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線性代數(shù)范文1
1、E一般是指單位矩陣。單位矩陣：對(duì)角線都為1,其它元素都是0的方陣。它的性質(zhì)就是左乘右乘任何別的矩陣都等于原本想乘的矩陣。
2、線性代數(shù)是數(shù)學(xué)的一個(gè)分支，它的研究對(duì)象是向量，向量空間（或稱線性空間），線性變換和有限維的線性方程組。向量空間是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的一個(gè)重要課題；因而，線性代數(shù)被廣泛地應(yīng)用于抽象代數(shù)和泛函分析中；通過解析幾何，線性代數(shù)得以被具體表示。線性代數(shù)的理論已被泛化為算子理論。由于科學(xué)研究中的非線性模型通?？梢员唤茷榫€性模型，使得線性代數(shù)被廣泛地應(yīng)用于自然科學(xué)和社會(huì)科學(xué)中。
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線性代數(shù)范文2
[關(guān)鍵詞]線性代數(shù)；課堂教學(xué)；方法
【中圖分類號(hào)]G642
資助項(xiàng)目：浙江大學(xué)2013年度本科教學(xué)方法改革研究項(xiàng)目（No.Q7）和浙江省教育廳2012年度科研計(jì)劃項(xiàng)目（No.Y201224566）。
一. 浙江大學(xué)線性代數(shù)現(xiàn)狀
大學(xué)基礎(chǔ)數(shù)學(xué)課程（主要指微積分、線性代數(shù)、概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)），是重要的大學(xué)基礎(chǔ)課之一。基礎(chǔ)知識(shí)的學(xué)習(xí)可以受用終身。如果沒有打下良好的基礎(chǔ)，學(xué)生很難真正理解高深的應(yīng)用技術(shù)。這是因?yàn)閿?shù)學(xué)的理論與方法已被廣泛應(yīng)用于自然科學(xué)、工程技術(shù)及工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)的各個(gè)領(lǐng)域，數(shù)學(xué)技術(shù)已成為高技術(shù)的突出標(biāo)志和重要組成部分，數(shù)學(xué)的影響和作用已深入到各個(gè)行業(yè)，可以說(shuō)是無(wú)處不在。
線性代數(shù)是讓學(xué)生通過抽象性、邏輯性、應(yīng)用性的必要訓(xùn)練，逐步形成運(yùn)用線性代數(shù)的原理和方法解決實(shí)際問題的思維模式和思維習(xí)慣，提供進(jìn)一步學(xué)習(xí)所必備的代數(shù)知識(shí).公理化演繹的思想（如：線性空間等各類代數(shù)系統(tǒng)），分類的思想（如：矩陣的相似等等各種等價(jià)關(guān)系），相互關(guān)聯(lián)的思想（如：同態(tài)等各種形式的映射），矩陣的方法，初等變換的方法，抽象推理的方法…等等，是以后進(jìn)一步學(xué)習(xí)和研究的基本思想。
浙江大學(xué)在四校合并以后，經(jīng)過多年的調(diào)整，承擔(dān)課程教學(xué)的主要隊(duì)伍已經(jīng)穩(wěn)定。在相對(duì)穩(wěn)定的11人教學(xué)隊(duì)伍中有教授4名，副教授6名。獲博士學(xué)位的有8位，承擔(dān)課程的老師均為中青年教師，教學(xué)效果良好?，F(xiàn)有的教學(xué)隊(duì)伍基本上能夠以科研來(lái)帶動(dòng)教學(xué)的改革，把課程的前沿知識(shí)、研究現(xiàn)狀和發(fā)展趨勢(shì)，及時(shí)貫徹到教學(xué)過程中，常講常新。這為新的課程建設(shè)和課堂教學(xué)改革的開展提供了良好的隊(duì)伍基礎(chǔ)。
在每學(xué)期開學(xué)之時(shí)，我們按時(shí)確定學(xué)期的教學(xué)內(nèi)容安排，制定教學(xué)日歷，并
按照規(guī)定把教學(xué)資料上傳網(wǎng)絡(luò)。教學(xué)期間，嚴(yán)格按照制定的教學(xué)安排實(shí)施教學(xué)，每周安排兩位教師答疑；期中時(shí)舉行教學(xué)研討會(huì)交流經(jīng)驗(yàn)，開展為青年教師的集體備課等活動(dòng)；期末時(shí)，集體討論評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)，集體改卷。這些規(guī)范化的管理，為我們實(shí)施課程教學(xué)改革提供了良好的保證。線性代數(shù)是浙江大學(xué)的校精品課程，得到學(xué)校的大力支持。目前，浙江大學(xué)的線性代數(shù)正著手推進(jìn)省精品課程，在推進(jìn)過程中，我們不斷銳意改革，總結(jié)了一套很好的課堂教學(xué)方法。
針對(duì)浙江大學(xué)理學(xué)院大類招生制度的建立，由于培養(yǎng)模式的改變，為了使教學(xué)內(nèi)容更大范圍覆蓋學(xué)生類別，我們編寫了適合大類招生需求的《高等代數(shù)》 教材，增加小字部分的內(nèi)容提高難度，以適應(yīng)對(duì)數(shù)學(xué)有較高要求的學(xué)生。原先教師都采用陳維新編的線性代數(shù)教材。由于新教材的采用，如何適應(yīng)新教材的教學(xué)，特別是組織課堂教學(xué)，成為一個(gè)重要的課題。
二.課堂教學(xué)改革
1.傳統(tǒng)教學(xué)手段與現(xiàn)代教學(xué)手段靈活運(yùn)用
