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概率論范文1

【關鍵詞】隨機現象；概率；生活應用

作為數學的一門分支，概率論在現實生活中發揮著重要的作用.人們生活和工作的各個方面都體現著與概率論知識的聯系，有些聯系明顯而緊密.于是，從古到今，無數人投入到了概率論知識的研究中，并為我們今天的生活和工作提供了很大的幫助.隨著概率論研究的深入，概率論已成為一門重要的學科，只有通過深入學習，才能正確且有效地利用概率論知識.本文從概率論的背景出發，通過一些概率模型和事例的介紹，來說明概率論知識與現實生活的聯系和概率論知識是如何在現實中發揮著日益重要的作用的.

一、概率論在生活中的應用

隨機現象無處不在，滲透于日常生活的方方面面和科學技術的各個領域，概率論就是通過研究隨機現象及其規律從而指導人們從事物表象看到其本質的一門學科.生活中買彩票顯示了小概率事件發生的概率之小，抽簽與體育比賽賽制的選擇用概率體現了公平與不公平，用概率來指導決策，減少錯誤與失敗等等，顯示了概率在人們日常生活中的越來越重要的作用.

在現實世界中，事物之間都是相互聯系和不斷發展的.人們觀察到的現象一般可分為確定性現象和隨機現象兩大類，前者指在一定條件下必然發生的現象.如，蘋果離開樹時必定落到地下.后者是在一定條件下事先不能斷言會出現哪種結果的現象.如，擲一枚質地均勻的硬幣，一定出現正面嗎？顯然，不一定.又如，在同樣條件下，進行小麥品種的人工催芽實驗，各顆種子的發芽情況也不盡相同，有強弱和早晚之別等.為什么在相同的情況下，會出現這種不確定的結果呢？這是因為，我們說的“相同條件”是對一些主要條件來說的，除了這些主要條件外，還會有許多次要條件和偶然因素是人們無法事先預料的.這種現象叫作偶然現象，又叫作隨機現象.概率，簡單說就是一件事發生的可能性的大小.比如，太陽每天都會東升西落，這件事發生的概率就是100%，因為它肯定會發生；而太陽西升東落的概率是0，因為它肯定不會發生.但生活中的很多現象是既有可能發生，也有可能不發生的，比如，明天會不會下雨、買到假酒等等，這類事件的概率就介于0和100%之間.在日常生活中無論是股市漲跌，還是交通事故的發生，都可用概率進行分析.不確定性既給人們帶來許多麻煩，同時又常常是解決問題的一種有效手段，甚至是唯一手段.走在街頭，來來往往的車輛讓人聯想到概率；生產、生活更是離不開概率.在令人心動的彩票搖獎中，概率同樣可以應用.彩票是現代城鄉居民經濟生活中的一個熱點.“以小博大”的發財夢，是不少彩票購買者的共同心態.那么，購買彩票真的能讓我們如愿以償嗎？以為例，從49個號碼中選擇6個，看起來似乎并不是很難，其實卻是“可望而不可即”的.經計算，投一注的理論中獎概率如下：

1C649=149！（49-6）！×6！=43！×6！49！

=6×5×4×3×2×149×48×47×46×45×44=113983816.

由此看出，中獎概率非常小，接近于0，在概率中這稱為小概率事件.也就是說只有極少數人能中獎，所以購買者應懷有平常心，既不能把它作為純粹的投資，更不應把它當成發財之路.生活中，有時我們會用抽簽的方法來決定某件事情，那么中簽與抽簽先后是否有關呢？我們用一道概率題目來說明：設袋中裝有a只黑球與b只白球，這些球除顏色外都相同，現從中將球一只只不放回地摸出，求第k次摸出的是黑球的概率（k≤1≤a+b）.考慮基本事件空間：按自然順序給編號，不妨先給黑球編號，再給白球編號，取基本事件空間為第k次摸出的球的全部可能的結果，則Ω={ω1，ω2，…，ωa+b}，ωi表示第k次摸出第i號球，i=1，2，…，a+b，于是要求的是事件Ω={ω1，ω2，…，ωa}的概率.由古典概率，P（A）=aa+b.顯然P（A）與k無關，也就是所求概率與摸球次序無關.類似地，這個結論也適用于抽簽.雖然抽簽有次序先后，但只要不讓后抽簽的人知道先抽簽的結果，那么先抽簽和后抽簽的中簽概率是相等的，抽簽對各個抽簽的人機會均等，與抽簽的先后次序無關，是公平的.

總之，由于隨機現象在現實世界中大量存在，概率必將越來越顯示出它巨大的威力.

