫出其定義域；[TP2-n15.tif,Y]
（Ⅱ）求面積S的最大值。
解：（Ⅰ）建立如圖所示的坐標(biāo)系，則S=12（2x+2r）×2[KF(S]r2-x2=2（x+r）×r2-x2，其定義域?yàn)閧x｜0＜x＜r}。
（Ⅱ）當(dāng)x=12r時，S也取得最大值，最大值為f（12r）=3[KF(S]32r2。
點(diǎn)評：含有參數(shù)的二次函數(shù)的最值問題歷來就是高中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)之一。求解此類問題的關(guān)鍵一點(diǎn)就是緊扣對稱軸，依此來展開有條理性的分類討論。
題型3 解析幾何中的分類討論問題
例3 已知雙曲線x2-y2=2的右焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)F的動直線與雙曲線相交于兩點(diǎn)A，B點(diǎn)C的坐標(biāo)是（1，0），證明：CA[TX]，CB[TX]為常數(shù)。（常數(shù)為-1）
點(diǎn)評：處理直線與圓錐曲線的位置關(guān)系時，待定直線方程需要考慮斜率不存在這種情況，分類討論。
題型4 不等式中分類討論問題
例4 解關(guān)于x的不等式：ax2-（a+1）x+1＜0。
點(diǎn)評：這是一個含參數(shù)a的不等式，一定是二次不等式嗎？不一定，故首先對二次項(xiàng)系數(shù)a分類：（1）a≠0，（2）a=0。對于（2），不等式易解；對于（1），又需再次分類：a>0或a
題型5 數(shù)列中分類討論問題
例5 在等差數(shù)列{an}中，a1=1，前n項(xiàng)和Sn滿足條件S2nSn=4n+2n+1，n=1，2，…。（Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）記bn=anpan(p＞0)，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn。
解：（Ⅰ）an=n。（Ⅱ）Tn[JB({]n+12，p=1，
p(1-pn)1-p-npn+1，p≠1。[JB)]
分類討論的方法范文4
關(guān)鍵詞 分類教學(xué) 數(shù)學(xué)教學(xué) 應(yīng)用
所謂數(shù)學(xué)分類討論方法，就是將數(shù)學(xué)對象分成幾類，分別進(jìn)行討論來解決問題的一種數(shù)學(xué)方法。有關(guān)分類討論思想的數(shù)學(xué)問題具有明顯的邏輯性、綜合性、探索性，能訓(xùn)練人的思維條理性和概括性。
一、分類教學(xué)的內(nèi)涵
分類討論思想，貫穿于整個中學(xué)數(shù)學(xué)的全部內(nèi)容中。應(yīng)用分類討論，往往能使復(fù)雜的問題簡單化。分類的過程，可培養(yǎng)學(xué)生思考的周密性，條理性，而分類討論，又促進(jìn)學(xué)生研究問題，探索規(guī)律的能力。
分類思想不象一般數(shù)學(xué)知識那樣，通過幾節(jié)課的教學(xué)就可掌握。它根據(jù)學(xué)生的年齡特征，學(xué)生在學(xué)習(xí)的各階段的認(rèn)識水平和知識特點(diǎn)，逐步滲透，螺旋上升，不斷的豐富自身的內(nèi)涵。
教學(xué)中可以從以下幾個方面，讓學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，通過類比、觀察、分析、綜合、抽象和概括，形成對分類思想的主動應(yīng)用。
教授完負(fù)數(shù)、有理數(shù)的概念后，及時引導(dǎo)學(xué)生對有理數(shù)進(jìn)行分類，讓學(xué)生了解到對不同的標(biāo)準(zhǔn)，有理數(shù)有不同的分類方法，為下一步分類討論奠定基礎(chǔ)。
認(rèn)識數(shù)a可表示任意數(shù)后，讓學(xué)生對數(shù)a 進(jìn)行分類，得出正數(shù)、零、負(fù)數(shù)三類。
講解絕對值的意義時，引導(dǎo)學(xué)生得到如下分類：
通過對正數(shù)、零、負(fù)數(shù)的絕對值的認(rèn)識，了解如何用分類討論的方法學(xué)習(xí)理解數(shù)學(xué)概念。
又如，兩個有理數(shù)的比較大小，可分為：正數(shù)和正數(shù)、正數(shù)和零、正數(shù)和負(fù)數(shù)、負(fù)數(shù)和零、負(fù)數(shù)和負(fù)數(shù)幾類情況來比較，而負(fù)數(shù)和負(fù)數(shù)的大小比較是新的知識點(diǎn)，這就突出了學(xué)習(xí)的重點(diǎn)。