傳統(tǒng)的教學(xué)一般采用前蘇聯(lián)教育家凱洛夫的“五段式教學(xué)”，即組織教學(xué)、檢查舊課、講授新課、鞏固新課和布置作業(yè)。由于數(shù)學(xué)學(xué)科的特點(diǎn)，傳統(tǒng)的利用黑板板書的教學(xué)模式，在線性代數(shù)教學(xué)中有著現(xiàn)代教育技術(shù)所不具備的優(yōu)勢(shì)。線性代數(shù)涉及很多數(shù)學(xué)符號(hào)和復(fù)雜的計(jì)算，所以現(xiàn)代教育技術(shù)有著克服不了的困難。
在教學(xué)過程中，我們采用由單純的PPT課件的教學(xué)以及單純的板書教學(xué)，過渡到把兩種授課方式結(jié)合在一起的教學(xué)模式中，并積累了一定的經(jīng)驗(yàn)取得了良好的教學(xué)效果，提高授課的質(zhì)量。
2.強(qiáng)調(diào)把建模思想融入線性代數(shù)教學(xué)
以線性方程組為主線，矩陣為工具，介紹線性代數(shù)的基本知識(shí)、基本理論和
線性規(guī)劃模型以及整數(shù)規(guī)劃模型，突出學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)方法和現(xiàn)代化計(jì)算工具解決
各種實(shí)際問題的能力培養(yǎng)，注重于建立模型方法的介紹和實(shí)際應(yīng)用。例如教師
在教學(xué)過程中可以介紹一些網(wǎng)絡(luò)流模型。網(wǎng)絡(luò)流模型廣泛應(yīng)用于交通、運(yùn)輸、
通訊、電力分配、城市規(guī)劃、任務(wù)分派以及計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)等眾多領(lǐng)域。通過
這些模型的介紹，可以激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，以模型帶動(dòng)理論教學(xué)有意想不到的
效果。浙江大學(xué)在這方面有過成功經(jīng)驗(yàn)，并且在期末考題融入建模試題。
3.從實(shí)際出發(fā)，注重概念與定理的直觀描述和實(shí)際背景，再講邏輯推理。
本課程是理論型的課程，沒有實(shí)驗(yàn)部分。我們提出在數(shù)學(xué)教學(xué)中要返璞歸真，從源頭講起，講清楚問題產(chǎn)生和發(fā)展的過程，講明道理，再講推理，然后再抽象化和形式化.通過習(xí)題的練習(xí)，使學(xué)生掌握、熟悉基本內(nèi)容和基本技巧，以附錄的形式在學(xué)習(xí)到相關(guān)章節(jié)的時(shí)候，向?qū)W生提供具有實(shí)際意義的背景資料，拓寬學(xué)生的知識(shí)面，這在以前的教學(xué)活動(dòng)中并不常見。由于教學(xué)課時(shí)的限制，這部分背景資料的學(xué)習(xí)，并不占用課堂時(shí)間。
在教學(xué)內(nèi)容上，在保留我國(guó)傳統(tǒng)的重歸納、演繹、推理的基礎(chǔ)上，更注重分析、綜合的思想。對(duì)一些重要的概念的引入，注重概念實(shí)際背景的分析與教學(xué)。許多定理的結(jié)論與條件用發(fā)現(xiàn)探索的方式引出并用分析、綜合的方法給予證明，激發(fā)學(xué)生的探索精神并對(duì)定理深入理解。
4.基于問題的探究式教學(xué)
根據(jù)不同情況學(xué)生的不同特點(diǎn)，參照在教學(xué)過程中積累的經(jīng)驗(yàn)，教師在課堂有
導(dǎo)向性向各個(gè)由學(xué)生組成的小組提出一些問題，要求學(xué)生理解并作適當(dāng)?shù)幕卮稹?duì)于學(xué)生而言，他們需要在小組中討論這些問題，并對(duì)這些問題的定義，性質(zhì)以及如何應(yīng)用等等做出解釋。在問題的構(gòu)思上必須精心設(shè)計(jì)，做到既要使學(xué)生以現(xiàn)有的知識(shí)水平無(wú)法輕易回答問題，又對(duì)課堂教學(xué)有實(shí)際意義。這樣，在小組討論中，學(xué)生容易會(huì)對(duì)討論的主題抱有種種疑惑。而為了解決這些疑惑，學(xué)生就要通過各種渠道進(jìn)行自主學(xué)習(xí)，從而最終得到問題的答案。
5.開通微博微信答疑：
利用學(xué)校提供的先進(jìn)的技術(shù)教學(xué)平臺(tái)，助教把批改作業(yè)時(shí)發(fā)現(xiàn)的典型錯(cuò)誤公布
在網(wǎng)上，學(xué)生思考，找出錯(cuò)誤原因。學(xué)生有問題可以在網(wǎng)絡(luò)課程中的問題集錦里，由教師、助教，也可以是學(xué)生來(lái)回答，共同討論。教師、助教在網(wǎng)絡(luò)虛擬課堂與學(xué)生進(jìn)行交流，使學(xué)生對(duì)教學(xué)內(nèi)容有了深刻理解，提高了學(xué)習(xí)質(zhì)量。課堂上，講重點(diǎn)，講知識(shí)的背景與形成過程，揭示知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系，充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性、主動(dòng)性；自學(xué)是指有些教材內(nèi)容則采用學(xué)生自學(xué)為主，教師給出思考題，課后下班輔導(dǎo)及答疑.去年開始，開通我們開通微博微信答疑，筆者可以通過移動(dòng)網(wǎng)絡(luò)隨時(shí)與學(xué)生互動(dòng)答疑，效果非常好。
三.課堂教學(xué)改革的亮點(diǎn)