二、結束語

本文主要介紹了概率知識在生活中的某方面的簡單應用，它的應用范圍還很廣，在社會科學領域，特別是經濟學中研究最優政策和經濟的穩定增長等問題，也大量采用概率論方法.正如數學家拉普拉斯所說：“生活上最重要的問題，其中絕大多數在實質上只是概率的問題.”

【參考文獻】 

[1]吐爾洪江.關于古典概型問題的幾點思考[J].塔里木大學學報，2006（2）：88-90. 

[2]姜麗娟.概率教學中幾個相關概念的探討[J].雞西大學學報，2001（4）：29-31. 

[3]李賢平，等.概率論與數理統計[M].上海：復旦大學出版社，2003. 

概率論范文2

關鍵詞：概率論與數理統計；教學改革；多媒體教學；考核方式

一、引言

概率論與數理統計是研究隨機現象統計規律性的一門數學學科，是數學專業和其他工科及管理類學生必修基礎課程，是工學及經濟學碩士研究生入學考試的必考內容之一，分值占到20%～25%。概率論與數理統計遍及科學技術領域、工農業生產，是數學學科中與現實世界聯系最密切、應用最廣泛的學科之一，是許多新發展的前沿學科的基礎。

二、教學存在的問題

1.很多學生把概率論與數理統計這門課程作為純粹的數學課來學，沒有注意到這門學科的趣味性和廣泛的應用性。課程本身基本概念、公式較多，難以理解，做起習題來較難下手，缺少利用數學知識分析解決問題的能力，這與我們培養復合型人才的定位是不相適應的。

2.教師為中心的課堂教學。傳統的教學模式是以書本為核心、教師為中心的教學模式。但這種應試教育從長期看不利于培養學生創新思維，不能適應時代要求，使學生處于背、記、考的惡性循環之中，扼殺了學生的個性。傳統的教學模式注重理論，偏離于實際應用，學生即使學完課程，通過考試之后也很快忘記學過的主要知識點，不能學以致用。

3.學時分配問題。很多工科院校概率論與數理統計課程的學時是48學時，這其中大部分是分配給概率論部分，應用性更強的統計部分的學時少之又少。筆者所在學校的生物專業、測繪專業對數據的處理要求高，學時不能滿足學生的高要求。教師講課過程中重理論輕實踐，結果學生缺乏創新精神，不能適應時展的需要。

4.讀書式的多媒體教學。多媒體課堂上，有的教師照“片”宣科，缺少師生之間的互動；有的教師的教學視頻畫面跳轉過快，不顧學生聽課狀態，使學生思路跟不上。這樣的教學盡管使用了多媒體，也只是把知識硬塞給學生。

三、教學改革

1.改變教學形式，調動學生的積極性。教學形式要求我們的課堂教學要有“度”，采取適當的方式改變現有的教學狀況，如課前先布置知識點，讓學生分小組進行討論，加深學生對知識的理解與學習，提高學生的主動性和探索性，教學一體，增進師生之間的溝通，增加課堂的趣味性。教學過程中，教師可以通過案例調動學生的學習積極性，講解概率的起源及歷史上著名的賭博問題。教師講解概率論的發展史可以增加數學家如德摩根、蒲豐、皮爾遜、柯爾莫哥洛夫等人物介紹，講授古典概率模型的生日問題、分房問題、裝箱問題、摸球問題、約會問題，讓學生體會到概率在我們身邊無處不在。教師在教學中要注重知識點的關聯性，如一維隨機變量與多維隨機變量。教師要發現學生易混淆的概念：全概率公式與貝葉斯公式，分布函數與函數分布，互不相容、對立、獨立性、不相關等。教師在教學中要詳細講解相關概念，剖析概念的本質區別。

2.開設實驗教學。教師教學可以開設實驗教學環節，計入學生的平時成績。例如，學校圖書館單位時間內進入圖書館的人數，觀察其是否服從Possion分布。調查信息與計算科學專業學生每月生活費用的分布情況，給定置信水平下的置信區間。通過生活小知識，學生產生對概率論與數理統計的學習興趣，提高解決實際問題的能力。隨著科技的不斷進步，Excel、Lingo、Eview、SPSS軟件為復雜的統計工作帶來極大的方便。教師可以在教學過程中加入一些數學軟件教學。例如，Matlab數學軟件所帶的統計工具箱幾乎包括了所有參數估計、假設檢驗、回歸分析等數理統計領域，命令調用十分簡單，能培養學生的分析能力、推理能力、建模能力，有利于學生的個性發展，推進學生素質培養。教師可以鼓勵學生參加數學建模競賽，為學生畢業后的發展奠定良好的基礎。

