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分類討論的思想方法范文1
【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)；分類思想方法；教學(xué)
數(shù)學(xué)思想方法與其他的數(shù)學(xué)思想方法一樣，是探究、解決問題的重要的思想方法。在探究、解決問題中正確地運(yùn)用數(shù)學(xué)分類思想方法能化繁為簡(jiǎn)，化難為易；能使思維有序、全面、縝密；對(duì)于提升學(xué)生的思維品質(zhì)和提高學(xué)生分析問題和解決的題的能力起到積極的促進(jìn)作用。下面就分類思想方法的意義、原則、作用和步驟；初中數(shù)學(xué)教材中運(yùn)用分類思想方法進(jìn)行教學(xué)的主要內(nèi)容；初中數(shù)學(xué)分類思想方法教學(xué)的三個(gè)階段等三個(gè)方面談?wù)剛€(gè)人的看法。
一、分類思想方法的意義、原則、作用和步驟
1、分類思想方法的意義。 將研究對(duì)象按照一定的標(biāo)準(zhǔn)，劃分成幾個(gè)部分，逐一進(jìn)行研究和解決的方法叫做分類討論。其實(shí)質(zhì)：“化整為零，各個(gè)擊破，再積零為整”的策略。
2、分類的原則。劃分后的各個(gè)子項(xiàng)應(yīng)當(dāng)互不相容（不重）；劃分后的子項(xiàng)應(yīng)當(dāng)窮盡母項(xiàng)（不漏）；每次劃分都應(yīng)按同一標(biāo)準(zhǔn)。
3、分類的作用。可化繁為簡(jiǎn)，化難為易；可使思維有序，有條理；可使思維全面、縝密。
4、分類討論的步驟。確定同一分類的標(biāo)準(zhǔn)；恰當(dāng)?shù)陌褜?duì)象整體進(jìn)行分類；分類要做到“不重、不漏”；討論要按一定的層次逐類逐級(jí)進(jìn)行，最后概括小結(jié)、歸納，得出問題的結(jié)論。確定分類標(biāo)準(zhǔn)是分類討論的重要一環(huán)。
二、初中數(shù)學(xué)教材中運(yùn)用分類思想方法進(jìn)行教學(xué)的主要內(nèi)容
1、運(yùn)用分類思想方法進(jìn)行數(shù)、式教學(xué)的內(nèi)容有理數(shù)的分類，相反數(shù)，絕對(duì)值，大小的比較，運(yùn)法則；數(shù)的分類，平方根，立方根，無理數(shù)的形式；式的分類，式加減，二次根式的化簡(jiǎn)等。
2、運(yùn)用分類思想方法進(jìn)行方程與不等式（組）教學(xué)的內(nèi)容方程的分類，不等式的性質(zhì)，不等式（組）的解集，一元二次方程的解法等。
3、運(yùn)用分類思想方法進(jìn)行函數(shù)教學(xué)的內(nèi)容。特殊點(diǎn)的坐標(biāo)，分段函數(shù)、一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)等。
4、運(yùn)用分類思想方法進(jìn)行圖形認(rèn)識(shí)教學(xué)的內(nèi)容。線的分類，面的分類，垂線性質(zhì)，三線八角，三角形按邊（角）的分類，三角形高的位置，三角形外心的位置，三角形全等的條件，等腰三角形邊與角的計(jì)算，勾股定理的應(yīng)用，四邊形的分類，弧的分類，點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，直線與圓的位置關(guān)系，圓與圓的位置關(guān)系，圓周角定理等。
5、運(yùn)用分類思想方法進(jìn)行圖形與變換教學(xué)的內(nèi)容。相似三角形的對(duì)應(yīng)關(guān)系、三角形相似的條件，相似多邊形的性質(zhì)，相似三角形性的質(zhì)，位似中心的位置等。
三、初中數(shù)學(xué)分類思想方法教學(xué)的三個(gè)階段
1、抓住時(shí)機(jī)，滲透分類思想。
（1）在概念教學(xué)中，滲透分類的思想。有些數(shù)學(xué)概念是由分類給出的，一般按概念的分類形式進(jìn)行分類。例如，有理數(shù)意義教學(xué)：整數(shù)、分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)或正數(shù)、負(fù)數(shù)、零統(tǒng)稱為有理數(shù)。
（2）在法則探究中，滲透分類思想方法。例如，有理數(shù)的加法法則的探究，可分為：同號(hào)兩數(shù)相加；異號(hào)兩數(shù)相加；一個(gè)數(shù)同零相加三種情形：
①（+2）+（+1）=+（2+1）=+3， （-2）+（-1）=-（2+1）=-3；
②（+2）+（-1）=+（2-1）=+1， （-2）+（+1）=-（2-1）=-1；
（+2）+（-2）=0；
③（+2）+0=+2， （-2）+0=-2，0+0=0.