結(jié)合“有理數(shù)”這一章的教學(xué)，反復(fù)滲透，強(qiáng)化數(shù)學(xué)分類思想，使學(xué)生逐步形成數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的分類的意識。并能在分類討論的時候注意一些基本原則，如分類的對象是確定的，標(biāo)準(zhǔn)是統(tǒng)一的，如若不然，對象混雜，標(biāo)準(zhǔn)不一，就會出現(xiàn)遺漏、重復(fù)等錯誤。
二、分類教學(xué)法能夠增強(qiáng)思維的縝密性
在教學(xué)中滲透分類思想時，應(yīng)讓學(xué)生了解，所謂分類就是選取適當(dāng)?shù)臉?biāo)準(zhǔn)，根據(jù)對象的屬性，不重復(fù)、不遺漏地劃分為若干類，而后對每一子類的問題加以解答。掌握合理的分類方法，就成為解決問題的關(guān)鍵所在。分類的方法常有以下幾種：
（一）根據(jù)數(shù)學(xué)的概念進(jìn)行分類
有些數(shù)學(xué)概念是分類給出的，解答此類題，一般按概念的分類形式進(jìn)行分類。
例1，化簡解：
這是按絕對值的意義進(jìn)行分類。
例2、比較與易得的錯誤，導(dǎo)致錯誤在于沒有注意到數(shù) 可表示不同類的數(shù)。而對數(shù) 進(jìn)行分類討論，既可得到正確的解答：
〉0 時 ，= 0 時 ，< 0 時 ，
（二）根據(jù)數(shù)學(xué)的法則、性質(zhì)或特殊規(guī)定進(jìn)行分類
學(xué)習(xí)一元二次方程，根的判別式時，對于變形后的方程用兩邊開平方求解，需要分類研究 大于0，等于0，小于0這三種情況對應(yīng)方程解的情況。而此題 的符號決定能否開平方，是分類的依據(jù)。從而得到一元二次方程 的根的三種情況。
（三）根據(jù)圖形的特征或相互間的關(guān)系進(jìn)行分類
如三角形按角分類，有銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形，直線和圓根據(jù)直線與圓的交點(diǎn)個數(shù)可分為：直線與圓相離、直線與圓相切、直線與圓相交。
例如 等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為30°，底邊長為a，則其腰上的高是（ ）。
分析：本題根據(jù)圖形的特征，把等腰三角形分為銳角三角形和鈍角三角形兩類作高CD，如圖，可得腰上的高是 或從幾何圖形的點(diǎn)和線出現(xiàn)不同的位置進(jìn)行分類在證明圓周角定理時。由于圓心的位置有在角的邊上、角的內(nèi)部，角的外部三種不同的情況，因此分三種不同情況分別討論證明。先證明圓心在圓周角的一條邊上，這種最容易解決的情況，然后通過作過圓周角頂點(diǎn)的直徑，利用先證明（圓心在圓周角的一條邊上）的這種情況來分別解決圓心在圓周角的內(nèi)部、圓心在圓周角的外部這兩種情況。這是一種從定理的證明過程中反映出來的分類討論的思想和方法。它是根據(jù)幾何圖形點(diǎn)和線出現(xiàn)不同位置的情況逐一解決的方法。教材中在證明弦切角定理：弦切角等于它所夾的弧所對的圓周角。也是如此分圓心在弦切角的一條邊上，弦切角的內(nèi)部、弦切角的外部三種不同情況解決的。
三、在教學(xué)和學(xué)習(xí)中充分體現(xiàn)分類思想
初中課本中有不少定理、法則、公式、習(xí)題，都需要分類討論，在教授這些內(nèi)容時，應(yīng)不斷強(qiáng)化學(xué)生分類討論的意識，讓學(xué)生認(rèn)識到這些問題，只有通過分類討論后，得到的結(jié)論才是完整的、正確的，如不分類討論，就很容易出現(xiàn)錯誤。在解題教學(xué)中，通過分類討論還有利于幫助學(xué)生概括，總結(jié)出規(guī)律性的東西，從而加強(qiáng)學(xué)生思維的條理性，縝密性。
一般來講，利用分類討論思想和方法解決的問題有兩大類：；其一是涉及代數(shù)式或函數(shù)或方程中，根據(jù)字母不同的取值情況，分別在不同的取值范圍內(nèi)討論解決問題。其二是根據(jù)幾何圖形的點(diǎn)和線出現(xiàn)不同位置的情況，逐一討論解決問題
例3、已知函救y＝（m-1）x2＋（m-2）x－1（m是實(shí)數(shù)）。如果函數(shù)的圖象和x軸只有一個交點(diǎn)，求m的值。
分析：這里從函數(shù)分類的角度討論，分 m－1=0 和 m－110 兩種情況來研究解決問題。
解：當(dāng)m＝l 時函數(shù)就是一個一次函數(shù)y＝－x－1，它與x軸只有一個交點(diǎn)（-1，0）。
當(dāng) m11 時，函數(shù)就是一個二次函數(shù)y＝（m－1）x2＋（m－2）x－1
當(dāng)＝（m－2）2+4（m－1）=0，得 m=0.