3.多媒體教學+傳統教學的結合。多媒體技術是教學中的輔助工具，教師可在多媒體上展示教材中的定義、定理并做頁碼標注，節省時間，讓學生多做習題，做到“精講多練”，提高教學效率。例如，幻燈片使教學效果直觀、形象，尤其對合班授課、坐在后面的同學視覺效果會更好。教師以多媒體圖形表格的形式給出單個正態總體的待估參數的置信區間、假設檢驗的拒絕域，可以讓學生一目了然，深刻理解概念及結論的本質。多媒體教學主張以教師為主導、學生為主體的教學模式，教師應遵循教學規律，針對學生的反應適時調整教學內容與方式，將傳統的板書教學、教師的肢體語言和多媒體課件有機結合，有張有弛，以期達到最佳的教學效果。

4.考試方式的改革。隨著復合型人才培養的需要，考試方法的改革勢在必行，其主要目的是提高學生的學習積極性，培養學生的學習能力和應用能力。學校可以采用“期末閉卷+平時成績”的綜合考核方式，期末試卷和平時成績各占一定比例。期末試卷可以減少學生死記硬背的知識，增加考查綜合能力的知識點，加大平時成績的考核力度。學校可以采用多種形式，如作業情況、平時表現、期中考試、實驗教學，可以讓學生以小論文的形式探討對概率論與數理統計課程中感興趣的方面。

四、結論

概率論與數理統計的教學目標是使學生學會書本知識，使學生學會如何應用所學知識解決今后學習和工作中的實際問題，提高學生的創新能力。高校教師應利用多種教學手段，提高課程的教學效果。

參考文獻：

[1]茆詩松，程依明，濮曉龍.概率論與數理統計[M].北京：高等教育出版社，2011

[2]范大茵，陳永華.概率論與數理統計[M].杭州：浙江大學出版社，2003

概率論范文3

【關鍵詞】概率論 互不相容 相互獨立 線性無關

【中圖分類號】G642 【文獻標識碼】A 【文章編號】1006-9682（2012）11-0035-03

【Abstract】Mutually exclusion， independence and linear independence are a few very important concepts in probability theory， but many students cannot understand these concepts very profound， and even confuse the relationship between them. Therefore， this paper first makes some explanation of these concepts， in order to help students to understand their essential meanings. On this basis， the relationships between these concepts are explored， so that the students can distinguish the links and difference between these concepts. Finally， examples are given to enable students to produce a more vivid understanding.

【Key words】Probability theory Mutually exclusion Independence Linear independence

一、引 言

互不相容、相互獨立和線性無關是概率論中三個非常重要的概念，[1]只有真正掌握好這些概念才能學好概率論。根據多年的教學經驗，我們注意到很多學生對這些概念理解的不是很深刻，甚至混淆它們之間的關系。因此，我們首先對這些概念做出解析，從而幫助學生理解其本質含義。在此基礎上，進一步探討它們之間的關系，使學生分清這些概念之間的聯系和區別。最后，給出具體的計算實例，以便讓學生對這些概念產生更形象的認識。

二、幾個重要概念

1.事件的互不相容

定義1：[2]設A、B是兩個事件，如果AB=?，則稱A、B為互不相容事件（或互斥事件）。

【概念解析】事件A、B互不相容的本質含義在于，A、B不能同時發生，即：如果A發生了，則B一定不會發生；反之亦然。

2.事件的相互獨立性

定義2：[2]設A、B是兩個事件，如果有以下等式成立：

P（AB）=P（A）P（B）

則稱事件A、B相互獨立。

為了更好地理解上述概念，首先給出事件相互獨立的幾個充要條件。

定理1：[2]設A、B是兩個事件。

（1）若P（A）>0，則A、B相互獨立的充分必要條件是P（B|A）=P（B）；

（2）若A、B相互獨立，則 與B、A與 、 與 都相互獨立。

由定理1可以得到以下推論：

推論2：設A、B是兩個事件，且1>P（A）>0，則A、B相互獨立的充分必要條件是P（B|A）=P（B| ）。

證明：“ ”若A、B相互獨立，則由定理1（2）知 與B也相互獨立，且1>P（ ）=1-P（A）>0。再由定理1（1）知P（B|A）=P（B），且P（B| ）=P（B），故：P（B|A）=P（B| ）。