最后歸納出有理數(shù)的加法法則。
（3）在圖形求解中，滲透分類思想方法。例如，等腰三角形的兩邊分別是3、4，求它的周長(zhǎng)。分析：根據(jù)等腰三角形的腰可分為：當(dāng)3為腰時(shí)，則4就是底邊；當(dāng)4為腰時(shí)，則3就是底邊二種情形：
①當(dāng)3為腰時(shí)，則4就是底邊，此時(shí)等腰三角形的周長(zhǎng)為10；
②當(dāng)4為腰時(shí)，則3就是底邊，等腰三角形的此時(shí)等腰三角形的周長(zhǎng)為11。
2、啟發(fā)誘導(dǎo)，揭示分類思想方法的本質(zhì)。
（1）根據(jù)問題的需要，進(jìn)行分類。
例如，解關(guān)于x的不等式：mx>-1
分析：據(jù)不等式的性質(zhì)可分為m>0，m=0和m
①當(dāng)m>0時(shí)，不等式的解為x>-1/ m；
②當(dāng)m=0時(shí)，不等式左邊=0，右邊=-1，因?yàn)?乘任何數(shù)得0，0>-1，此不等式解集為一切實(shí)數(shù)；
③當(dāng)m
（2）分類要求明確的標(biāo)準(zhǔn)。例如，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）根的探究，可按根的情況分為：兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；沒有實(shí)數(shù)根等三種情況來討論。
3、深化探究，運(yùn)用分類的思想方法研究問題。
（1）根據(jù)字母的取值范圍進(jìn)行分類。例如，已知函數(shù)y=kx2+（k-1）x-1（k是實(shí)數(shù)），如果函數(shù)的圖象與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，求k的值。
分析：這里可從函數(shù)分類的角度討論，分k=0和k≠0兩種情況解決問題。
解：①當(dāng)k=0時(shí)，函數(shù)就是一個(gè)一次函數(shù)，y=-x-1，它與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)（-1，0）。
②當(dāng)k≠1時(shí)，函數(shù)就是一個(gè)二次函數(shù)，y=kx2+（k-1）x-1，當(dāng)=（k-1）2-4×k×（-1）=0，得k=-1，拋物線y=-x2-2x-1的頂點(diǎn)（-1，0）在x軸上。
分類討論的思想方法范文2
關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)教學(xué) 思想方法 分類討論 數(shù)形結(jié)合
中圖分類號(hào)：G63 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1672-3791（2013）05（a）-0171-02
在一個(gè)人的知識(shí)結(jié)構(gòu)中，哪些東西最重要？哪些知識(shí)可讓一個(gè)人終身受益？知識(shí)海洋廣闊無垠，現(xiàn)代社會(huì)更是知識(shí)爆炸時(shí)代，知識(shí)呈幾何級(jí)數(shù)增長(zhǎng)發(fā)展，一個(gè)人要學(xué)會(huì)所有的知識(shí)是絕對(duì)不可能的。那么我們的教育要達(dá)到什么樣的功能呢？在有限的時(shí)間內(nèi)，培養(yǎng)和提高學(xué)生的思維素質(zhì)，這才是教育的根本目的。數(shù)學(xué)在基礎(chǔ)教育中是培養(yǎng)學(xué)生邏輯思維能力、提高思維素質(zhì)最有力和最好的工具，這種功能是其它任何一門課程所不能比擬、不能取代的，這已形成共識(shí)。正如法國(guó)學(xué)者勞厄所言：“教育無非是一切已學(xué)過的東西都忘掉時(shí)所剩下的東西。”在數(shù)學(xué)中遺忘之余，所剩的東西就是數(shù)學(xué)思想方法。某哲人也曾說過：“能使學(xué)生獲得受用終身的東西的那種教育，才是最高尚和最好的教育。”數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)正是這樣一件有意義的工作。而我們大多的初中數(shù)學(xué)教師和學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的理解和認(rèn)識(shí)卻仍維持在似懂非懂、可有可無的邊界線上。
《九年義務(wù)教育數(shù)學(xué)教學(xué)大綱》明確指出“使學(xué)生受到必要的數(shù)學(xué)教育，具有一定的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，對(duì)于提高全民族素質(zhì)，為培養(yǎng)社會(huì)主義建設(shè)人才奠定基礎(chǔ)是十分必要的”。又指出：“初中數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)，主要是概念、法則、性質(zhì)、公式、公理、定理以及由其內(nèi)容所反映出來的數(shù)學(xué)思想和方法”。這其中既把數(shù)學(xué)知識(shí)的“精靈”―― 數(shù)學(xué)思想和方法納入基礎(chǔ)知識(shí)之中，又凝聚了形成知識(shí)所經(jīng)歷的思想方法、規(guī)律及邏輯過程。如果說歷史上是數(shù)學(xué)思想方法推進(jìn)了數(shù)學(xué)科學(xué)，那么在教學(xué)中就是數(shù)學(xué)思想方法在傳導(dǎo)數(shù)學(xué)精神，在對(duì)一代人的數(shù)學(xué)素質(zhì)施加深刻持久的影響。
初中數(shù)學(xué)中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法很多，最基本的數(shù)學(xué)思想方法有符號(hào)與變?cè)乃枷搿⒒瘹w的思想、數(shù)形結(jié)合的思想、分類討論的思想、方程的思想、函數(shù)的思想等，突出這些基本思想方法，就相當(dāng)于抓住了中學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)的精髓。
1 符號(hào)與變?cè)乃枷敕椒?/p>
有人認(rèn)為在中學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和教學(xué)中要處理好六個(gè)飛躍（“六關(guān)”）。
（1）從算術(shù)到代數(shù)，即從具體數(shù)字到抽象符號(hào)的飛躍。
（2）從實(shí)驗(yàn)幾何到推理幾何的飛躍。
（3）從常量到變量的飛躍（函數(shù)概念的形成和發(fā)展）。
（4）從平面幾何到立體幾何的飛躍。
（5）從推理幾何到解析幾何的飛躍。
（6）從有限到無限的飛躍。
