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量子力學束縛態的條件范文1
第一章
量子理論基礎
1．1
由黑體輻射公式導出維恩位移定律：能量密度極大值所對應的波長與溫度T成反比，即
T=b（常量）；
并近似計算b的數值，準確到二位有效數字。
解
根據普朗克的黑體輻射公式
，
（1）
以及
，
（2）
，
（3）
有
這里的的物理意義是黑體內波長介于λ與λ+dλ之間的輻射能量密度。
本題關注的是λ取何值時，取得極大值，因此，就得要求
對λ的一階導數為零，由此可求得相應的λ的值，記作。但要注意的是，還需要驗證對λ的二階導數在處的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的就是要求的，具體如下：
如果令x=
，則上述方程為
這是一個超越方程。首先，易知此方程有解：x=0，但經過驗證，此解是平庸的；另外的一個解可以通過逐步近似法或者數值計算法獲得：x=4.97，經過驗證，此解正是所要求的，這樣則有
把x以及三個物理常量代入到上式便知
這便是維恩位移定律。據此，我們知識物體溫度升高的話，輻射的能量分布的峰值向較短波長方面移動，這樣便會根據熱物體（如遙遠星體）的發光顏色來判定溫度的高低。
1．2
在0K附近，鈉的價電子能量約為3eV，求其德布羅意波長。
解
根據德布羅意波粒二象性的關系，可知
E=h，
如果所考慮的粒子是非相對論性的電子（），那么
如果我們考察的是相對性的光子，那么
E=pc
注意到本題所考慮的鈉的價電子的動能僅為3eV，遠遠小于電子的質量與光速平方的乘積，即，因此利用非相對論性的電子的能量——動量關系式，這樣，便有
在這里，利用了
以及
最后，對
作一點討論，從上式可以看出，當粒子的質量越大時，這個粒子的波長就越短，因而這個粒子的波動性較弱，而粒子性較強；同樣的，當粒子的動能越大時，這個粒子的波長就越短，因而這個粒子的波動性較弱，而粒子性較強，由于宏觀世界的物體質量普遍很大，因而波動性極弱，顯現出來的都是粒子性，這種波粒二象性，從某種子意義來說，只有在微觀世界才能顯現。
1．3
氦原子的動能是（k為玻耳茲曼常數），求T=1K時，氦原子的德布羅意波長。
解
根據
，
知本題的氦原子的動能為
顯然遠遠小于這樣，便有
這里，利用了
最后，再對德布羅意波長與溫度的關系作一點討論，由某種粒子構成的溫度為T的體系，其中粒子的平均動能的數量級為kT，這樣，其相慶的德布羅意波長就為
據此可知，當體系的溫度越低，相應的德布羅意波長就越長，這時這種粒子的波動性就越明顯，特別是當波長長到比粒子間的平均距離還長時，粒子間的相干性就尤為明顯，因此這時就能用經典的描述粒子統計分布的玻耳茲曼分布，而必須用量子的描述粒子的統計分布——玻色分布或費米公布。
1．4
利用玻爾——索末菲的量子化條件，求：
（1）一維諧振子的能量；
（2）在均勻磁場中作圓周運動的電子軌道的可能半徑。
已知外磁場H=10T，玻爾磁子，試計算運能的量子化間隔E，并與T=4K及T=100K的熱運動能量相比較。
解
玻爾——索末菲的量子化條件為
其中q是微觀粒子的一個廣義坐標，p是與之相對應的廣義動量，回路積分是沿運動軌道積一圈，n是正整數。
（1）設一維諧振子的勁度常數為k，諧振子質量為μ，于是有
這樣，便有
這里的正負號分別表示諧振子沿著正方向運動和沿著負方向運動，一正一負正好表示一個來回，運動了一圈。此外，根據
可解出
這表示諧振子的正負方向的最大位移。這樣，根據玻爾——索末菲的量子化條件，有
為了積分上述方程的左邊，作以下變量代換；
這樣，便有
這時，令上式左邊的積分為A，此外再構造一個積分
這樣，便有
（1）
這里
=2θ，這樣，就有
（2）
根據式（1）和（2），便有