強(qiáng)調(diào)團(tuán)隊(duì)合作精神，提倡自主學(xué)習(xí)，互相討論、團(tuán)隊(duì)討論、問題發(fā)現(xiàn)、師生探討法。將數(shù)學(xué)建模思想和方法融入到線性代數(shù)的教學(xué)，將數(shù)學(xué)建模教學(xué)中的教學(xué)理念、教學(xué)內(nèi)容、模塊化教學(xué)、案例教學(xué)等方法引入線性代數(shù)教學(xué)，推進(jìn)線性代數(shù)教學(xué)改革。首次提出開通微博微信答疑，學(xué)生有問題老師可以通過網(wǎng)絡(luò)、手機(jī)等及時(shí)解答學(xué)生問題。
參考文獻(xiàn)：
線性代數(shù)范文3
針對(duì)線性代數(shù)課程課時(shí)比較緊張的現(xiàn)狀,同時(shí)結(jié)合學(xué)生對(duì)知識(shí)的接受規(guī)律,對(duì)一些章節(jié)的講授做了適當(dāng)調(diào)整。首先,對(duì)于相對(duì)比較抽象而冗長(zhǎng)的證明,主要布置給學(xué)生作為課后作業(yè)進(jìn)行閱讀和理解,讓學(xué)生主要以了解證明思路為主,例如代數(shù)基本定理的證明,矩陣的行秩與列秩相等等問題和定理的證明。其次,教材中所有帶*號(hào)的內(nèi)容都不在課堂上講授,把那些相對(duì)重要的內(nèi)容作為學(xué)生的課后讀物,例如最小多項(xiàng)式以及λ―矩陣相關(guān)內(nèi)容。同時(shí),把第四章等的內(nèi)容進(jìn)行調(diào)整,把初等矩陣的知識(shí)放在分塊矩陣的前面,主要是希望學(xué)生能通過初等矩陣的學(xué)習(xí),了解矩陣的行或列的整體性,從而幫助學(xué)生理解分塊矩陣。
2 充分挖掘和利用知識(shí)點(diǎn)的關(guān)聯(lián)
線性代數(shù)知識(shí)以線性代數(shù)理論為重點(diǎn),而在線性代數(shù)中,矩陣?yán)碚撌呛诵?所以以矩陣?yán)碚摓橹骶€,線性代數(shù)各知識(shí)點(diǎn)之間有著密切的關(guān)聯(lián)。如何利用這些知識(shí)點(diǎn)的關(guān)聯(lián)幫助學(xué)生理解線性代數(shù)的知識(shí)結(jié)構(gòu)是線性代數(shù)教學(xué)的關(guān)鍵,在實(shí)際教學(xué)中,可以抓住以下幾個(gè)關(guān)系:
2.1 向量理論與矩陣?yán)碚摰年P(guān)聯(lián)
向量可以看作只有一行或者只有一列的矩陣,同時(shí)矩陣的行或者列都分別可以看作行向量或者列向量,于是矩陣就可以看作一個(gè)行向量組或者列向量組;反過來(lái),一個(gè)向量組又可以“拼湊”成一個(gè)矩陣。抓住這樣的關(guān)系,向量與矩陣的知識(shí)就可以相互關(guān)聯(lián),例如:
例1:求向量組α=(1,0,0,a),α=(0,1,0,b),α=(0,0,1,c)的秩,其中a,b,c為任意常數(shù)。
2.2 矩陣?yán)碚撆c線性方程組理論的關(guān)聯(lián)
矩陣?yán)碚撆c線性方程組理論的關(guān)聯(lián)是很明顯的,比如與線性方程組密切相關(guān)的系數(shù)矩陣和增廣矩陣,可以通過系數(shù)矩陣和增廣矩陣的秩的關(guān)系判斷線性方程組的解的情況,但利用方程組的理論解決矩陣問題卻經(jīng)常被忽視,比如下面的問題:
例2:若AB=0,證明:r(A)+r(B)≤n,其中r(A)表示矩陣A的秩。
證明思路:首先對(duì)矩陣B進(jìn)行分塊得到(β,β,…,β),可得:
從而Aβ=Aβ=…=Aβ=0,這樣矩陣B的每一個(gè)列向量都是齊次線性方程組AX=0的解,由齊次線性方程組的相關(guān)理論容易證明r(A)+r(B)≤n。
2.3 其它知識(shí)點(diǎn)的關(guān)聯(lián)
線性代數(shù)中其它知識(shí)點(diǎn)的關(guān)聯(lián)還有很多,比如:(1)矩陣?yán)碚撆c線性變換理論的關(guān)聯(lián),因?yàn)槿魏我粋€(gè)線性變換在一組基下都有一個(gè)矩陣和它對(duì)應(yīng),同時(shí)線性變換的運(yùn)算和矩陣運(yùn)算有對(duì)應(yīng)關(guān)系;(2)多項(xiàng)式理論與矩陣?yán)碚摰年P(guān)聯(lián),一個(gè)矩陣是否可對(duì)角化與它的最小多項(xiàng)式是否有重根有關(guān)系;(3)歐氏空間理論與對(duì)稱矩陣?yán)碚摰年P(guān)聯(lián),等等。
3 通過思考題調(diào)動(dòng)學(xué)生的思維積極性
數(shù)學(xué)的理論是抽象的,不容易引起學(xué)生的思維興趣,要想達(dá)到一個(gè)良好的教學(xué)互動(dòng)和教學(xué)效果,通常有兩種做法:第一,介紹知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用;第二,應(yīng)用大量的思考題。下面就通過幾個(gè)例子介紹線性代數(shù)課程中的思考題的設(shè)立。
在線性代數(shù)的學(xué)習(xí)中,學(xué)生對(duì)很多知識(shí)點(diǎn)的理解經(jīng)常是片面的,這時(shí)候如果能夠適當(dāng)?shù)靥岢鲆恍┧伎碱},同時(shí)糾正學(xué)生的錯(cuò)誤回答,可以幫助學(xué)生更全面地理解知識(shí)。
(1)思考題1:f(x),g(x),u(x),v(x)∈P[x],且d(x)=u(x)f(x)+v(x)g(x),那么d(x)是否為f(x),g(x)的最大公因式?