“ ”若P（B|A）=P（B| ），由 及P（B| ）

= ，可得：P（AB）=P（A）P（B）。

因此，事件A、B相互獨立。

證畢。

【概念解析】由推論2，事件A、B相互獨立的充要條件是P（B|A）=P（B| ）。其本質含義在于，不論事件A會不會發生，事件B發生的概率都不會受到任何影響；反之，由對稱性，不論事件B會不會發生，事件A發生的概率也不會受到任何影響。也就是說，事件A是否發生和事件B是否發生，兩者是相互獨立的，不會互相影響。

3.隨機變量的相互獨立

定義3：[2]設X、Y是兩個隨機變量，若對任意的實數x，y均有：P﹛X≤x，Y≤y﹜=P﹛X≤x﹜P﹛Y≤y﹜。

即：F（x，y）=FX（x）FY（y）。

則稱隨機變量X、Y相互獨立。

【概念解析】隨機變量X、Y相互獨立，本質上是指X的取值和Y的取值是相互獨立的，不會互相影響。若令A={X≤x}，B={Y≤y}，則X、Y相互獨立當且僅當P（AB）=P（A）P（B），即事件A、B相互獨立。

4.隨機變量的相關性

定義4：設（X，Y）為二維隨機變量，若E{[X-E（X）][Y-E（Y）]}存在，則稱它為X與Y的協方差，記為Cov（X，Y），即Cov（X，Y）=E{[X-E（X）][Y-E（Y）]}。

稱 =

為隨機變量X與Y的相關系數。

定理3：[1]設隨機變量X和Y的相關系數存在，則：①| |≤1；②| |=1的充要條件是X與Y以概率1成線性關系，即P{Y=aX+b=1}，其中a，b（a≠0）為常數。

【概念解析】相關系數 是X與Y之間線性關系的一種度量。| |越接近于1，X與Y的線性關系越顯著；| |越接近于0，X與Y的線性關系越不顯著。

定義5：若相關系數 =0，則稱X與Y不相關。

【概念解析】若X與Y不相關，則X與Y之間完全不存在線性關系。

三、幾個概念之間的關系

1.事件間互不相容和相互獨立的關系

很多同學都想當然地認為，互不相容一定相互獨立；相互獨立一定互不相容。實際上，這種理解與事實相悖。下面給出互不相容和相互獨立的正確關系：

關系1：設A、B是兩個事件，且P（A）>0，P（B）>0。若A、B互不相容，則A與B一定不會相互獨立；反之，若A與B相互獨立，則A、B一定不會互不相容。

為了更好地理解上述關系，下面給出進一步分析。

【概念解析】如果事件A、B互不相容，那么A、B之間就存在一種關系，即A發生，B就不會發生；反之亦然。也就是說，如果A發生了，可以推出B一定不會發生；如果B發生了，可以推出A一定不會發生。由此可見，A、B之間不是獨立的，而是有聯系的，只不過這種聯系是一種對立性的關系，是不能互相包容的關系。而相互獨立是指事件A的發生和事件B的發生沒有任何關系。也就是說，事件A發生了，事件B也有可能發生；反之亦然。因此，A、B之間不可能互不相容。

這就如兩個人，如果他們沒有任何關系就稱他們是相互獨立的，如果是敵對關系就說他們互不相容。當他們相互獨立時，因為沒有任何關系，也就不會有敵對關系，所以不會互不相容；反之，如果他們互不相容，那他們就是敵對關系，也就不可能相互獨立。

2.隨機變量相互獨立和線性無關的關系

隨機變量之間的相互獨立和線性無關之間存在下述關系：

關系2：設X、Y是兩個隨機變量，若X、Y相互獨立，則X、Y一定線性無關；反之，若X、Y線性無關，則X、Y不一定相互獨立。

【概念解析】如果X、Y線性相關，那么X、Y之間就存在一種關系，即Y=aX+b，其中a，b（a≠0）為常數。也就是說X、Y的取值不是獨立的，因此X、Y不可能相互獨立；反之，如果X、Y相互獨立，則一定不會存在這種線性關系，也就是一定線性無關。如果X、Y線性無關，那么X、Y之間一定不存在線性關系，但并不能保證沒有其他關系，也就是說，X、Y不一定相互獨立。

四、例題解析

例1，拋一枚骰子，定義事件A為“拋出的點數為奇數”，B為“拋出的點數為偶數”，C為“拋出的點數能被3整除”，D為“拋出的點數為6”。判斷下列事件是否為互不相容事件？是否為相互獨立事件？