這樣，便有
其中
最后，對此解作一點討論。首先，注意到諧振子的能量被量子化了；其次，這量子化的能量是等間隔分布的。
（2）當電子在均勻磁場中作圓周運動時，有
這時，玻爾——索末菲的量子化條件就為
又因為動能耐，所以，有
其中，是玻爾磁子，這樣，發現量子化的能量也是等間隔的，而且
具體到本題，有
根據動能與溫度的關系式
以及
可知，當溫度T=4K時，
當溫度T=100K時，
顯然，兩種情況下的熱運動所對應的能量要大于前面的量子化的能量的間隔。
1．5
兩個光子在一定條件下可以轉化為正負電子對，如果兩光子的能量相等，問要實現實種轉化，光子的波長最大是多少？
解
關于兩個光子轉化為正負電子對的動力學過程，如兩個光子以怎樣的概率轉化為正負電子對的問題，嚴格來說，需要用到相對性量子場論的知識去計算，修正當涉及到這個過程的運動學方面，如能量守恒，動量守恒等，我們不需要用那么高深的知識去計算，具休到本題，兩個光子能量相等，因此當對心碰撞時，轉化為正風電子對反需的能量最小，因而所對應的波長也就最長，而且，有
此外，還有
于是，有
盡管這是光子轉化為電子的最大波長，但從數值上看，也是相當小的，我們知道，電子是自然界中最輕的有質量的粒子，如果是光子轉化為像正反質子對之類的更大質量的粒子，那么所對應的光子的最大波長將會更小，這從某種意義上告訴我們，當涉及到粒子的衰變，產生，轉化等問題，一般所需的能量是很大的。能量越大，粒子間的轉化等現象就越豐富，這樣，也許就能發現新粒子，這便是世界上在造越來越高能的加速器的原因：期待發現新現象，新粒子，新物理。
第二章波
函數和薛定諤方程
2.1證明在定態中，幾率流與時間無關。
證：對于定態，可令
可見無關。
2.2
由下列定態波函數計算幾率流密度：
從所得結果說明表示向外傳播的球面波，表示向內(即向原點)
傳播的球面波。
解：
在球坐標中
同向。表示向外傳播的球面波。
可見，反向。表示向內(即向原點)
傳播的球面波。
補充：設，粒子的位置幾率分布如何？這個波函數能否歸一化？
波函數不能按方式歸一化。
其相對位置幾率分布函數為
表示粒子在空間各處出現的幾率相同。
2.3
一粒子在一維勢場
中運動，求粒子的能級和對應的波函數。
解：無關，是定態問題。其定態S—方程
在各區域的具體形式為
Ⅰ：①
Ⅱ：②
Ⅲ：③
由于(1)、(3)方程中，由于，要等式成立，必須
即粒子不能運動到勢阱以外的地方去。
方程(2)可變為
令，得
其解為
④
根據波函數的標準條件確定系數A，B，由連續性條件，得
⑤
⑥
⑤
⑥
由歸一化條件
得
由
可見E是量子化的。
對應于的歸一化的定態波函數為
#
2.4.
證明（2.6-14）式中的歸一化常數是
證：
（2.6-14）
由歸一化，得
歸一化常數
#
2.5
求一維諧振子處在激發態時幾率最大的位置。
解：
令，得
由的表達式可知，時，。顯然不是最大幾率的位置。
可見是所求幾率最大的位置。
#
2.6
在一維勢場中運動的粒子，勢能對原點對稱：，證明粒子的定態波函數具有確定的宇稱。
證：在一維勢場中運動的粒子的定態S-方程為
①
將式中的代換，得
②
利用，得
③
比較①、③式可知，都是描寫在同一勢場作用下的粒子狀態的波函數。由于它們描寫的是同一個狀態，因此之間只能相差一個常數。方程①、③可相互進行空間反演
而得其對方，由①經反演，可得③，
④
由③再經反演，可得①，反演步驟與上完全相同，即是完全等價的。
⑤
④乘
⑤，得
可見，
當時，，具有偶宇稱，
當時，，具有奇宇稱，
當勢場滿足時，粒子的定態波函數具有確定的宇稱。#
2.7
一粒子在一維勢阱中
運動，求束縛態()的能級所滿足的方程。
解法一：粒子所滿足的S-方程為
按勢能的形式分區域的具體形式為
Ⅰ：
①
Ⅱ：
②
Ⅲ：
③
整理后，得
Ⅰ：
④
Ⅱ：.