分析:這個(gè)問題是在學(xué)習(xí)完第一章第4節(jié)最大公因式的知識(shí)之后提出的,最初看到這個(gè)問題的時(shí)候,很多學(xué)生會(huì)認(rèn)為答案為“是”,原因是學(xué)生知道f(x),g(x)的最大公因式d(x)都有表達(dá)式d(x)=u(x)f(x)+v(x)g(x)。教師最后給出否定的回答,并給出反例,讓學(xué)生了解不是所有問題的逆命題都是正確的。
(2)思考題2:f(x,x,x)=(x,x,x)123132133xxx是否為二次型?
分析:這個(gè)問題是學(xué)習(xí)完二次型提出的,當(dāng)最初接觸二次型的知識(shí)的時(shí)候,學(xué)生經(jīng)常對(duì)這個(gè)問題猶豫不決,主要原因是學(xué)生了解二次型的矩陣是對(duì)稱矩陣,但是這個(gè)式子中間的矩陣不是對(duì)稱矩陣,那這個(gè)不是一個(gè)二次型?如果我們回到二次型的定義,只要是一個(gè)二次齊次多項(xiàng)式,就是一個(gè)二次型。所以這個(gè)思考題的回答是肯定的,而且這個(gè)二次型的矩陣為13/223/235/225/23。最終通過這個(gè)思考題讓學(xué)生真正了解二次型的本質(zhì)結(jié)構(gòu)就是二次齊次多項(xiàng)式。
思考題還可以幫助調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性,幫助學(xué)生加強(qiáng)對(duì)知識(shí)的理解,更重要的是幫助學(xué)生發(fā)現(xiàn)新的問題,思考新的問題。
線性代數(shù)范文4
【關(guān)鍵詞】新型考試、行列式、矩陣、創(chuàng)新教學(xué)
Abstract：In order to better meet the state education commission puts forward on the teaching of linear algebra， complete the teaching task and achieve the teaching goal， this article in view of the problems arising from the traditional teaching in linear algebra and the shortcomings， discuss how to improve the teaching of linear algebra， from the national support policy， teachers teaching， classroom communication teaching three aspects put forward relevant improvement suggestions.
Key words：New exams， determinant， matrix，innovative teaching
引 言
在工程技術(shù)和自然科學(xué)的各個(gè)領(lǐng)域中都涉及到線性代數(shù)的相關(guān)知識(shí)，線性代數(shù)的思想、理論及其解決問題的方法有著廣泛的應(yīng)用，因而線性代數(shù)在教學(xué)中顯得尤為重要。如對(duì)于電子信息工程這一專業(yè)，存在著傳統(tǒng)的線性代數(shù)教學(xué)與專業(yè)課脫節(jié)的問題，本文將以此為例，談?wù)勅绾胃倪M(jìn)線性代數(shù)教學(xué)的意見。
1 國(guó)家扶持政策
線性代數(shù)有著重要的社會(huì)地位和作用，在某些院校線性代數(shù)教學(xué)并未得到應(yīng)有的重視。我國(guó)所有高等院校的理工科專業(yè)和相關(guān)文史類專業(yè)都應(yīng)該開設(shè)本課程，并將其設(shè)為必修考試課程。從學(xué)生的心理上講，對(duì)考試課和考查課在態(tài)度及時(shí)間規(guī)劃上是不同的，所以學(xué)校必須首先重視起來(lái)。國(guó)家教委、工科數(shù)學(xué)課程教學(xué)指導(dǎo)委員會(huì)應(yīng)做出相應(yīng)部署，加大線性代數(shù)教學(xué)改革力度，聯(lián)合地方教委、省教育廳、市教育局監(jiān)督全國(guó)各大高等院校，充分實(shí)現(xiàn)線性代數(shù)課程教學(xué)改進(jìn)，全面提高我國(guó)線性代數(shù)的教育水平。
2 教師教學(xué)方面
根據(jù)國(guó)家教委制訂的線性代數(shù)課程教學(xué)基本要求，教師在教學(xué)中要培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維，及學(xué)習(xí)的主觀能動(dòng)性。
2.1 線性代數(shù)課程基本教學(xué)
要根據(jù)本校學(xué)生的具體情況，結(jié)合各自的辦學(xué)理念，考慮地域性差異，選用或自主編寫最為合適的教材及同步練習(xí)冊(cè)。另外，要調(diào)動(dòng)全體師生的積極性，在傳統(tǒng)的線性代數(shù)教學(xué)基礎(chǔ)之上創(chuàng)新教學(xué)?？v觀當(dāng)今的社會(huì)現(xiàn)狀，一些二本院校，尤其是三本或?qū)？茖W(xué)校的教師并沒有嚴(yán)謹(jǐn)?shù)慕虒W(xué)態(tài)度，其教學(xué)效果不言而知。對(duì)此，建議學(xué)校應(yīng)該對(duì)線性代數(shù)課程建立相關(guān)教學(xué)制度及獎(jiǎng)懲機(jī)制，以規(guī)范課程教學(xué)，如專業(yè)統(tǒng)考制度、教師輔導(dǎo)答疑制度、批改作業(yè)制度，對(duì)表現(xiàn)優(yōu)秀的師生予以表彰獎(jiǎng)勵(lì)，同時(shí)對(duì)表現(xiàn)較差者進(jìn)行思想教育，開大會(huì)批評(píng)，情節(jié)嚴(yán)重者予以罰款，更有甚者直接開除。