拋物線 y=－x2－2x－1，的頂點(diǎn)（－1，0）在x軸上。
由以上的幾個例子，我們可以看出分類討論往往能使一些錯綜復(fù)雜的問題變得異常簡單，解題思路非常的清晰，步驟非常的明了。另一方面在討論當(dāng)中，可以激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。
利用現(xiàn)有教材，教學(xué)中著意滲透并力求幫助學(xué)生初步掌握分類的思想方法，結(jié)合其它數(shù)學(xué)思想方法的學(xué)習(xí)，注意幾種思想方法的綜合使用，給學(xué)生提供足夠的材料和時間，啟發(fā)學(xué)生積極思維。相信會使學(xué)生在認(rèn)識層次上得到極大的提高，收到事半功倍的教學(xué)成效。
參考文獻(xiàn)：
分類討論的方法范文5
一、在概念教學(xué)中滲透分類討論意識
分類討論是重要的數(shù)學(xué)思想方法，但初中學(xué)生分類討論的意識不強(qiáng)，不知道哪些問題需要分類及如何進(jìn)行合理分類.這就需要教師在教學(xué)中結(jié)合教材，創(chuàng)設(shè)情景，給予強(qiáng)化，啟發(fā)誘導(dǎo)，揭示分類討論思想的本質(zhì)，從而培養(yǎng)學(xué)生自覺應(yīng)用分類討論的意識.
在初中數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容中，許多數(shù)學(xué)概念的定義，如實(shí)數(shù)和有理數(shù)的分類、絕對值的化簡、一元二次方程的概念中對二次項(xiàng)系數(shù)的限定、平方根中對于被開方數(shù)的限定、一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）根的判別式、兩圓的五種位置關(guān)系……都滲透著分類討論的數(shù)學(xué)思想，對涉及分類討論思想的問題，教師在講授時要準(zhǔn)確、科學(xué)，要讓學(xué)生對分類討論思想的概念有正確的認(rèn)知、理解和牢固的掌握.
如對于一元二次方程一般式ax2+bx+c=0（a≠0）中涉及a≠0的規(guī)定，教學(xué)時，先讓學(xué)生理解當(dāng)a=0與a≠0時，方程會有怎樣的變化，在此基礎(chǔ)上，讓學(xué)生說明關(guān)于x的一元二次方程 kx2-（k-1）x-2（3k-1）=0 中 k 的限制條件，隨后進(jìn)行了概念的變式，隱去“一元二次”四字，問這是個怎樣的方程，并如何求解.學(xué)生對概念中關(guān)鍵字詞及補(bǔ)充條件的理解后，就能很清晰地對 a=0與a≠0兩種情況作分類討論.
在日常教學(xué)中的這種有序的、有目的滲透，使學(xué)生在學(xué)習(xí)的過程中逐步領(lǐng)悟和接受解決問題中的分類討論的思想，在學(xué)習(xí)知識的過程中體會到為什么要分類，更要遵循分類的同一性、相稱性、互斥性、層次性原則，明確分類討論的思想是解決某些數(shù)學(xué)問題的一種重要的、有用的思想方法，從而在體會分類的完整性和嚴(yán)謹(jǐn)性中訓(xùn)練了思維的條理性和目的性.