其中，從具體數(shù)字到抽象符號(hào)的飛躍，掌握符號(hào)與變?cè)乃枷敕椒ㄊ浅踔袛?shù)學(xué)乃至整個(gè)中學(xué)數(shù)學(xué)重要目標(biāo)之―― 發(fā)展符號(hào)意識(shí)的基礎(chǔ)。從用字母表示數(shù)，到用字母表示未知元、表示待定系數(shù)，到換元、設(shè)輔助元，再到用f（x）表示式、表示函數(shù)等字母的使用與字母的變換，是一整套的代數(shù)方法，列方程、解方程的方法是解決已知量與未知量間等量關(guān)系的一類代數(shù)方法。此外，待定系數(shù)法、根與系數(shù)的關(guān)系，乃至解不等式、函數(shù)定義域的確定、極值的求法等等，都是字母代替數(shù)的思想和方法的推廣，因此，符號(hào)與變?cè)乃枷敕椒ㄊ侵袑W(xué)數(shù)學(xué)中最基本的思想方法之一。為什么有不少學(xué)生總認(rèn)為3a>a，-a
2 化歸的思想方法
“化歸”是轉(zhuǎn)化和歸結(jié)的簡(jiǎn)稱。化歸是數(shù)學(xué)研究問題的一般思想方法和解決問題的一種策略。在數(shù)學(xué)方法中所論及的“化歸”方法是指數(shù)學(xué)家在解決問題的過程中，不是對(duì)問題進(jìn)行直接攻擊，而是把待解決的問題進(jìn)行變形，轉(zhuǎn)化，直接歸結(jié)到一類已經(jīng)能解決或者比較容易解決的問題中去，最終獲得原問題解答的一種手段和方法。
但是如果問題較復(fù)雜，往往通過一次“化歸”還不能解決問題，可連續(xù)地施行轉(zhuǎn)化，直到歸結(jié)為一個(gè)已經(jīng)能解決或較易解決的問題，其“化歸”的次數(shù)是隨著問題的難易而定。
中學(xué)數(shù)學(xué)處處都體現(xiàn)出化歸的思想，如化繁為簡(jiǎn)、化難為易，化未知為已知，化高次為低次等，它是解決問題的一種最基本的思想。在具體內(nèi)容上，有加法與減法的轉(zhuǎn)化，乘法與除法的轉(zhuǎn)化，乘方與開方的轉(zhuǎn)化，以及添加輔助線，增設(shè)輔助元等等都是實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化的具體手段。因此，在教學(xué)中首先要讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到，常用的很多數(shù)學(xué)方法實(shí)質(zhì)上就是轉(zhuǎn)化的方法，從而確信轉(zhuǎn)化是可能的，而且是必須的。其次要結(jié)合具體教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行有意識(shí)的訓(xùn)練，使學(xué)生掌握這一具有重大價(jià)值的思想方法。在具體教學(xué)過程中設(shè)出問題讓學(xué)生去觀察，探索轉(zhuǎn)化的路子。例如在求解分式方程時(shí)，運(yùn)用化歸的方法，將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程，進(jìn)而求得分式方程的解，又如求解二元一次方程組時(shí)的“消元”，解一元二次方程時(shí)的“降次”都是化歸的具體體現(xiàn)。
3 數(shù)形結(jié)合的思想方法
數(shù)學(xué)是研究現(xiàn)實(shí)世界的空間形式和數(shù)量關(guān)系的科學(xué)，也就是數(shù)與形。數(shù)與形是中學(xué)數(shù)學(xué)的主體，是中學(xué)數(shù)學(xué)論述的兩大重要內(nèi)容。數(shù)形結(jié)合的思想方法是指在研究某一對(duì)象時(shí)，既分析其代數(shù)意義，又揭示其幾何意義，用代數(shù)方法分析圖形，借助圖形直觀理解數(shù)、式中的關(guān)系，使數(shù)與形各展其長(zhǎng)，優(yōu)勢(shì)互補(bǔ)，相輔相成，使邏輯思維與形象思維完美地結(jié)合起來。數(shù)形結(jié)合思想方法采用了代數(shù)方法與幾何方法中最好的方面：幾何圖形形象直觀，便于理解；代數(shù)方法的一般性與嚴(yán)謹(jǐn)性、解題過程的機(jī)械化、可操作性強(qiáng)，便于把握。因此數(shù)形結(jié)合的思想方法是學(xué)好初中數(shù)學(xué)的重要思想方法。
辯證唯物主義認(rèn)為，事物是互相聯(lián)系并在一定條件下可以互相轉(zhuǎn)化的。“形”與“數(shù)”既有區(qū)別又有聯(lián)系，直角坐標(biāo)系的建立產(chǎn)生了“坐標(biāo)法”，從而實(shí)現(xiàn)了它們之間的轉(zhuǎn)化。在代數(shù)與幾何的學(xué)習(xí)過程中，自始至終貫徹“數(shù)形結(jié)合”的思想。它不僅使幾何、代數(shù)、三角知識(shí)互相滲透融于一體，又能揭示問題的實(shí)質(zhì)，在解題方法上簡(jiǎn)捷明快，獨(dú)辟蹊徑，既能開發(fā)智力，又培養(yǎng)創(chuàng)造性思維，提高分析問題和解決問題的能力。著名數(shù)學(xué)家華羅庚說過：“數(shù)與形，本是相倚依，焉能分作兩邊飛，數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬事休，切莫忘，幾何、代數(shù)統(tǒng)一體；永遠(yuǎn)聯(lián)系，切莫分離”。數(shù)形結(jié)合，直觀又入微，不少精巧的解法正是數(shù)形相輔相成的產(chǎn)物。
數(shù)形結(jié)合的思想，可以使學(xué)生從不同的側(cè)面理解問題，加深對(duì)問題的認(rèn)識(shí)，提供解決問題的方法，有利于培養(yǎng)學(xué)生將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題的能力。數(shù)形結(jié)合的載體是數(shù)軸，依靠數(shù)軸反映出數(shù)與點(diǎn)的對(duì)應(yīng)關(guān)系，是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的一大飛躍。運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想方法思考問題，能給抽象的數(shù)量關(guān)系以形象的幾何直觀，也能把幾何圖形問題轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系問題去解決。
（1）由“數(shù)”思“形”，數(shù)形結(jié)合，用形解決數(shù)的問題。
運(yùn)用圖形方法解題的關(guān)鍵在于圖形的構(gòu)造，而構(gòu)造圖形是一項(xiàng)創(chuàng)造性的思維活動(dòng)，圖形的構(gòu)造無規(guī)則可循，也不能生搬硬套，墨守成規(guī)，同步自封。從宏觀上講，構(gòu)造圖形就是善于科學(xué)抽象，善于抓住起關(guān)鍵作用的一些量和相依關(guān)系，巧妙地運(yùn)用數(shù)學(xué)符號(hào)，式子規(guī)律去刻劃其內(nèi)在的關(guān)系。其思考途徑，用圖表示如圖1。