⑤
Ⅲ：
⑥
令
則
Ⅰ：
⑦
Ⅱ：.
⑧
Ⅲ：
⑨
各方程的解為
由波函數的有限性，有
因此
由波函數的連續性，有
整理(10)、(11)、(12)、(13)式，并合并成方程組，得
解此方程即可得出B、C、D、F，進而得出波函數的具體形式，要方程組有非零解，必須
即
為所求束縛態能級所滿足的方程。#
解法二：接（13）式
#
解法三：
(11)-(13)
(10)+(12)
(11)+(13)
(12)-(10)
（b）
k
a
ctgk
k
)
10
(
)
12
(
)
13
(
)
11
(
1
2
2
-
=
T
-
+
令
則
合并：
利用
#
解法四：（最簡方法-平移坐標軸法）
Ⅰ：
（χ≤0）
Ⅱ：
（0＜χ＜2）
Ⅲ：
（χ≥2）
束縛態＜＜
因此
由波函數的連續性，有
(7)代入(6)
利用(4)、(5)，得
#
2.8分子間的范德瓦耳斯力所產生的勢能可以近似表示為
求束縛態的能級所滿足的方程。
解：勢能曲線如圖示，分成四個區域求解。
定態S-方程為
對各區域的具體形式為
Ⅰ：
Ⅱ：
Ⅲ：
Ⅳ：
對于區域Ⅰ，，粒子不可能到達此區域，故
而
.
①
②
③
對于束縛態來說，有
④
⑤
⑥
各方程的解分別為
由波函數的有限性，得
由波函數及其一階導數的連續，得
⑦
⑧
⑨
⑩
由⑦、⑧，得
(11)
由
⑨、⑩得
(12)
令，則①式變為
聯立(12)、(13)得，要此方程組有非零解，必須
把代入即得
此即為所要求的束縛態能級所滿足的方程。
#
附：從方程⑩之后也可以直接用行列式求解。見附頁。
此即為所求方程。
#
補充練習題一
1、設
，求A
=
？
解：由歸一化條件，有
利用
#
2、求基態微觀線性諧振子在經典界限外被發現的幾率。
解：基態能量為
設基態的經典界限的位置為，則有
在界限外發現振子的幾率為
)
(
2
2
2
2
2
2
x
a
x
a
x
e
dx
e
dx
e
a
a
a
p
a
y
p
a
p
a
w
-
￥
-
-
￥
-
-
=
+
=
ò
ò
式中為正態分布函數
當。查表得
在經典極限外發現振子的幾率為0.16。
#
3、試證明是線性諧振子的波函數，并求此波函數對應的能量。
證：線性諧振子的S-方程為
①
把代入上式，有
把代入①式左邊，得
當時，左邊
=
右邊。
n
=
3
，是線性諧振子的波函數，其對應的能量為。
第三章
量子力學中的力學量
3.1
一維諧振子處在基態，求：
(1)勢能的平均值；
(2)動能的平均值；
(3)動量的幾率分布函數。
解：(1)
(2)
或
(3)
動量幾率分布函數為
#
3.2.氫原子處在基態，求：
(1)r的平均值；
(2)勢能的平均值；
(3)最可幾半徑；
(4)動能的平均值；
(5)動量的幾率分布函數。
解：(1)
(3)電子出現在r+dr球殼內出現的幾率為
令
當為幾率最小位置
是最可幾半徑。
(4)
(5)
動量幾率分布函數
#
3.3
證明氫原子中電子運動所產生的電流密度在球極坐標中的分量是