（1）A與B；（2）A與C；（3）A與D；（4）B與C；（5）B與D；（6）C與D。

解：A={1，3，5}；B={2，4，6}；C={3，6}；D={6}。

P（A）= ；P（B）= ；P（C）= ；P（D）= 。

P（AB）=0；P（AC）= ；P（AD）=0；P（BC）= ；

P（BD）= ；P（CD）= 。

故可得結論，見表1。

例2，已知二維隨機變量（X，Y）的概率密度為：

f（x，y）=

問：（1）X、Y是否相互獨立？（2）X、Y是否不相關？

解：（1）先求關于X和Y的邊緣概率密度：

因為f（x，y）≠fX（x）·fY（y），所以X和Y不相互獨立。

（2）求X和Y的相關系數：

故Cov（X，Y）=E（XY）-E（X）E（Y）=0。由此可得 =0。因此，X和Y不相關。

注：由本例可以看出，互不相容和相互獨立是兩個完全不同的概念，而且對任意事件對，兩者至多有一個成立。

例3，已知二維隨機變量（X，Y）的概率密度為：

f（x，y）=

問：（1）X、Y是否相互獨立？（2）求 。

解：（1）先求關于X和Y的邊緣概率密度：

因為f（x，y）≠fX（x）·fY（y），所以X和Y不相互獨立。

（2）

故Cov（X，Y）=E（XY）-E（X）E（Y）= 。

又 ；

故D（X）=E（X2）-[E（X）]2= 。

同理，D（Y）= 。故 = E=- 。

注：由上面兩個例子可以看出，兩個隨機變量不相互獨立，則它們的相關系數可能為0，也可能不為0。

五、結 論

本文對概率論中互不相容、相互獨立、線性無關等幾個重要概念進行了細致的講解，并進一步剖析了這些概念之間的聯系和區別，從而幫助學生加深理解，對這些概念產生更形象的認識。

參考文獻

概率論范文4

關鍵詞：高等數學;概率論;教學方法

概率論作為數學的分支，主要研究一些隨機現象的數量規律。多數高等數學題目難度較大，步驟繁瑣且較困難，但是如果巧妙把概率論的知識代入其中，能夠化難為易，使復雜的過程變得簡單，進而激發學生對高等數學的學習興趣。

一、概率論

在17世紀的時候，人們就已經開始對概率論進行研究了。然而一直到18世紀，它才得到了快速發展。概率論發展的奠基人是瑞士著名數學家雅克比?伯努利，他在自己的論著中提出了伯努利定理――嚴格按照規定進行多次實驗，某些事件發生的頻率會朝著逐步穩定的趨勢發展。伯努利這一定理的提出對概率論的發展具有直接的推動作用。從此，概率論逐步被應用到不同領域中。

19世紀初，法國數學家普拉斯通過概率論分析理論著作，完成了對整個概率論學科體系的構建。他在自己的著作中明確闡述了概率論的定義：假設一個整體共由N個事件組成，假如每一事件發生的相同程度是肯定的，情況E由n個事件組成，那么情況E發生的概率就是n/N。

概率論的知識從17世紀開始被研究到發展至今，已逐漸完善并逐步成熟。它在許多領域內被廣泛應用，如物理學、生物學、軍事技術、農業技術、醫學等。人們對概論的研究水平也不斷提高，為社會的進步打下了基礎。

二、概率論在高數中的運用

高等數學是一個難度較大的學科。如果只是一味地運用傳統思路答題做有些高難度的高等數學題目，就會造成答題過程繁瑣，最后得出正確答案的幾率也很小。這時如果能夠把概率論的知識運用到具體的解題中，就往往可以快速、準確地算出結果。下面就通過一些不同的數學題目探討分析概率論在高等數學中的應用，為學生答題提供答題思路。

1.利用概率分布簡化解題步驟

概率論的基礎知識是概率分布，在解題時利用概率分布的知識可以簡化解題過程，提高解題的效率。在具體答題時可以把0～1之間的數字作為事件發生的概率，利用概率分布得到最后的答案。同時，這種答題方法可以使題目變得簡單，提高了結果的正確率，也節省了學生的時間，使學生更能夠理解高等數學和概率論之間的聯系。

概率論的知識也可以用來求極限問題。例如，求極限。在答這道題時，先假設ξ符合λ=6的泊松分布，那么P（ξ=a）=e-6=1，最后根可以據級數收斂必要性的有關知識得出。這種答題方法同樣適用于一些難度較大的題目，同樣可以使用概率論的知識簡化答題步驟。