比如通過數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法來學(xué)習(xí)相反數(shù)、絕對(duì)值的定義，有理數(shù)大小比較的法則，函數(shù)等，可以大大減輕學(xué)生學(xué)習(xí)這些知識(shí)的難度，數(shù)形結(jié)合思想的教學(xué)應(yīng)貫穿于整個(gè)數(shù)學(xué)教學(xué)的始終。
（2）由“形”思“數(shù)”，數(shù)形結(jié)合，用數(shù)解決形的問題。
數(shù)形結(jié)合解決問題，常以純代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為幾何問題，即變抽象為具體來加以討論，以達(dá)到事半功倍之目的。其實(shí)，對(duì)于一些純幾何問題轉(zhuǎn)變?yōu)榇鷶?shù)問題來解決也有此功效。
例如B、C為線段AD上兩點(diǎn)，M是AB的中點(diǎn)，N是CD的中點(diǎn)，若AD=a，Bc=b，則MN=？
分析：由題意可知，B、C兩點(diǎn)的位置有兩種情況（圖2）。
綜上所述，數(shù)形結(jié)合的實(shí)際效果，或是化抽象為直觀，或是化技巧為程序操作，無論哪一種形式都更好地實(shí)現(xiàn)了從未知到已知的轉(zhuǎn)化，所以說數(shù)形結(jié)合是轉(zhuǎn)化的一種手段。
4 分類討論的思想方法
“分類”源于生活，存在于生活，分類思想是自然科學(xué)乃至社會(huì)科學(xué)中的基本邏輯方法，分類思想方法是一種等價(jià)特殊化。其基本思想是：為了解決一個(gè)有關(guān)一般對(duì)象X的問題，可將x分解為特殊的組合，而關(guān)于特殊對(duì)象的問題是易于解決的。人們可以從這種對(duì)象的組合過渡到解的組合而獲德原問題的解。
分類也是研究數(shù)學(xué)問題的重要思想方法，它始終貫穿于整個(gè)數(shù)學(xué)教學(xué)中。從整體布局上看，中學(xué)數(shù)學(xué)分代數(shù)、幾何兩大類，采用不同方法進(jìn)行研究，就是分類思想的體現(xiàn)；從具體內(nèi)容上看，初中數(shù)學(xué)中實(shí)數(shù)的分類，式的分類，三角形的分類，方程的分類，函數(shù)的分類等等，也是分類思想的具體體現(xiàn)。對(duì)學(xué)習(xí)內(nèi)容進(jìn)行分類，降低了學(xué)習(xí)難度，增強(qiáng)了學(xué)習(xí)的針對(duì)性，在教學(xué)需要時(shí)啟發(fā)學(xué)生按不同的情況去對(duì)同一對(duì)象進(jìn)行分類，幫助他們掌握好分類的方法原則，形成分類的思想。
在初中數(shù)學(xué)中，分類討論的問題主要表現(xiàn)三個(gè)方面：（1）有的概念、定理的論證包含多種情況，這類問題需要分類討論，如幾何中三角形的分類、四邊形的分類、角的分類、圓周角定理、圓冪定理、弦切角定理等的證明，都涉及到分類討論。（2）解含字母系數(shù)或絕對(duì)值符號(hào)的方程、不等式，討論算術(shù)根、正比例和反比例函數(shù)中的比例系數(shù)、二次函數(shù)中二次項(xiàng)系數(shù)a與圖象的開口方向等，由于這些系數(shù)的取值不同或要去掉絕對(duì)值符號(hào)就有不同的結(jié)果，這類問題需要分類討論。（3）有的數(shù)學(xué)問題，雖然結(jié)論唯一，但導(dǎo)致這結(jié)論的前提不盡相同，這類問題也要分類討論。
分類時(shí)要注意：（1）標(biāo)準(zhǔn)相同；（2）不重不漏；（3）分類討論應(yīng)當(dāng)逐級(jí)進(jìn)行，不能越級(jí)。
5 函數(shù)與方程的思想方法
函數(shù)思想是指用運(yùn)動(dòng)、變化、聯(lián)系、對(duì)應(yīng)的觀點(diǎn)，分析數(shù)學(xué)與實(shí)際生活中的數(shù)量關(guān)系，通過函數(shù)這種數(shù)量關(guān)系表示出來并加以研究，從而使問題獲得解決的思想。方程思想是指把表示變量問關(guān)系的解析式看作方程，通過解方程或?qū)Ψ匠痰难芯浚箚栴}得到解決的思想。
函數(shù)思想是客觀世界中事物運(yùn)動(dòng)變化、相互聯(lián)系、相互制約的普遍規(guī)律在數(shù)學(xué)中的反映。它的本質(zhì)是變量之間的對(duì)應(yīng)。辯證唯物主義認(rèn)為，世界上一切事物都是處在運(yùn)動(dòng)、變化和發(fā)展的過程中，這就要求我們教學(xué)中重視函數(shù)的思想方法的教學(xué)。函數(shù)思想方法，是指用函數(shù)的概念和性質(zhì)去分析問題、轉(zhuǎn)化問題和解決問題。它有別于象前面所述的幾種數(shù)學(xué)思想方法，它是內(nèi)容與思想方法的二位一體。初中代數(shù)中的正比例函數(shù)、反比例函數(shù)、一次函數(shù)和二次函數(shù)雖然安排在初三學(xué)習(xí)，但函數(shù)思想從初一就已經(jīng)開始滲透。這就要求教師在教學(xué)上要有意識(shí)、有計(jì)劃、有目的地進(jìn)行函數(shù)思想方法的培養(yǎng)。
例如，進(jìn)行代數(shù)第一冊(cè)“求代數(shù)式的值”的教學(xué)時(shí)，通過強(qiáng)調(diào)解題的條件“當(dāng)？？時(shí)，”滲透函數(shù)的思想方法―― 字母每取一個(gè)值，代數(shù)式就有唯一確定的值。這實(shí)際上是把第三冊(cè)中函數(shù)問題的一種前置，既滲透了函數(shù)思想方法，又為函數(shù)的學(xué)習(xí)埋下了伏筆。
又如，用直角三角形邊與邊的比值定義的銳角三角函數(shù)：在直角坐標(biāo)系中，由角的終邊上一點(diǎn)引出的三個(gè)量x，y，r中任意兩個(gè)量之比定義任意角的三角函數(shù)等，一系列的知識(shí)體系，自始至終貫穿了函數(shù)、映射、對(duì)應(yīng)的思想方法。
再如，通過討論矩形面積一定時(shí)，長(zhǎng)與寬之間的關(guān)系；長(zhǎng)一定時(shí)，面積與寬的關(guān)系；寬一定時(shí)，面積與長(zhǎng)的關(guān)系。將靜態(tài)的知識(shí)模式演變?yōu)閯?dòng)態(tài)的討論，這樣實(shí)際上就賦予了函數(shù)的形式，在學(xué)生的頭腦中就形成了以運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)去領(lǐng)會(huì)知識(shí)，這是發(fā)展函數(shù)思想的重要途徑。
當(dāng)然，初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的思想方法還有很多，如觀察與實(shí)驗(yàn)、分析與綜合、歸納與類比以及集合論的思想方法，幾何變換的思想方法等等。我們?cè)诮虒W(xué)實(shí)踐中應(yīng)立足于數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)，充分挖掘教材中的數(shù)學(xué)思想方法，有目的、有意識(shí)、有計(jì)劃的滲透、介紹和強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)思想方法，減少盲目性和隨意性，去精心設(shè)計(jì)每一個(gè)單元、每一堂課的教學(xué)目標(biāo)以及問題提出、情景創(chuàng)設(shè)等教學(xué)過程的各個(gè)環(huán)節(jié)。