證：電子的電流密度為
在球極坐標中為
中的和部分是實數。
可見，
#
3.4
由上題可知，氫原子中的電流可以看作是由許多圓周電流組成的。
(1)求一圓周電流的磁矩。
(2)證明氫原子磁矩為
原子磁矩與角動量之比為
這個比值稱為回轉磁比率。
解：(1)
一圓周電流的磁矩為
（為圓周電流，為圓周所圍面積）
(2)氫原子的磁矩為
在單位制中
原子磁矩與角動量之比為
#
3.5
一剛性轉子轉動慣量為I，它的能量的經典表示式是，L為角動量，求與此對應的量子體系在下列情況下的定態能量及波函數：
(1)
轉子繞一固定軸轉動：
(2)
轉子繞一固定點轉動：
解：(1)設該固定軸沿Z軸方向，則有
哈米頓算符
其本征方程為
(無關，屬定態問題)
令
，則
取其解為
(可正可負可為零)
由波函數的單值性，應有
即
m=
0，±1，±2，…
轉子的定態能量為
(m=
0，±1，±2，…)
可見能量只能取一系列分立值，構成分立譜。
定態波函數為
A為歸一化常數，由歸一化條件
轉子的歸一化波函數為
綜上所述，除m=0外，能級是二重簡并的。
(2)取固定點為坐標原點，則轉子的哈米頓算符為
無關，屬定態問題，其本征方程為
(式中設為的本征函數，為其本征值)
令
，則有
此即為角動量的本征方程，其本征值為
其波函數為球諧函數
轉子的定態能量為
可見，能量是分立的，且是重簡并的。
#
3.6
設t=0時，粒子的狀態為
求此時粒子的平均動量和平均動能。
解：
可見，動量的可能值為
動能的可能值為
對應的幾率應為
上述的A為歸一化常數，可由歸一化條件，得
動量的平均值為
#
3.7
一維運動粒子的狀態是
其中，求：
(1)粒子動量的幾率分布函數；
(2)粒子的平均動量。
解：(1)先求歸一化常數，由
動量幾率分布函數為
(2)
#
3.8.在一維無限深勢阱中運動的粒子，勢阱的寬度為，如果粒子的狀態由波函數
描寫，A為歸一化常數，求粒子的幾率分布和能量的平均值。
解：由波函數的形式可知一維無限深勢阱的分布如圖示。粒子能量的本征函數和本征值為
動量的幾率分布函數為
先把歸一化，由歸一化條件，
3.9.設氫原子處于狀態
求氫原子能量、角動量平方及角動量Z分量的可能值，這些可能值出現的幾率和這些力學量的平均值。
解：在此能量中，氫原子能量有確定值
角動量平方有確定值為
角動量Z分量的可能值為
其相應的幾率分別為
，
其平均值為
3.10一粒子在硬壁球形空腔中運動，勢能為
求粒子的能級和定態函數。
解：據題意，在的區域，，所以粒子不可能運動到這一區域，即在這區域粒子的波函數
()
由于在的區域內，。只求角動量為零的情況，即，這時在各個方向發現粒子的幾率是相同的。即粒子的幾率分布與角度無關，是各向同性的，因此，粒子的波函數只與有關，而與無關。設為，則粒子的能量的本征方程為
令
，得
其通解為
波函數的有限性條件知，
有限，則
A
=
由波函數的連續性條件，有
其中B為歸一化，由歸一化條件得
歸一化的波函數
#
3.11.