2.2 線性代數(shù)教學(xué)的內(nèi)容與方式
教師教學(xué)要深入淺出，給教學(xué)以準(zhǔn)確定位，把線性代數(shù)與初等數(shù)學(xué)聯(lián)系起來(lái)，讓學(xué)生更好地理解、掌握并應(yīng)用相關(guān)知識(shí)。如：將矩陣與數(shù)列，行列式與因式分解和證明條件不等式等典型例題結(jié)合在一起，讓學(xué)生在解題過程中逐步了解矩陣和行列式的相關(guān)性質(zhì)及定理，掌握二、三階行列式的計(jì)算方法等。在此基礎(chǔ)上，教師再講解矩陣的線性運(yùn)算，矩陣存在的條件與矩陣求逆的方法，矩陣的初等變換，矩陣的秩的概念及求法，滿秩矩陣定義及其性質(zhì)，分塊矩陣及其運(yùn)算n階行列式的計(jì)算方法，使教學(xué)過程事半功倍。
在課堂上教師要注重激發(fā)學(xué)生的參與意識(shí)，設(shè)置相關(guān)情景，吸引學(xué)生集中精力，產(chǎn)生學(xué)習(xí)興趣；在教學(xué)時(shí)鼓勵(lì)學(xué)生提出問題，以促進(jìn)其思維發(fā)展。此外，教師要注意教學(xué)內(nèi)容與學(xué)生專業(yè)知識(shí)的密切聯(lián)系，避免二者嚴(yán)重脫節(jié)。一般而言，所學(xué)專業(yè)都是學(xué)生興趣所在，聯(lián)系二者自然就能夠激發(fā)學(xué)生的興趣，對(duì)此教師應(yīng)努力引導(dǎo)學(xué)生。如：對(duì)于電子信息工程專業(yè)在向量空間基的知識(shí)相關(guān)應(yīng)用較多，分析電路求解KVL和KCL的相關(guān)線性方程組，分析信號(hào)與系統(tǒng)的問題時(shí)用矩陣處理某些問題等，在教學(xué)時(shí)教師應(yīng)重點(diǎn)講解此類相關(guān)知識(shí)點(diǎn)。
注意提高做作業(yè)的有效性，作業(yè)在精不在多，注重培養(yǎng)學(xué)生舉一反三的能力，少講多練，有些題型求解規(guī)律由學(xué)生自己悟出來(lái)會(huì)比老師講授效果更好。務(wù)必切實(shí)發(fā)揮考試的檢測(cè)、導(dǎo)向和激勵(lì)作用，不能讓考試泛濫成災(zāi)，使學(xué)生疲于應(yīng)付，難見成效。
2.3 線性代數(shù)教學(xué)的創(chuàng)新型綜合改革
在教學(xué)中，充分利用多媒體的優(yōu)勢(shì)，運(yùn)用現(xiàn)代化，信息化、立體化的教學(xué)思想，以教師教學(xué)為輔，以學(xué)生自學(xué)為主，為學(xué)生提供更廣闊的學(xué)習(xí)空間。同時(shí)學(xué)?；A(chǔ)課數(shù)學(xué)教研組要進(jìn)一步加強(qiáng)隊(duì)伍建設(shè)，注重培養(yǎng)年輕教師，努力提高青年教師的學(xué)術(shù)水平及教學(xué)水平，不斷進(jìn)行線性代數(shù)課程中教學(xué)內(nèi)容、方法及手段的改革和創(chuàng)新。
3 注重與學(xué)生的課堂交流
俗話說(shuō)：“師父領(lǐng)進(jìn)門修行在個(gè)人?！闭n堂教學(xué)是需要師生共同努力完成的，所以在課堂上學(xué)生必須要配合老師，教師的教學(xué)任務(wù)才能完成，并達(dá)到相應(yīng)的教學(xué)效果，否則無(wú)論怎樣進(jìn)行課改也可能是徒勞。
在日常教學(xué)中，要重點(diǎn)做到教與學(xué)的配合。要求學(xué)生對(duì)問題認(rèn)真思考，并進(jìn)行有效有力地監(jiān)督。大多數(shù)學(xué)生自主學(xué)習(xí)能力很差，沒有老師的督促，能逃則逃，能避則避，所以教師要采用適當(dāng)?shù)姆椒▉?lái)督促學(xué)生，如：拋開師生關(guān)系的束縛，和學(xué)生做朋友，在閑暇時(shí)與學(xué)生促膝長(zhǎng)談，慢慢滲透，潛移默化地從思想上影響并改變學(xué)生的一些錯(cuò)誤看法。
采取獎(jiǎng)勵(lì)制度。從心理學(xué)上講，每一個(gè)人都渴望得到他人的認(rèn)可與肯定，而獲得榮譽(yù)更能激發(fā)人的斗志和興趣。如：學(xué)生最關(guān)心的考試，日常表現(xiàn)極為優(yōu)異者可予以免試，但是不會(huì)有太多名額；其余的同學(xué)依照平時(shí)表現(xiàn)：出勤率、作業(yè)狀況、期末成績(jī)等情況綜合評(píng)定。
結(jié)束語(yǔ)
線性代數(shù)的教學(xué)改革是一項(xiàng)任重而道遠(yuǎn)的艱巨任務(wù)，需要每一位教師的努力，尤其是青年教師更要肩負(fù)起這項(xiàng)大任，將國(guó)家教委修訂的最新教學(xué)要求及最新考研大綱同本科院校不同專業(yè)的特點(diǎn)結(jié)合在一起，為培養(yǎng)祖國(guó)需要的人才奠定雄厚的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，打下堅(jiān)實(shí)的根基。同時(shí)，教師掌握線性代數(shù)課程的精髓，做到知識(shí)點(diǎn)的融會(huì)貫通，才能將其更好的運(yùn)用于教學(xué)工作中。