只有讓學(xué)生掌握了這把金鑰匙，才能使學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)，提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)，增強(qiáng)創(chuàng)新意識(shí)，提高創(chuàng)新能力。
方程思想具有很豐富的含義，其核心體現(xiàn)在：（1）建模思想。（2）化歸思想，如在初中數(shù)學(xué)中，三元一次方程組可以化歸為二元一次方程組，二元一次方程組最終化歸為x=a的形式。
對(duì)初中生來說，學(xué)習(xí)方程內(nèi)容最主要的事情集中在兩個(gè)方面：一方面是建模；另一方面是會(huì)解方程。對(duì)于后者來說，解方程的關(guān)鍵在于轉(zhuǎn)化，即將新的問題化歸為以前可以解決的問題，利用以前的算法解決。這種化歸、迭代的思想正是當(dāng)代計(jì)算機(jī)的思想。
方程與函數(shù)思想緊密聯(lián)系、相互滲透，方程思想在函數(shù)中的應(yīng)用可形成如下的結(jié)構(gòu)系統(tǒng)：方程思想―系數(shù)法、消元法、判別式法―求解析式、判別函數(shù)圖象之間的位置、求函數(shù)圖像交點(diǎn)。
上述數(shù)學(xué)思想不是孤立的，例如：運(yùn)用函數(shù)思想解題時(shí)，往往要借助函數(shù)圖像的直觀性，即同時(shí)又要用到數(shù)形結(jié)合思想。因此，在解題過程中，必須善于把握運(yùn)用各種數(shù)學(xué)思想的時(shí)機(jī)，對(duì)于一些難度較大，或綜合性較強(qiáng)，或背景較新穎的問題，更應(yīng)注意運(yùn)用數(shù)學(xué)思想去尋求其合理解法，從而避免繁雜運(yùn)算，避免“超時(shí)失分”。
參考文獻(xiàn)
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分類討論的思想方法范文3
關(guān)鍵詞： 新課程 分類討論思想 數(shù)學(xué)新教材習(xí)題 滲透
新課程實(shí)施的背景下，高中數(shù)學(xué)對(duì)學(xué)生的考查，不僅僅局限于“雙基”的考查，而更重視對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)思想方法的考查.數(shù)學(xué)思想是指人們對(duì)數(shù)學(xué)理論和內(nèi)容的本質(zhì)的認(rèn)識(shí)，數(shù)學(xué)方法是數(shù)學(xué)思想的具體化形式，實(shí)際上兩者的本質(zhì)是相同的，差別只是站在不同的角度看問題，通常混稱為“數(shù)學(xué)思想方法”.常見的數(shù)學(xué)四大思想方法為：函數(shù)與方程、轉(zhuǎn)化與化歸、分類討論、數(shù)形結(jié)合.數(shù)學(xué)思想是學(xué)生必須具備的基本數(shù)學(xué)素養(yǎng).數(shù)學(xué)思想是解題的靈魂，指導(dǎo)正確解題的核心，只有掌握了數(shù)學(xué)思想，才能真正理解數(shù)學(xué)知識(shí)的內(nèi)涵.
分類討論思想方法是高中數(shù)學(xué)中最基本的思想方法，它根據(jù)所研究的問題的特點(diǎn)和要求，分成若干類，轉(zhuǎn)化成若干個(gè)小問題來解決，按不同情況分類，然后逐一研究解決.其本質(zhì)為“化整為零，積零為整”；原則為標(biāo)準(zhǔn)相同，不重不漏.其步驟是：①明確對(duì)象的全體，②確定分類標(biāo)準(zhǔn)，③科學(xué)分類，④逐類討論，⑤歸納小結(jié)，⑥得出結(jié)論.其好處為分類討論思想可以提高全面考慮問題的能力，形成周密嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)素養(yǎng)，對(duì)形成理性思維、發(fā)展智力具有基礎(chǔ)性作用.隨著新課改的實(shí)施，在新教材中各處都有相應(yīng)的滲透和體現(xiàn)，稍加引申就能加深對(duì)分類討論思想方法的理解與深化.本文以人教版課程實(shí)驗(yàn)教科書（A）必修一為例，初探分類討論思想在新課程實(shí)施中的滲透.
例一：（12頁，B組3題）
設(shè)集合A={x|（x-3）（x-a）=0，a∈R}，B={x|（x-4）（x-1）=0}，求A∪B，A∩B.
分析：集合A中的條件a∈R，就已經(jīng)告訴我們A中的元素與a的取值有關(guān)，分析問題時(shí)候注意此條件，就不難發(fā)現(xiàn)要對(duì)a的取值進(jìn)行討論.
解：（1）當(dāng)a=3時(shí)，A={3}，B={4，1}，A∪B={1，3，4}，A∩B=?.
（2）當(dāng)a=4時(shí)，A={3，4}，B={4，1}，A∪B={1，3，4}，A∩B={4}.
（3）當(dāng)a=1時(shí)，A={3，1}，B={4，1}，A∪B={1，3，4}，A∩B={1}.
（4）當(dāng)a≠1，3，4時(shí)，A={3，a}，B={4，1}，A∪B={1，3，4，a}，A∩B=?.
備注：在講解過程中，注意為什么需要分類討論及分類討論的原則.如果不對(duì)a進(jìn)行討論，在進(jìn)行集合的交并運(yùn)算的時(shí)候，就不符合集合中元素的互異性.同時(shí)也加深我們對(duì)集合中元素的性質(zhì)的理解.
變式：（44頁，A組4題）
A={x|x=1}，B={x|ax=1}，若B?哿A，求a的值.
解：（1）當(dāng)a=0時(shí)，B=?，符合B?哿A.
（2）當(dāng)a≠0時(shí)，B={}，A={-1，1}，
B?哿A，
=-1或者=1，
a=-1或1.
綜上所述：a=0，-1，1.
例二：（44頁，A組9題）
已知函數(shù)f（x）=4x-kx-8在［5，20］上具有單調(diào)性，求實(shí)數(shù)k的取值范圍.
分析：函數(shù)f（x）在［5，20］上具有單調(diào)性，但是單調(diào)性不明確，有增減兩種可能，進(jìn)而需要進(jìn)行分類討論.
解：函數(shù)f（x）=4x-kx-8的對(duì)稱軸為x=.
（1）當(dāng)函數(shù)f（x）=4x-kx-8在［5，20］為單調(diào)遞增時(shí)，
有≤5，解得k≤40.
（2）當(dāng)函數(shù)f（x）=4x-kx-8在［5，20］為單調(diào)遞減時(shí)，
有≥20，解得k≥160.
綜上所述，實(shí)數(shù)k的取值范圍是k≤40或k≥160.