二、在運(yùn)用法則、定理、公式或運(yùn)算性質(zhì)時滲透分類討論思想
初中數(shù)學(xué)教材中許多定義、定理、公式、運(yùn)算性質(zhì)等本身就是分類定義、分類概括的，教師在教學(xué)過程中要有意識地讓學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中逐步體會分類討論的思想.
如七年級上冊引入負(fù)數(shù)后即對有理數(shù)進(jìn)行分類：將有理數(shù)分為正數(shù)、 零、 負(fù)數(shù)或?qū)⒂欣頂?shù)分為整數(shù)、 分?jǐn)?shù).
（責(zé)任編輯金鈴）讓學(xué)生辨別不同分類的依據(jù)，初步體會分類要不重復(fù)、不遺漏，標(biāo)準(zhǔn)不同則分類不同的基本原則.此時可提出問題“ -a 一定是負(fù)數(shù)嗎？”啟發(fā)學(xué)生分 a>0，a=0，a0，a=0，a
引導(dǎo)學(xué)生探索推導(dǎo)有理數(shù)加法法則的過程，實(shí)際上就是應(yīng)用分類思想解決問題的一個完整的過程.在學(xué)習(xí)知識的過程中，學(xué)生深深體會到為什么要分類，更要遵循分類的基本原則.
又如九年級課本證明圓周角定理：一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半.
在幾何證明題中，常常由于圖形的形狀、位置的不同而要進(jìn)行分類討論.此證明過程中為什么要根據(jù)圓心相對于圓周角的位置分成三種情況（如下圖）去證，要讓學(xué)生畫圖、測量、分析、討論后找到思路，而不能在學(xué)生活動之前就給出分類證明，否則就失去了從一般到特殊，從特殊到一般的思維過程，學(xué)生就無法體會分類證明的目的和優(yōu)點(diǎn).
在數(shù)學(xué)教學(xué)中，我們應(yīng)該重視法則、定理、公式的論證推理過程，揭示分類討論的化繁為簡，化難為易，化分散為系統(tǒng)的本質(zhì)，使學(xué)生進(jìn)一步增強(qiáng)分類意識，加深對分類討論的理解和掌握.
三、在解題過程中突出與強(qiáng)化分類討論的思想
要解好數(shù)學(xué)問題，不僅要有足夠的數(shù)學(xué)知識和技能，而且要有清晰的解題思路，在解題的過程中，如何讓學(xué)生學(xué)會運(yùn)用分類討論的數(shù)學(xué)思想，是教學(xué)的一個很重要的任務(wù).在教學(xué)過程中，可讓學(xué)生通過練習(xí)體會分類討論思想在不同類型的題目中的運(yùn)用.
1分類討論思想在函數(shù)中的應(yīng)用
[例1]函數(shù)y=ax2-ax+3x+1與x軸只有一個交點(diǎn)，求a的值與交點(diǎn)坐標(biāo).
分析：本題中的函數(shù)是什么類型的函數(shù)并沒有確定，所以要根據(jù)a的不同取值，分別考慮此函數(shù)是一次函數(shù)或者二次函數(shù)兩種情況.
4分類討論在動態(tài)型幾何中的應(yīng)用
[例4]如圖1，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，矩形OABC的邊OA在y軸的正半軸上，OC在x軸的正半軸上，OA=2，OC=3，過原點(diǎn)O作∠AOC的平分線交AB于點(diǎn)D，連接DC，過點(diǎn)D作DEDC，交OA于點(diǎn)E.
（1）求過點(diǎn)E、D、C的拋物線的解析式.
（2）將∠EDC繞點(diǎn)D按順時針方向旋轉(zhuǎn)后，角的一邊與y軸的正半軸交于點(diǎn)F，另一邊與線段OC交于點(diǎn)G.如果DF與（1）中的拋物線交于另一點(diǎn)M，點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為65，那么EF=2GO是否成立？若成立，請給予證明；若不成立，請說明理由.
（3）對于（2）中的點(diǎn)G，在位于第一象限內(nèi)的該拋物線上是否存在點(diǎn)Q，使得直線GQ與AB的交點(diǎn)P與點(diǎn)C、G構(gòu)成的PCG是等腰三角形？若存在，請求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在成立，請說明理由.