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線性代數(shù)范文5
[關(guān)鍵詞] 線性代數(shù) 抽象思維 線性相關(guān)性
一般的工科《線性代數(shù)》課程主要包括線性方程組、行列式、矩陣、向量、特征值與特征向量、向量空間與線性變換、二次型等幾部分內(nèi)容[1]。在教材中各部分內(nèi)容均可獨(dú)立成章。從而造成線性代數(shù)教材可以用不同的方式去組合各個(gè)專題展開課程的內(nèi)容。因此學(xué)生很難自發(fā)深刻地體會(huì)到彼此之間的聯(lián)系。此外，線性代數(shù)課程所具有的高度抽象性也常常使學(xué)生望而生畏。針對(duì)這些情況，已有不少作者發(fā)表了關(guān)于怎樣學(xué)好線性代數(shù)的一些文章，可參考文獻(xiàn)[2-5]。
在長(zhǎng)期的教學(xué)實(shí)踐當(dāng)中，本文作者發(fā)現(xiàn)在對(duì)書本知識(shí)經(jīng)過一番必要的解釋之后，再?gòu)慕滩牡睦碚摻Y(jié)構(gòu)這一大處著手，半句妙語(yǔ)，提綱挈領(lǐng)，往往勝于千言。因此，針對(duì)線性代數(shù)課程抽象枯燥的特點(diǎn)，提出了強(qiáng)調(diào)教材結(jié)構(gòu)體系的方法。從而將線性代數(shù)各部分有機(jī)地聯(lián)系到一起，以使學(xué)生對(duì)線性代數(shù)課程有一個(gè)整體全面的把握。
尋找線性代數(shù)的理論結(jié)構(gòu)，需要注重局部和全局的關(guān)系。線性代數(shù)是一門高度抽象的課程，如能從高處以更廣的視野對(duì)教材的內(nèi)容進(jìn)行審視，或?qū)?nèi)容進(jìn)行一種全局性、宏觀性的概括，就可使學(xué)生的學(xué)習(xí)有明確的目標(biāo)意識(shí)，而紛繁多頭的知識(shí)點(diǎn)也就會(huì)呈現(xiàn)出清晰的主干脈絡(luò)和條理性，達(dá)到事半功倍的效果。線性代數(shù)具有很多種理論層次結(jié)構(gòu)。本文試圖從如下幾個(gè)方面來(lái)理解線性代數(shù)的理論結(jié)構(gòu)。
一、線性代數(shù)的理論基礎(chǔ)來(lái)源于解線性方程組
最初的線性方程組問題大都來(lái)源于生活實(shí)踐，正是實(shí)際問題刺激了線性代數(shù)這一學(xué)科的誕生與發(fā)展。展開知識(shí)的發(fā)展過程就是這個(gè)問題的解決過程。所有枯燥的理論都是從這里生長(zhǎng)的。在學(xué)生明確了學(xué)習(xí)的目的之后，很自然的就可以回憶起高中解二元一次線性方程組的方法――消元法。那么在大學(xué)里，我們將要解決的是所有含有有限個(gè)未知量的線性方程組。熟話說(shuō)：工欲善其事，必先利其“器”！而行列式和矩陣正是我們研究線性方程組的兩個(gè)“器”。首先，為了求解方程的個(gè)數(shù)與未知數(shù)個(gè)數(shù)相等時(shí)的線性方程組，引入了行列式的概念，進(jìn)而討論其性質(zhì)，利用他們得到了解這類線性方程組的優(yōu)美的克萊姆定理。其次，對(duì)于方程的個(gè)數(shù)與未知數(shù)個(gè)數(shù)不相等時(shí)的線性方程組，引入了矩陣這一工具。而前者可以統(tǒng)一到后者之中。學(xué)生在明白了這一簡(jiǎn)單的理論架構(gòu)以后就知道自己為什么要學(xué)習(xí)行列式和矩陣了。參看下面的圖1。
圖1表明了求解線性方程組時(shí)所用到的兩種工具。
二、線性代數(shù)的重要內(nèi)容――矩陣
矩陣或者說(shuō)增廣矩陣就是把一個(gè)線性方程組最重要的信息提煉出來(lái)。這是學(xué)生在線性代數(shù)的學(xué)習(xí)中將要遇到的第一次抽象。這一問題的轉(zhuǎn)化過程是通過一一對(duì)應(yīng)實(shí)現(xiàn)的。因此矩陣來(lái)源于線性方程組。但是矩陣作為線性代數(shù)中一個(gè)嶄新的概念，隨著矩陣?yán)碚撟陨淼陌l(fā)展，它又是高于線性方程組的。這句話不是很好理解，打一個(gè)譬如。如果我們把線性方程組看作“道”，矩陣是另外的“道”。那么矩陣這個(gè)“道”是可以用線性方程組這個(gè)“道”來(lái)描述的，但又不僅僅是線性方程組這個(gè)“道”的平常意義所能包涵得了的。很熟？對(duì)！就是“道可道，非常道”那句話。事實(shí)上，我們的線性方程組這個(gè)“道”也是來(lái)源于現(xiàn)實(shí)生活中更具體的“道”------“道”法自然。而矩陣那個(gè)“道”也可以用諸如向量組，向量空間等更高級(jí)的“道”來(lái)抽象。像這樣一種不斷的用“道可道，非常道”抽象上去的理論結(jié)構(gòu)的強(qiáng)調(diào)對(duì)學(xué)生抽象思維能力的培養(yǎng)是很有好處的。參看下面的圖2。
圖2揭示了線性代數(shù)課程的某一種理論層次結(jié)構(gòu)：表明了從線性方程組到子空間或極大線性無(wú)關(guān)組的不斷發(fā)展抽象的過程。
三、矩陣――廣義的數(shù)