2.概率論在計算廣義積分和級數中的運用

在概率論知識中，數學期望和方差是隨機變量所特有的特征。在解高等數學題時，利用方差與數學期望的隨機變量的關系，可以計算高數中求廣義積分和求級數等類型的題目。

在高等數學中，求解級數類型的題目可能會遇到很多問題，因此在解決這類題目時，應該更加注重方差和數學期望的引入。只有這樣，才能使題目化繁為簡，得出正確結果。

所以很容易就得出該題的最終結果是45。

概率論范文5

1 數學與生活的辯證關系

1.1 在概率論課堂教學中讓數學問題生活化

生活中處處有概率，概率離不開現實生活，二者如影相隨。在現實生活中，各種圖表、數據充斥著我們的生活，需要我們去分析判斷然后做出合理的決策。某些經濟效益的問題，也需要我們去計算預測，比如：買彩票，抽獎等活動；某些事件最優化問題，比如：比賽得分計算等情況。著名的拉普拉斯說過“生活中最重要的問題，其中絕大多數在實質上只是概率問題。”[1]因此這就要求我們將枯燥的理論知識變化成與學生在實際生活中常見的問題。可以簡單理解為將一道推理復雜的概率計算題先降低難度，讓學生通過生產生活經驗初步感悟概率的算理，其次，將難度還原，讓學生用剛才的算理推導出最終的結果。總而言之，概率論課堂教學中要注意把數學問題轉化成與學生實際生活聯系密切的生活化事物。

1.2 在概率論課堂教學中讓生活問題數學化

生活問題的數學化是指由生活中具體事物中抽取出量的方面、屬性和關系，并形成相對獨立的數學對象。[2]在高等教育中的學生已經具備了對簡單的概率問題求解的能力，可是大部分是知其然而不知其所以然。

因此，在概率論教學過程中，要注意讓學生在實際生活的事物中抽離出我們要的數學信息，培養學生的發現問題，分析問題并解決問題的能力，更進一步讓學生感受到數學來源于生活，數學應用與生活的關系。

2.概率論教學“生活化”的意義及作用

實施概率論課程教學“生活化”有助于教師改變課堂教學單一的模式，煥發課堂教學的活力；有助于調動學生學習的積極性并培養和激發學生的學習興趣；有助于轉變教師的教育理念，創新課堂教學形式，培養教師的教育科研能力。

3.概率論教學生活化的關鍵

3.1 通過實驗性學習活動解決實際生活問題

針對如何將數學問題生活化，本文建議采用實驗性學習法。實驗性學習是指學生在教師的引導下，通過實驗性活動讓學生獲得知識經驗、感受理論知識與實踐驗證的聯系，進而優化學習方法。因此，在概率論教學過程中，教師要注意引導學生參與到實驗求知的具體活動中去，讓學生從動手操作中構建數學模型，通過實驗來把握事物的發展規律。從而獲得感知，感悟理論知識應用于實踐，而實踐是檢驗理論的唯一途徑。這樣才能讓學生學以致用，學有所成。例如在講授利用幾何概率求解圓周率的近似值。

例2：π的近似值怎樣用概率方法求解？

分析：π在圓的相關知識中引入，在講解這個看似無厘頭的問題時，我們可以聯想到用幾何概率的求解方法。而幾何概率又可以轉換成兩個物體的面積或體積比。由此，教師可以設計一個實驗，裁剪一個邊長為1米的正方形硬紙板，在紙板上畫一個直徑為一米的圓，如圖所示：

然后，將本班級學生分成十組，每組給足夠的瓜子仁，每小組任意將瓜子仁仍在硬紙板上，小組內人員分工，一個人扔，一個人記錄瓜子仁落在圓內的次數和總次數。實驗結束后，用瓜子仁落在圓內的次數除以扔的總次數就可以求得圓的面積。而由圖可知，圓的面積為

π= 。從而就可以算得π的近似值。

有人做出的實驗結果是總次數3000次，瓜子仁落在圓內的次數為2358次。其實，瓜子仁落在圓內的可能性（概率）是符合幾何概率型的。所以P（落在圓內）=圓的面積除以正方形的面積。因此，圓的面積=瓜子仁落在圓內的概率=瓜子仁落在圓內的次數和總次數的比值=0.786。所以π=4×0.786=3.144。

3.2 從生活情境中提煉概率問題

針對生活問題數學化，本文提出通過在生活情境中尋找概率問題，把問題情境與學生已有的知識經驗相結合，這不僅激發學生的學習興趣，讓學生對知識的求知欲增強，讓學生能夠自主探索學習，而且還能培養學生在生活中發現問題、解決問題的能力，發現具體事物與抽象事物之間的聯系，體驗數學生活的價值與意義，感悟生活與數學的辯證關系。總之，教師在概率教學中要做到生活化，就要充分利用現實生活中具有代表性的材料信息處理教材，整理教材，創設生活情境，提煉概率問題。如：