圖1分析：1用待定系數(shù)法求拋物線的解析式，這個解析式在第（2）、（3）題的計(jì)算中要用到.
2過點(diǎn)M作MNAB，根據(jù)對應(yīng)線段成比例可以求FA的長.
3將∠EDC繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)的過程中，DCG與DEF保持全等.
4第（3）題，分三種情況討論P(yáng)CG為等腰三角形的情況，根據(jù)點(diǎn)P的位置確定點(diǎn)Q的位置，再計(jì)算點(diǎn)Q的坐標(biāo).
分類討論的方法范文6
【關(guān)鍵詞】分類思想應(yīng)用
有概念的分類；有解題方法上的分類；還有幾何中圖形位置關(guān)系不確定的分類等等。應(yīng)用分類討論，往往能使復(fù)雜的問題簡單化。教學(xué)過程中我們要利用學(xué)生已有的認(rèn)識基礎(chǔ)，把生活中的分類遷移到數(shù)學(xué)中來，在數(shù)學(xué)教學(xué)中進(jìn)行分類思想的滲透，挖掘教材提供的機(jī)會，把握滲透的契機(jī)。
下面我從分類討論思想的概念和特點(diǎn)，引起分類討論的原因等內(nèi)容展開，比較系統(tǒng)全面地介紹了分類討論思想。
一、分類討論思想的概念
分類討論思想是一種最基本的解決問題的思維策略，就是把要研究的數(shù)學(xué)對象按照標(biāo)準(zhǔn)劃分為若干不同的類別，然后逐類進(jìn)行研究，求解的一種數(shù)學(xué)解題思想。根據(jù)數(shù)學(xué)對象的本質(zhì)屬性的相同點(diǎn)和不同點(diǎn)，再按照一定的原則或某一確定的標(biāo)準(zhǔn)，在比較的基礎(chǔ)上，將對象劃分為若干個既有聯(lián)系又有區(qū)別的部分，進(jìn)行逐類討論，最后把幾類結(jié)論匯總，從而得出問題的答案。分類討論的實(shí)質(zhì)是化繁榧潁將一個復(fù)雜的問題分為幾個簡單的問題，分而治之。
二、引起分類討論的原因
引起分類的原因主要可以歸結(jié)為以下幾個方面：
1.概念本身是分類定義的。如絕對值等。
2.問題中涉及的數(shù)學(xué)定理、公式或運(yùn)算性質(zhì)、法則是有條件或范圍是限制的，或者是分類給出的。
3.含有字母系數(shù)（參數(shù)）的問題，有時需對該字母的不同取值范圍進(jìn)行討論。
三、解答分類討論型問題的步驟
1.對問題中的某些條件進(jìn)行分類，要遵循同一標(biāo)準(zhǔn)，進(jìn)行合理分類。需理清分類的界限，選擇分類標(biāo)準(zhǔn)，并做到不重復(fù)，不遺漏。
2.逐類進(jìn)行討論。有時分類并不是一次完成，還須進(jìn)行逐級分類，對于不同級的分類，其分類標(biāo)準(zhǔn)不一定統(tǒng)一。
3.對各類討論結(jié)果進(jìn)行歸納，并加以整合，歸納出結(jié)論。
分類討論思想在初中數(shù)學(xué)練習(xí)的運(yùn)用中占有很重要的地位。這就要求我們在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的同時要不斷積累數(shù)學(xué)知識，形成知識網(wǎng)絡(luò)，領(lǐng)悟其中蘊(yùn)含在數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容中的數(shù)學(xué)思想方法，以提高學(xué)生自身的數(shù)學(xué)解題能力。所以在教學(xué)中要對分類討論思想，有意識地加以滲透；對于蘊(yùn)含在數(shù)學(xué)知識中的思想適時予以揭示，反復(fù)強(qiáng)化以優(yōu)化學(xué)生的思維品質(zhì)。
利用現(xiàn)有教材，教學(xué)中著意滲透并力求幫助學(xué)生初步掌握分類的思想方法，結(jié)合其它數(shù)學(xué)思想方法的學(xué)習(xí)，注意幾種思想方法的綜合使用，給學(xué)生提供足夠的材料和時間，啟發(fā)學(xué)生積極思維。相信會使學(xué)生在認(rèn)識層次上得到極大的提高，收到事半功倍的教學(xué)成效。
【參考文獻(xiàn)】