求第3.6題中粒子位置和動量的測不準關系
解：
3.12
粒子處于狀態
式中為常量。當粒子的動量平均值，并計算測不準關系
解：①先把歸一化，由歸一化條件，得
/
是歸一化的
②
動量平均值為
③
（奇被積函數）
#
3.13利用測不準關系估計氫原子的基態能量。
解：設氫原子基態的最概然半徑為R，則原子半徑的不確定范圍可近似取為
由測不準關系
得
對于氫原子，基態波函數為偶宇稱，而動量算符為奇宇稱，所以
又有
所以
可近似取
能量平均值為
作為數量級估算可近似取
則有
基態能量應取的極小值，由
得
代入，得到基態能量為
補充練習題二
1．試以基態氫原子為例證明：的本征函數，而是的本征函數。
可見，
可見，是的本征函數。
2．證明：的氫原子中的電子，在的方向上被發現的幾率最大。
解：
的電子，其
當時
為最大值。即在方向發現電子的幾率最大。
在其它方向發現電子的幾率密度均在～之間。
3．試證明：處于1s，2p和3d態的氫原子的電子在離原子核的距離分別為的球殼內被發現的幾率最大(為第一玻爾軌道半徑
)。
證：①對1s態，
令
易見
，當不是最大值。
為最大值，所以處于1s態的電子在處被發現的幾率最大。
②對2p態的電子
令
易見
，當為最小值。
為幾率最大位置，即在的球殼內發現球態的電子的幾率最大。
③對于3d態的電子
令
易見
，當為幾率最小位置。
為幾率最大位置，即在的球殼內發現球態的電子的幾率最大。
4.
當無磁場時，在金屬中的電子的勢能可近似視為
其中
，求電子在均勻場外電場作用下穿過金屬表面的透射系數。
解：設電場強度為，方向沿χ軸負向，則總勢能為
，
勢能曲線如圖所示。則透射系數為
式中為電子能量。，由下式確定
令
，則有
透射系數
5．指出下列算符哪個是線性的，說明其理由。
①
；
②
；
③
解：①是線性算符
②不是線性算符
③是線性算符
6．指出下列算符哪個是厄米算符，說明其理由。
7、下列函數哪些是算符的本征函數，其本征值是什么？
①，
②
，
③， ④， ⑤
解：①
不是的本征函數。
②
不是的本征函數，其對應的本征值為1。
③
可見，是的本征函數，其對應的本征值為－1。
④
是的本征函數，其對應的本征值為－1。
⑤
是的本征函數，其對應的本征值為－1。
8、試求算符的本征函數。
解：的本征方程為
（的本征值）
9、如果把坐標原點取在一維無限深勢阱的中心，求阱中粒子的波函數和能級的表達式。
解：
方程（分區域）：
Ⅰ：
Ⅲ：
Ⅱ：
令
標準條件：
取
，
即
粒子的波函數為
粒子的能級為
由歸一化條件，得
粒子的歸一化波函數為
10、證明：處于1s、2p和3d態的氫原子中的電子，當它處于距原子核的距離分別為的球殼處的幾率最（為第一玻爾軌道半徑）。
證：
令
，則得
為幾率最小處。
為幾率最大處。
令
，則得
為最大幾率位置。
當
時，
為幾率最小位置。
令
，得
同理可知
為幾率最小處。
為幾率最大處。
11、求一維諧振子處在第一激發態時幾率最大的位置。
解：
令
，得
，
，
為幾率最小處。
，
為幾率最大處。
6．設氫原子處在的態（為第一玻爾軌道半徑），求
①的平均值；
②勢能的平均值。
解：①
②
12、粒子在勢能為
的場中運動。證明對于能量的狀態，其能量由下式決定：
（其中）
證：方程
Ⅰ：
Ⅱ：
Ⅲ：
令
則得
Ⅰ：
Ⅱ：
Ⅲ：
其通解為
利用標準條件，由有限性知
由連續性知
①
②
③
④
由①、②，得
⑤
由③、④，得
⑥
而
把⑤、⑥代入，得
整理，得
令
由，得
###
13、設波函數，求
解：