男女二人相約3點至4點去購物，約定在公交車站臺碰頭，二人約定先到者20分鐘即可離去，求兩人能遇見的概率是多少？【7】（p6-7）

分析：這其實是幾何概率中的約會問題，如上圖所示，假設以X軸、Y軸分別表示男生和女生到達公交車站臺時間，那么在3點到4點的任意時刻兩人出現的可能性均是相等的，所以正方形OMNQ就是兩人相遇的所有可能的結果，是實驗情況的總和。而題目說二人約定先到者20分鐘即可離去，那么兩人相遇的結果只能出現在上圖中的陰影部分中。

通過用生活中兩人約會的問題激發學生的學習興趣，用生活中可能遇見的實際問題作為題材引發學生的思考，激發學生的探索欲和求知欲，從而提高他們的學習興趣。再通過學生主動學習活動、教師引導講解的過程，讓學生充分感受到幾何概率與古典概率的異同，切身體會到幾何概率在求解某些較復雜的問題時的優越性。讓學生理解幾何概率的定理和算法之后，再次用一個生活中的問題鞏固對概念的掌握。

參考文獻：

[1] 何國權?數學教學“生活化” ?課程教育研究（新教師教學）?2013.21

[2] 中華人民共和國教育部.全日制義務教育數學課程標準（實驗稿）[M].北京：北京師范大學出版社，2001.1.

概率論范文6

關鍵詞： 數學高考 概率論題型 案例分析

概率論題在高考試題中是抽象性最強、難度很大的題型，下面我從2010年我國各省的高考試題中選出部分概率論題進行分析，以饗讀者。

1.第一類是選擇填空題中的考題，分值只是5分、4分，難度深淺不一。

案例1：甲從正方形的四個頂點中任意選擇兩個頂點連成直線，乙也從該正方形四個頂點中任意選擇兩個頂點連成直線，則所得的兩條直線相互垂直的概率是（?搖?搖）。（安徽卷第10題）

（A） （B） （C） （D）

解析：概率論題很多是與排列組合緊密相聯系的，主要是研究“事件”。此題的大前提事件就是“四個頂點選兩個連接成直線”，方法共有C=6種，甲乙各六種選法。所求概率事件是“甲乙各取一條相互垂直”，形成的組數有：一組鄰邊垂直，共8種選法；一組對角線垂直有2種選法，共10種。所以答案為：==，選C。

注：涉及立體幾何中直線的位置關系，要清楚正方形或其它幾何體的各對角線的位置關系，而且需全面。此題知識性和綜合性強。

案例2：一位國王的鑄幣大臣在每箱100枚的硬幣中各摻入了一枚劣質。國王懷疑大臣作弊，他用兩種方法來檢測。方法一：在10箱中各任意抽查一枚；方法二：在5箱中各任意抽查兩枚。國王用方法一、二能發現至少一枚劣幣的概率分別記為P和P，則：（?搖?搖）。（江西卷第11題）

（A）P=P（B）P

（C）P>P（D）以上三種情況都有可能

解析：本題的具體事件為“10箱中各取一枚，發現至少一枚劣幣”、“5箱中各取兩枚，發現至少一枚劣幣”。由于方法一和方法二都各取出了10枚幣，“至少一枚劣幣”意味著“1、2、3、4或5枚劣幣”；所以它們的解法最好用對立事件的方法，即“所取出的10枚幣中無劣幣”；所以1-p=（），1-p=（）；而>，>.則有：1-p>1-p，有：p

注：采用找對立事件的方法求解，讓學生明白“事件”的轉化，會起到相稱相托的影響，以方便解決問題。這類題在高考解答題中常考到，有利于學生的創新能力培養。

案例3：將5位自愿者分成3組，其中兩組各2人，另一組1人，分赴世博會的三個不同場館服務，不同的分配方案有?搖?搖?搖?搖種。（江西卷第14題）

解析：方法一：先把5位自愿者分成3組，共有=15種方法；然后把這三組分到三個不同場館，共有A=6種；答案為：15×6=90。

方法二：先是這5人中選1人出來，有C=5種；再是剩下的4人選兩人有C=6種；只要這1人的定了就算分到了世博會場館，就有3種順序，答案為：5×6×3=90。

案例4：某單位安排7位員工在10月1日至7日值班，每天安排1人，每人值班1天。若7位員工中的甲乙排在相鄰兩天，丙不排在10月1日，丁不排在10月7日。則不同的安排方案共有（?搖?搖）種。（重慶卷第9題）