矩陣的定義是一個(gè)數(shù)表，但是也可以理解為數(shù)的概念的一種推廣。因?yàn)榫仃囈捕x了加減乘等運(yùn)算，對(duì)于可逆矩陣還有求逆的運(yùn)算。特別地，對(duì)于一行一列的矩陣來(lái)說(shuō)就是我們通常意義的實(shí)數(shù)或復(fù)數(shù)。所以，用這個(gè)思路來(lái)理解矩陣這個(gè)概念就會(huì)覺得很自然。另外要注意的一點(diǎn)就是矩陣做為一種新的廣義的數(shù)，當(dāng)然具有一些自己獨(dú)特的性質(zhì)。如矩陣乘法的交換律，消去律等等已經(jīng)不再恒成立。這些正是學(xué)生需要加以學(xué)習(xí)和辨認(rèn)的。當(dāng)學(xué)生對(duì)數(shù)的概念放寬以后，就可以繼續(xù)說(shuō)線性變換甚至更廣的函數(shù)都是數(shù)的概念的推廣。從而形成對(duì)數(shù)的認(rèn)識(shí)發(fā)展的理論結(jié)構(gòu)?；蛘哒f(shuō)另外的一種“道可道，非常道”抽象上去的理論結(jié)構(gòu)。參看下面的圖3。
圖3表明人類對(duì)數(shù)一種認(rèn)識(shí)的過程。
四、矩陣的核心――矩陣的秩
矩陣的秩是一個(gè)較難消化的概念，但又是一個(gè)非常重要的概念。對(duì)矩陣的秩的理解直接影響到對(duì)整個(gè)教材的理解。在學(xué)生通過學(xué)習(xí)由K階子式所導(dǎo)出的矩陣的秩的定義之后，把求矩陣的秩轉(zhuǎn)化為求階梯形矩陣非零行的行數(shù)顯得很重要。對(duì)于一個(gè)具體的線性方程組來(lái)說(shuō)，其所對(duì)應(yīng)的增廣矩陣的秩就是方程組中“有用”的方程的個(gè)數(shù)。也就是說(shuō)，其增廣矩陣對(duì)應(yīng)的階梯形矩陣中的零行所對(duì)應(yīng)的方程組中的線性方程的存在與否對(duì)方程組的解沒有任何影響。即零行對(duì)應(yīng)的這些線性方程是“無(wú)用的，表面的”！因此通過化矩陣為階梯形求矩陣的秩的過程，實(shí)際上就是對(duì)線性方程組的一個(gè)化繁為簡(jiǎn)的過程，去粗取精的過程！這樣一種結(jié)構(gòu)事實(shí)上就是在線性方程組的集合與矩陣的集合之間建立了一種一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系之后，把對(duì)線性方程組的研究徹底的轉(zhuǎn)化為對(duì)矩陣的研究。這是進(jìn)行數(shù)學(xué)研究的根本方法。
五、初等變換――“照妖鏡”
在用消元法求解的過程當(dāng)中，我們會(huì)用到初等變換。此時(shí)，初等變換把一個(gè)方程組變成同解的另外一個(gè)方程組，在這個(gè)過程當(dāng)中，原方程組形式上變得簡(jiǎn)單了，但是方程組的解集合不會(huì)改變。在把矩陣化為階梯形矩陣的過程當(dāng)中，我們同樣會(huì)用到初等變換，此時(shí)矩陣形式上也變得簡(jiǎn)單了，但是矩陣的秩不會(huì)改變。而從階梯形矩陣我們一眼就可以看出矩陣的秩。所以線性代數(shù)用一句話來(lái)說(shuō)就是研究線性方程組，矩陣，向量組，以及二次型等等在初等變換下不變的那些性質(zhì)。這樣一種結(jié)構(gòu)就能把各個(gè)知識(shí)點(diǎn)串起來(lái)，讓學(xué)生達(dá)到融會(huì)貫通的效果。
六、兩個(gè)重要概念――線性相關(guān)與線性無(wú)關(guān)
線性代數(shù)里面有很多重要的概念，線性相關(guān)與線性無(wú)關(guān)無(wú)疑是其中的兩個(gè)。這里，一個(gè)簡(jiǎn)單的命題是含有零向量的向量組線性相關(guān)。因?yàn)槲覀兛梢匀×阆蛄康南禂?shù)為1，其他向量的系數(shù)為零，從而得到一組不全為零的組合系數(shù)。這個(gè)命題的逆命題顯然是不成立的。與此同時(shí)，在各種版本的教材中還會(huì)有這樣的一個(gè)定理：一個(gè)向量組線性相關(guān)等價(jià)于該向量組中存在一個(gè)向量被其余向量線性表示。我們說(shuō)能夠被其余向量線性表示的向量在某種意義上在這個(gè)向量組里面是多余的或者說(shuō)沒用的――在線性方程組里，去掉這個(gè)向量所代表的那個(gè)線性方程對(duì)原方程組的解不會(huì)有任何影響，而在某個(gè)矩陣?yán)?，去掉該向量所代表的行也不?huì)對(duì)矩陣的秩有任何影響。在這樣一種意義下，我們甚至可以把這樣的向量――能夠被其余向量線性表示的向量――看成零向量。因此，線性相關(guān)的向量組表面上不含有零向量，但本質(zhì)上還是含有零向量的。認(rèn)識(shí)清楚這一點(diǎn)，我們就可以透過現(xiàn)象，看到本質(zhì)！從而也能得到線性代數(shù)中另外的一個(gè)理論結(jié)構(gòu)。那就是從任何一個(gè)向量組出發(fā)，通過反復(fù)去掉其中多余的向量――能夠被該向量組剩余向量線性表示的向量，我們可以得到原向量組的一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組；而通過反復(fù)添加多余的向量――能夠被該向量組線性表示的向量，就可以直達(dá)向量空間這個(gè)概念。
七、矩陣的應(yīng)用――二次型
大部分教材最后一部分往往涉及到實(shí)對(duì)稱矩陣的一個(gè)應(yīng)用，即利用已經(jīng)得到的有關(guān)實(shí)對(duì)稱矩陣的對(duì)角化的理論，來(lái)化一般二次型為標(biāo)準(zhǔn)二次型。因此縱觀整個(gè)教材，很好的體現(xiàn)了從實(shí)踐上升到理論，最后又用理論來(lái)指導(dǎo)實(shí)踐這一創(chuàng)造美好世界的原則。參見圖1.