14、說明：如果算符和都是厄米的，那么
(+)也是厄米的
證：
+也是厄米的。
15、問下列算符是否是厄米算符：
①
②
解：①
因為
不是厄米算符。
②
是厄米算符。
##
16、如果算符滿足關系式，求證
①
②
證：
①
②
17、求
解：
=
18、
解：
=
第四章
態和力學量的表象
4.1.求在動量表象中角動量的矩陣元和的矩陣元。
解：
#
4.2
求能量表象中，一維無限深勢阱的坐標與動量的矩陣元。
解：基矢：
能量：
對角元：
當時，
#
4.3
求在動量表象中線性諧振子的能量本征函數。
解：定態薛定諤方程為
即
兩邊乘以，得
令
跟課本P.39(2.7-4)式比較可知，線性諧振子的能量本征值和本征函數為
式中為歸一化因子，即
#
4.4.求線性諧振子哈密頓量在動量表象中的矩陣元。
解：
#
4.5
設已知在的共同表象中，算符的矩陣分別為
求它們的本征值和歸一化的本征函數。最后將矩陣對角化。
解：的久期方程為
的本征值為
的本征方程
其中設為的本征函數共同表象中的矩陣
當時，有
由歸一化條件
取
對應于的本征值0。
當時，有
由歸一化條件
取
歸一化的對應于的本征值
當時，有
由歸一化條件
取
歸一化的對應于的本征值
由以上結果可知，從的共同表象變到表象的變換矩陣為
對角化的矩陣為
按照與上同樣的方法可得
的本征值為
的歸一化的本征函數為
從的共同表象變到表象的變換矩陣為
利用S可使對角化
#
4.6求連續性方程的矩陣表示
解：連續性方程為
而
寫成矩陣形式為
第五章
微擾理論
5.1
如果類氫原子的核不是點電荷，而是半徑為、電荷均勻分布的小球，計算這種效應對類氫原子基態能量的一級修正。
解：這種分布只對的區域有影響，對的區域無影響。據題意知
其中是不考慮這種效應的勢能分布，即
為考慮這種效應后的勢能分布，在區域，
在區域，可由下式得出，
由于很小，所以，可視為一種微擾，由它引起的一級修正為（基態）
，故。
#
5.2
轉動慣量為I、電偶極矩為的空間轉子處在均勻電場在中，如果電場較小，用微擾法求轉子基態能量的二級修正。
解：取的正方向為Z軸正方向建立坐標系，則轉子的哈米頓算符為
取，則
由于電場較小，又把視為微擾，用微擾法求得此問題。
的本征值為
本征函數為
的基態能量為，為非簡并情況。根據定態非簡并微擾論可知
#
5.3
設一體系未受微擾作用時有兩個能級：，現在受到微擾的作用，微擾矩陣元為；都是實數。用微擾公式求能量至二級修正值。
解：由微擾公式得
得
能量的二級修正值為
#
5.4設在時，氫原子處于基態，以后受到單色光的照射而電離。設單色光的電場可以近似地表示為，及均為零；電離電子的波函數近似地以平面波表示。求這單色光的最小頻率和在時刻躍遷到電離態的幾率。
解：①當電離后的電子動能為零時，這時對應的單色光的頻率最小，其值為
②時，氫原子處于基態，其波函數為
在時刻，
微擾
其中
在時刻躍遷到電離態的幾率為
對于吸收躍遷情況，上式起主要作用的第二項，故不考慮第一項，
O
θ
α
x
y
z（）
其中
取電子電離后的動量方向為Z方向，
取、所在平面為面，則有
#
5.5基態氫原子處于平行板電場中，若電場是均勻的且隨時間按指數下降，即
求經過長時間后氫原子處在2p態的幾率。
解：對于2p態，，可取三值，其相應的狀態為
氫原子處在2p態的幾率也就是從躍遷到的幾率之和。
由
(取方向為Z軸方向)
=
=
由上述結果可知，，
當時，
其中
#
5.6計算氫原子由第一激發態到基態的自發發射幾率。
解：
由選擇定則，知是禁戒的