（A）504種 （B）960種 （C）1008種 （D）1108種

解：這道題有多種解法，第一法：①首先把甲乙的第一個安排在25號，然后這兩個可互相交換，共有C×A=8種。②在甲乙分別安排在1、2號或6、7號時，共有4種，就有丙不可能在1號或丁不可能在7號了，此時先把丁或丙安排了，所受限制的即滿足，共有C種；最后把剩下的4人安排，共有A=24種。③在甲乙第一個安排在25號時，可先把丙安排在除1號、7號及中間甲乙占的兩天之外的三天之一有A種，再把丁安排在除7號及丙占位和甲乙占的兩天之外的三天之一有A種，最后把剩下的3人安排有A=6種。④或者把丙安排在7號，此時丁就滿足條件了，余下的4人安排有A=24種。所以答案為：C×A［AAA＋1×A］+4CA=4×2×［3×3×6+24］+4×4×24=1008種，選C。

第二種方法是求差法：首先甲乙第一個安排在16號，再交換，共有C×A=12種；剩下的人全排列，共有A=120種；下面得減去丙排在10月1日或丁排在10月7日的情況，①丙排在10月1日而丁不在10月7日的共有A×2×A+A×C×2×A×A=48+144=192種；②丙不在10月1日而丁在10月7日的共有192種；③丙排在10月1日丁在10月7日的共有A×2×A=48種。答案為:C×A×A-2×（A×2×A+A×C×2×A×A）-A×2×A=1440-384-48=1008種，選C。

注：排列組合類題是抽象性極大的題型。其解題方法一般有多種，如“分房問題，分堆與分給不同人的問題，插棒分組問題”等，在分類與分步中需精確找到各“小事件”的關系，進而確定計算中是用加法還是用乘除法。

2.第二類為解答題，分值一般為12分，有一定的難度，主要原因是學生不明白所求問題的“事件”是什么，或者知道“事件”而無從入手。

案例5：有編號為A，A，…，A的10個零件，測量其直徑（單位：cm），得到下面數據：

其中直徑在區間［1.48，1.52］內的零件為一等品。（天津卷第18題）

（1）從上述10個零件中，隨機抽取一個，求這個零件為一等品的概率；

（2）從一等品零件中，隨機抽取2個，求這2個零件直徑相等的概率。

解：（1）因為直徑在區間［1.48，1.52］內的零件為一等品，所以一等品的數量為6個，所取這一個零件為一等品的概率為：P===。

（2）由表中數據得一等品直徑有：1.51，1.49，1.49，1.51，1.49，1.51共6個，因為“從6個中隨機抽取2個”共有：C=15種，“兩個零件直徑相等”取法有：C+C=6種。

所以所求概率為：P===.

注：此題與統計學相聯系，容易入手，在求解概率時難度較小。明白“零件為一等品”就是“直徑在區間［1.48，1.52］內的零件”；更主要是培養學生的動手操作能力，建立起理論與實踐相結合的真理觀念；實際上人們在實踐中還會發現更多的規律。

案例6：如圖，由M到N的電路中有4個元件，分別標為T，T，T，T，電流能通過T，T，T的概率都是p，電流能通過T4的概率是0.9。電流能否通過各元件相互獨立。已知T，T，T中至少有一個能通過電流的概率為0.999。（全國卷第20題）

（1）求p；

（2）求電流能在M與N之間通過的概率。

解：（1）因為各元件相互獨立，A=“T，T，T中至少有一個能通過電流”，所以=“T，T，T中都沒能通過電流”，P（A）=0.999。

而T，T，T中每個沒能通過電流的概率為：1-p。

所以P（A）=1-P（），即：0.999=1-（1-p），所以p=0.9。

（2）第一法：因為B=“電流能在M與N之間通過”=“電流通過T或電流通過TT或電流通過TT”，所以P（B）=0.9+（1-0.9）×0.9+（1-0.9）×0.9=0.9891。

第二法：因為B=“電流能在M與N之間通過”，所以=“M與N之間沒有電流通過”，他包含下列兩類六種情況都沒有導通：“T，TT，T，T或”，“”（其中T表示第i個燈導通，表示未導通），所以P（）=［P（T）+P（TT）+P（T）+P（T）+P（）］×P（）=［（1-0.9）×0.9+0.9×（1-0.9）+（1-0.9）×0.9+（1-0.9）×0.9+（1-0.9）］×（1-0.9）=0.0109。

所以P（B）=1-P（）=1-0.0109=0.9891。

注：這是與物理中電學相關的概率類題，概率能解決人類的活動、自然知識和社會知識相關聯的事件發生程度；讓讀者明白事件的可行性量度。此題第二問采用宏觀或微觀上分析“電流能在M與N之間通過”事件，通過分類分步、事件的互斥與獨立性理論解析之。讓讀者一目了然、心悅誠服。