備注：通過這道題向我們滲透了單調(diào)性中求參數(shù)取值范圍的問題，仔細(xì)分析，充分利用這道題，我們可以進(jìn)一步引申出有關(guān)二次函數(shù)中的相關(guān)問題.
變式：1.已知函數(shù)f（x）=4x-kx-8在［5，20］上具不具有單調(diào)性，求實(shí)數(shù)k的取值范圍.（也可以利用補(bǔ)集的方法）
2.求函數(shù)f（x）=4x-kx-8在［5，20］上的最小值（最小值，最值）.
3.求函數(shù)f（x）=4x-8x-8在［a，a+1］上的最小值（最大值，最值）.
4.函數(shù)f（x）=4x-kx-8在區(qū)間［5，20］上的最大值為2，求k的值.
以上只是一些比較簡(jiǎn)單的變式，還可以有其他的變式.但是我們通過這些簡(jiǎn)單的題對(duì)分類討論思想加深了理解，同時(shí)也學(xué)到了關(guān)于一元二次函數(shù)有關(guān)參數(shù)范圍問題的解題方法.
例三：（60頁，B組第一題和75頁，B組第2題）
（1）求不等式a＞a（a＞0，且a≠1）中的x的取值范圍.
（2）若log＜1（a＞0，且a≠1），求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
分析：以上兩題考察的是指對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，底數(shù)都不確定，所以需要對(duì)底數(shù)做討論.
解：（1）1°當(dāng)a＞1時(shí)，有2x-7＞4x-1，解得x＜-3;
2°當(dāng)0＜a＜1時(shí)，有2x-7＜4x-1，解得x＞-3.
綜上所述，當(dāng)a＞1時(shí)x的取值范圍是x＜-3;當(dāng)0＜a＜1時(shí)，x的取值范圍是x＞-3.
（2）1°當(dāng)a＞1時(shí)，log＜1恒成立;
2°當(dāng)0＜a＜1時(shí)，log＜1=loga，0＜a＜.
所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是{a|0＜a＜或a＞1}.
分析：在指對(duì)數(shù)函數(shù)的教學(xué)中，一直要滲透底數(shù)對(duì)函數(shù)的性質(zhì)的影響，養(yǎng)成良好的分類討論的習(xí)慣.
變式：已知x滿足a+a≤a+a（a＞0，a≠1），函數(shù)y=log?log（ax）的值域?yàn)椋?，0］，求a的值.
解：由a+a≤a+a（a＞0，a≠1）?圯（a-a）（a-a）≤0?圯x∈［2，4］
由y＝log?log（ax）?圯y=（logx+）-
y∈［-，0］?圯-≤（logx+）-≤0?圯-2≤logx≤-1，
2≤x≤4
①當(dāng)a＞1時(shí)，logx為單調(diào)增函數(shù)，
log2≤logx≤log4，log2=-2且log4=-1，無解.
②當(dāng)0＜a＜1時(shí)，logx為單調(diào)減函數(shù)，log2≥logx≥log4，
分類討論的思想方法范文4
關(guān)鍵詞：中考試題；數(shù)學(xué)；思想方法
通過對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的合理應(yīng)用，學(xué)生可以在很大程度上簡(jiǎn)化數(shù)學(xué)問題的難度，使原本復(fù)雜的問題變得更加簡(jiǎn)單，抽象的問題變得更加具象。近年來隨著我國(guó)教育改革的不斷深化，不管是在初中數(shù)學(xué)課堂的教學(xué)過程中還是在中考數(shù)學(xué)試題的命題中都十分重視數(shù)學(xué)思想方法。學(xué)生利用數(shù)學(xué)思想方法的能力能夠反映他們對(duì)知識(shí)點(diǎn)的理解和應(yīng)用能力，能夠展示他們解題的思維能力，是衡量學(xué)生數(shù)學(xué)解題能力的重要依據(jù)。
一、數(shù)學(xué)思想方法分析
（一）數(shù)形結(jié)合思想方法
在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，最常碰到的就是數(shù)與形的問題，其中數(shù)和形之間是存在密切聯(lián)系的，數(shù)是形的一種抽象概括，而形則是數(shù)的一種具體表達(dá)。這就告訴我們?cè)谶M(jìn)行數(shù)形問題的解決時(shí)，可以將這兩者進(jìn)行轉(zhuǎn)換，也就是說數(shù)的問題可以用形來解決，而同樣形的問題也可以借助數(shù)來計(jì)算。在進(jìn)行數(shù)學(xué)問題解答的時(shí)候我們要把抽象的數(shù)學(xué)語言和具體的圖形結(jié)合起來，利用圖形作為輔助工具進(jìn)行問題的解答。
（二）分類討論思想方法
當(dāng)一道數(shù)學(xué)試題具有不唯一解的時(shí)候，就需要應(yīng)用到另外一種數(shù)學(xué)解題思想方法，那就是分類討論思想方法。學(xué)生在進(jìn)行解題的時(shí)候可以按照一定的原則把問題所涉及的情況分成若干類別，然后按照類別進(jìn)行逐一的討論，在全部的類別討論完成之后，再把這些類別所得出來的結(jié)論進(jìn)行匯總就是問題的完整答案。這種思想方法的本質(zhì)其實(shí)就是“化整為零”，把復(fù)雜的問題拆開進(jìn)行討論，這種數(shù)學(xué)思想方法的一般應(yīng)用步驟如下：首先仔細(xì)閱讀問題，確定一個(gè)正確的分類標(biāo)準(zhǔn)；其次，針對(duì)特定的問題進(jìn)行分析，按照設(shè)定好的分類標(biāo)準(zhǔn)對(duì)所有情況進(jìn)行分類，要保證做到分類不重復(fù)不遺漏；然后，對(duì)所有的情況進(jìn)行分別討論，逐步得出結(jié)論；最后，將各類的結(jié)論進(jìn)行分析和匯總，重復(fù)的結(jié)論進(jìn)行合并，最終得出問題的完整答案。
（三）等價(jià)轉(zhuǎn)化思想方法
把未知的問題轉(zhuǎn)變成為已知問題，把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題簡(jiǎn)單化所應(yīng)用到的數(shù)學(xué)思想方法就是轉(zhuǎn)化思想。轉(zhuǎn)化思想讓學(xué)生從問題的另外一個(gè)角度進(jìn)行考慮，通常這種思想方法能夠把非常規(guī)的問題轉(zhuǎn)變成為常規(guī)的問題，把復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化成為簡(jiǎn)單的問題，從而能夠使得問題迎刃而解，極大地節(jié)省了學(xué)生解題過程中所需要花費(fèi)的時(shí)間。
（四）配方法以及待定系數(shù)法