故只需計算的幾率
而
2p有三個狀態，即
(1)先計算z的矩陣元
(2)計算x的矩陣元
(3)計算的矩陣元
(4)計算
#
5.7
計算氫原子由2p態躍遷到1s態時所發出的光譜線強度。
解：
若
，則
#
5.8求線性諧振子偶極躍遷的選擇定則
解：
由
時，
即選擇定則為
#
補充練習三
1、一維無限深勢阱中的粒子受到微擾
作用，試求基態能級的一級修正。
解：基態波函數（零級近似）為
能量一級修正為
2、具有電荷為的離子，在其平衡位置附近作一維簡諧振動，在光的照射下發生躍遷。設入射光的能量為。其波長較長，求：
①
原來處于基態的離子，單位時間內躍遷到第一激發態的幾率。
②討論躍遷的選擇定則。
（提示：利用積分關系
答：①
②僅當，所以諧振子的偶極躍遷的選擇定則是）
解：①
(對于一維線性諧振子～)
其中
一維線性諧振子的波函數為
②
躍遷幾率，當時的躍遷為禁戒躍遷。
可見，所討論的選擇定則為。
#
3、電荷e的諧振子，在時處于基態，時處于弱電場之中(為常數)，試求諧振子處于第一激發態的幾率。
解：取電場方向為軸正方向，則有
當經過很長時間以后，即當時，。
實際上在以后即可用上述結果。
#
第七章
自旋與全同粒子
7.1.證明：
證：由對易關系
及
反對易關系
，
得
上式兩邊乘，得
7.2
求在自旋態中，和的測不準關系：
解：在表象中、、的矩陣表示分別為
在態中
討論：由、的對易關系
[，]
要求
①
在態中，
可見①式符合上式的要求。
7.3.求的本征值和所屬的本征函數。
解：的久期方程為
的本征值為。
設對應于本征值的本征函數為
由本征方程
，得
由歸一化條件
，得
即
對應于本征值的本征函數為
設對應于本征值的本征函數為
由本征方程
由歸一化條件，得
即
對應于本征值的本征函數為
同理可求得的本征值為。其相應的本征函數分別為
7.4
求自旋角動量方向的投影
本征值和所屬的本征函數。
在這些本征態中，測量有哪些可能值？這些可能值各以多大的幾率出現？的平均值是多少？
解：在
表象，的矩陣元為
其相應的久期方程為
即
所以的本征值為。
設對應于的本征函數的矩陣表示為，則
由歸一化條件，得
可見，
的可能值為
相應的幾率為
同理可求得
對應于的本征函數為
在此態中，的可能值為
相應的幾率為
7.5設氫的狀態是
①求軌道角動量z分量和自旋角動量z分量的平均值；
②求總磁矩
的
z分量的平均值（用玻爾磁矩子表示）。
解：ψ可改寫成
從ψ的表達式中可看出的可能值為
相應的幾率為
的可能值為
相應的幾率為
7.6
一體系由三個全同的玻色子組成，玻色子之間無相互作用。玻色子只有兩個可能的單粒子態。問體系可能的狀態有幾個？它們的波函數怎樣用單粒子波函數構成？
解：體系可能的狀態有4個。設兩個單粒子態為，，則體系可能的狀態為
7.7
證明和組成的正交歸一系。
解：
=0
同理可證其它的正交歸一關系。
7.8
設兩電子在彈性輳力場中運動，每個電子的勢能是。如果電子之間的庫侖能和相比可以忽略，求當一個電子處在基態，另一電子處于沿x方向運動的第一激發態時，兩電子組成體系的波函數。
解：電子波函數的空間部分滿足定態S-方程
考慮到
，令
其中
，
對于基態，
對于沿χ方向的第一激發態，
兩電子的空間波函數能夠組成一個對稱波函數和一個反對稱波函數，其形式為
而兩電子的自旋波函數可組成三個對稱態和一個反對稱態，即
和
綜合兩方面，兩電子組成體系的波函數應是反對稱波函數，即
獨態：
三重態：
主要參考書：
[1]
周世勛，《量子力學教程》，高教出版社，1979
[2]