在初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，配方法的使用是非常頻繁的，利用這種數(shù)學(xué)思想方法可以解決一些理論性或者比較實(shí)際的問題。在有關(guān)方程計(jì)算的問題中對(duì)配方的應(yīng)用比較多，比如說利用它可以推導(dǎo)一元二次方程或者是求根公式；計(jì)算方程的極值點(diǎn)，并且大體描繪出方程的圖像輪廓等。在進(jìn)行方程配方的時(shí)候一定要謹(jǐn)記一定規(guī)律，那就是在進(jìn)行配方的時(shí)候方程兩邊要加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方。待定系數(shù)法就是利用特定的字母將數(shù)學(xué)問題的未知量表示出來，然后通過帶入未知量，求解方程組從而求出待定系數(shù)的大小，使問題得以解決。
二、中考試題中數(shù)學(xué)思想方法的具體應(yīng)用
下面就以2015年泰州市中考數(shù)學(xué)試題的第14題進(jìn)行簡(jiǎn)要分析，來探究具體數(shù)學(xué)思想方法的應(yīng)用。題目如下：
如圖1，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，將拋物線y=x2的對(duì)稱軸繞著點(diǎn)P（0，2）順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°后與該拋物線交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)Q是該拋物線上的一點(diǎn)。
（1）求直線AB的函數(shù)表達(dá)式；
（2）如圖1①，若點(diǎn)Q在直線AB的下方，求點(diǎn)Q到直線AB的距離的最大值；
（3）如圖1②，若點(diǎn)Q在y軸左側(cè)，且點(diǎn)T（0，t）（t
學(xué)生在進(jìn)行第一問求解的時(shí)候，首先需要做的就是根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到等腰直角三角形PMO，然后再根據(jù)已知條件∠OPA=45°以及P（0，2）就可以很輕松地得出M（-2，0）。進(jìn)而應(yīng)用待定系數(shù)法即可求得直線AB的解析式，所得的POM如圖2所示。
然后在進(jìn)行第二問的求解時(shí)，作出如圖3所示的圖形，具體做法就是過點(diǎn)Q作x軸的垂線QC，交AB于點(diǎn)C，再過點(diǎn)Q作直線AB的垂線，垂足為點(diǎn)D，根據(jù)題目中所給的已知條件就可以得出三角形QCD為等腰直角三角形，所以就可以得出，QD=QC然后再設(shè)Q點(diǎn)的坐標(biāo)，得出QC點(diǎn)之間的關(guān)系式，根據(jù)QD與QC之間的關(guān)系進(jìn)一步求出QD的表達(dá)式，最后充分應(yīng)用二次函數(shù)的最值定理就能夠得出想要的答案。在解答第三問的時(shí)候，學(xué)生需要注意，因?yàn)樗婕暗那闆r不唯一，會(huì)存在∠BPQ=45°，∠PBQ=45°，∠PQB=45°這三種情況，學(xué)生需要對(duì)這三種情況進(jìn)行分別討論，然后把得出的結(jié)果進(jìn)行匯總，才是問題的最終答案。在解答這道問題的時(shí)候上面所提到的數(shù)學(xué)思想方法基本都有應(yīng)用，當(dāng)然題目還涉及線動(dòng)旋轉(zhuǎn)和相似三角形存在性問題、曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的關(guān)系、等腰直角三角形的判定和性質(zhì)、二次函數(shù)最值求解問題，以及三角形的勾股定理和方程思想都有所涉及。
綜上所述，我們知道數(shù)學(xué)思想方法是幫助學(xué)生解決數(shù)學(xué)問題的重要指導(dǎo)性思想和工具，它是數(shù)學(xué)知識(shí)的靈魂所在。不過學(xué)生要想具備優(yōu)秀的數(shù)學(xué)思想方法，并不是一蹴而就的，這種思想方法的學(xué)習(xí)過程是潛移默化的，它需要學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中不斷總結(jié)和積累。當(dāng)學(xué)生掌握了數(shù)學(xué)思想方法之后，還要注意對(duì)它們的鞏固和應(yīng)用，保證學(xué)生在利用數(shù)學(xué)思想方法進(jìn)行解題的時(shí)候可以做到信手拈來。
參考文獻(xiàn)：
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分類討論的思想方法范文5
[關(guān)鍵詞] 等腰三角形；分類討論；幾何法；代數(shù)法；策略
近年來中考數(shù)學(xué)壓軸問題的幾何背景越來越普遍地以各種幾何圖形為載體，諸如等腰三角形、圓、正方形等. 壓軸試題以這些特殊的幾何體為背景，與二次函數(shù)進(jìn)行有機(jī)聯(lián)系進(jìn)行考查，筆者稱之為動(dòng)態(tài)幾何問題. 因其知識(shí)考查細(xì)致、知識(shí)銜接處能力要求更高、更全面，所以往往成為區(qū)分學(xué)生數(shù)學(xué)能力和數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重要考題. 本文以近幾年部分中考試題為例，談?wù)劷獯鸫祟悊栴}的策略和方法.
策略：分類討論
分類討論思想是中學(xué)數(shù)學(xué)一種重要的數(shù)學(xué)思想方法，其在解決復(fù)雜數(shù)學(xué)問題時(shí)往往帶來了清晰的思路，因此也成為初中數(shù)學(xué)思想方法的重點(diǎn)之一，在解決許多的初中數(shù)學(xué)問題時(shí)有著不可替代的作用. 分類討論思想最早出現(xiàn)在數(shù)學(xué)著作《幾何原本》中，歐幾里得早在該書中對(duì)五條經(jīng)典公設(shè)做出了通俗易懂的證明，其證明中就采用了分類討論的數(shù)學(xué)思想. 如今，中學(xué)數(shù)學(xué)教育中分類討論策略更是往往用在壓軸型問題的解決上，其能很好地區(qū)分學(xué)生思維的嚴(yán)密性、邏輯性等，值得我們?cè)诮虒W(xué)中不斷滲透.
（1）求點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo).
提示：在所求的等腰三角形中，以頂點(diǎn)進(jìn)行分類，即形成不同的階段討論，屬于等腰三角形中的基本問題，值得注意的是，這樣的問題，檢驗(yàn)環(huán)節(jié)必不可少，并需注意代數(shù)運(yùn)算的準(zhǔn)確性.
總之，等腰三角形中的壓軸類問題離不開數(shù)學(xué)思想方法――分類討論思想，初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的最高境界是掌握這樣的數(shù)學(xué)思想方法，即所謂的三維知識(shí)模塊，將千變?nèi)f化的試題化有形于無形，通過思想方法看到問題的本質(zhì)、解決的思路，這是教師“教”與學(xué)生“學(xué)”都不斷追求的目標(biāo). 通過上述案例，不僅在等腰三角形中需要這樣的思想方法作為指導(dǎo)，具體到計(jì)算方法時(shí)，往往是幾何法和代數(shù)法的運(yùn)用或交替使用.
分類討論的思想方法范文6
【關(guān)鍵詞】解題思想，函數(shù)思想，轉(zhuǎn)化思想
美國(guó)著名數(shù)學(xué)教育家波利亞說過，掌握數(shù)學(xué)就意味著要善于解題。在解答過程都蘊(yùn)含著重要的數(shù)學(xué)思想方法。要有意識(shí)培養(yǎng)學(xué)生地應(yīng)用數(shù)學(xué)思想方法去分析問題解決問題，形成能力，提高數(shù)學(xué)素質(zhì)，使自己具有數(shù)學(xué)頭腦和眼光。數(shù)學(xué)思想方法與數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)相比較，它有較高的地位和層次。數(shù)學(xué)知識(shí)是數(shù)學(xué)內(nèi)容，可以用文字和符號(hào)來記錄和描述，隨著時(shí)間的推移，記憶力的減退，將來可能忘記。而數(shù)學(xué)思想方法則是一種數(shù)學(xué)意識(shí)，只能夠領(lǐng)會(huì)和運(yùn)用，屬于思維的范疇，用以對(duì)數(shù)學(xué)問題的認(rèn)識(shí)、處理和解決，掌握數(shù)學(xué)思想方法，不是受用一陣子，而是受用一輩子，即使數(shù)學(xué)知識(shí)忘記了，數(shù)學(xué)思想方法也還是對(duì)你起作用。數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)的核心，是數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的源泉，是解決數(shù)學(xué)問題的鑰匙.解題思想是數(shù)學(xué)思想在認(rèn)識(shí)論與方法論層面上的結(jié)晶，是決定性因素。
一、方程的思想
方程是數(shù)學(xué)的一個(gè)重要的概念。方程思想是通過對(duì)問題的觀察、分析、判斷等一系列的思維過程中，具備標(biāo)新立異、獨(dú)樹一幟的深刻性、獨(dú)創(chuàng)性思維，將問題化歸為方程的問題，利用方程的性質(zhì)、定理，實(shí)現(xiàn)問題與方程的互相轉(zhuǎn)化接軌，達(dá)到解決問題的目的
例1 我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《孫子算經(jīng)》中有一著名的“雞兔同籠”問題：今有雞兔同籠，上有頭，下有足，問：雞兔各幾何？（孫子在其著作中給出這一問題的解法，恰是解方程組的過程，雖然當(dāng)時(shí)并沒有方程或方程組的概念.這是一個(gè)簡(jiǎn)單的二元一次方程組.）
二、函數(shù)思想
函數(shù)是數(shù)學(xué)中的重要內(nèi)容.函數(shù)內(nèi)容是貫穿于代數(shù)知識(shí)的主線.不僅有具體的函數(shù)知識(shí)，如冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)等，而且很多數(shù)學(xué)內(nèi)容都與函數(shù)有關(guān)，如數(shù)列可以看成定義在自然數(shù)集上的函數(shù)等.在解決數(shù)學(xué)的某些問題時(shí)，函數(shù)往往是非常有利的工具.函數(shù)思想指運(yùn)用函數(shù)的概念和性質(zhì)，通過類比、聯(lián)想、轉(zhuǎn)化、合理地構(gòu)造函數(shù)，然后去分析、研究問題，轉(zhuǎn)化問題和解決問題。
三、轉(zhuǎn)化思想
在解決數(shù)學(xué)問題時(shí)，轉(zhuǎn)化思想是數(shù)學(xué)中最基本的思想方法. 所謂轉(zhuǎn)化與化歸思想方法，就是在研究和解決有關(guān)數(shù)學(xué)問題時(shí)，采用某種手段將問題通過變換使之轉(zhuǎn)化，進(jìn)而達(dá)到解決的一種方法。一般總是將復(fù)雜的問題通過轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的問題，將難解的問題通過變換轉(zhuǎn)化為容易的問題，將未解決的問題變換轉(zhuǎn)化為已解決的問題。
四、分類討論思想
當(dāng)我們要解決的問題不能統(tǒng)一處理時(shí)，譬如較為復(fù)雜的計(jì)算題、作圖題、論證題等，要按問題出現(xiàn)的各種情況進(jìn)行討論，分別做出與各類相應(yīng)的結(jié)論，這種處理問題的思想稱為分類討論思想.運(yùn)用這一思想，可以幫助人們進(jìn)行全面嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃伎己头治觯瑥亩@得合理的解題途徑和正確的答案.在解決問題中如不能對(duì)問題進(jìn)行正確的分類，就會(huì)發(fā)生丟解，錯(cuò)解的錯(cuò)誤.其方法和步驟如下：（1）確定是否需要分類討論以及需要討論時(shí)的對(duì)象和它的取值范圍；（2）確定分類標(biāo)準(zhǔn)科學(xué)合理分類；（3）逐類進(jìn)行討論得出各類結(jié)果；（4）歸納各類結(jié)論。
注：此例是關(guān)于指數(shù)函數(shù)性質(zhì)的問題，解決問題過程中對(duì)指數(shù)的底進(jìn)行了正確的分類討論.
五、 數(shù)形結(jié)合思想。數(shù)學(xué)以現(xiàn)實(shí)世界的數(shù)量關(guān)系和空間形式作為其研究的對(duì)象，而數(shù)和形是相互聯(lián)系的，也是可以相互轉(zhuǎn)化的.數(shù)指數(shù)量關(guān)系，形指空間圖形.把問題涉及的數(shù)量關(guān)系與空間形式結(jié)合起來考察，根據(jù)具體問題的具體特點(diǎn)，或者把數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為圖形的性質(zhì)問題，或者把圖形的性質(zhì)轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系問題，這種處理問題的思想和方法就是數(shù)形結(jié)合的思想方法，從而使復(fù)雜問題簡(jiǎn)單化、抽象問題具體化，達(dá)到化難為易的目的.