圖4為線性代數(shù)課程的另一種理論層次結(jié)構(gòu)：表明理論來(lái)源于實(shí)踐（指從解線性方程組中所得到的矩陣?yán)碚摚┲笥挚梢杂糜谥笇?dǎo)實(shí)踐（指用矩陣?yán)碚摻鉀Q二次型的標(biāo)準(zhǔn)化問題）的哲學(xué)思想。
扎根于對(duì)教材的深入理解，能得到許多的理論層次結(jié)構(gòu)。既有關(guān)于整個(gè)教材的，也有關(guān)于某個(gè)知識(shí)小塊的。許多結(jié)構(gòu)都還有待于我們?nèi)ダ^續(xù)發(fā)現(xiàn)。本文旨在起個(gè)拋磚引玉的作用。鑒于各種抽象的過程，借用《道德經(jīng)》里面的一段話來(lái)結(jié)束全文：道可道，非常道，名可名，非常名。無(wú)，名天地之始，有，名萬(wàn)物之母。故常無(wú)，欲以觀其妙；常有，欲以觀其繳；此兩者，同謂之玄。玄之又玄，眾妙之門！
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線性代數(shù)范文6
關(guān)鍵詞:線性代數(shù);教學(xué)改革;數(shù)形結(jié)合
線性代數(shù)是高等院校理工類和經(jīng)濟(jì)管理類等專業(yè)學(xué)生的一門重要的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課程之一，是學(xué)生學(xué)習(xí)后續(xù)課程的工具，同時(shí)在培養(yǎng)學(xué)生的計(jì)算和抽象思維能力方面有獨(dú)特的作用。但是，由于這門課程概念繁多、內(nèi)容抽象，邏輯性強(qiáng)、計(jì)算繁瑣，大多數(shù)學(xué)生感覺晦澀難懂，普遍感到比微積分的學(xué)習(xí)要困難得多。加之學(xué)時(shí)偏少，教師經(jīng)常要趕進(jìn)度，整堂課講得口干舌燥，但收效甚微。如何在課堂教學(xué)中有效提高教學(xué)效率，幫助學(xué)生適應(yīng)線性代數(shù)課程的教學(xué)進(jìn)程呢?為此我們從以下幾個(gè)方面來(lái)談?wù)勌岣呔€性代數(shù)課程教學(xué)效率的策略。
一、重視線性代數(shù)緒論教學(xué)
教學(xué)論的理論與實(shí)踐告訴我們，為了達(dá)到預(yù)期的教學(xué)目的和要求，必須組織好教學(xué)過程，充分注意到教育對(duì)象的特點(diǎn)、課程的特點(diǎn)以及各個(gè)教學(xué)階段的特點(diǎn)。而教學(xué)階段又可大致分為入門教學(xué)階段、繼續(xù)教學(xué)階段和復(fù)習(xí)階段。線性代數(shù)這門課程的內(nèi)容大致包括:行列式、矩陣及其運(yùn)算、矩陣的初等變換與線性方程組、向量組的線性相關(guān)性、相似矩陣及二次型等。線性代數(shù)這門課程本質(zhì)上就是圍繞如何解線性方程組展開的相關(guān)內(nèi)容的研究。在課程教學(xué)的第一次課，我們可以通過緒論的形式將本課程的主要內(nèi)容向?qū)W生展現(xiàn)出來(lái)。例如，可以通過學(xué)生熟悉的中學(xué)平面解析幾何引入線性方程組的求解問題，具體來(lái)講就是，在建立了平面直角坐標(biāo)系后，平面上的一條直線l就與二元一次方程ax+by+c=0 建立了一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，從而兩條直線位置關(guān)系的幾何問題就轉(zhuǎn)化為一個(gè)二元一次方程組解的問題，即兩直線平行等價(jià)于對(duì)應(yīng)的線性方程組無(wú)解;兩直線相交等價(jià)于對(duì)應(yīng)的線性方程組有唯一解;兩直線重合等價(jià)于對(duì)應(yīng)的線性方程組有無(wú)窮多解。類似地，空間解析幾何中，一個(gè)平面和一個(gè)三元一次方程是一一對(duì)應(yīng)的，從而也有相應(yīng)三平面位置關(guān)系的幾何問題就轉(zhuǎn)化為一個(gè)三元一次方程組解的問題，即三平面平行等價(jià)于對(duì)應(yīng)的線性方程組無(wú)解;三平面相交于一點(diǎn)等價(jià)于對(duì)應(yīng)的線性方程組有唯一解;三平面相交于一直線等價(jià)于對(duì)應(yīng)的線性方程組有無(wú)窮多解;三平面重合等價(jià)于對(duì)應(yīng)的線性方程組有無(wú)窮多解。針對(duì)后面這兩種情況，提出問題:都是對(duì)應(yīng)的三元一次線性方程組有無(wú)窮多解，那么它們的解的形式有什么不同?對(duì)于更多個(gè)未知量的線性方程組，其解的情形又是怎樣的呢?換個(gè)角度說(shuō)，比如:3x+4y=10x+2y=10{，3x+4y=13x+4y=2{，3x+4y=16x+8y=2{，3x+4y=12x+4y+z=5{這幾個(gè)方程組，不解它們，能直接判定解的個(gè)數(shù)嗎?從而說(shuō)明方程組未知量個(gè)數(shù)與方程組解的個(gè)數(shù)之間有關(guān)系，這是本課程要去研究的一個(gè)重要內(nèi)容之一，這樣就激起了學(xué)生的學(xué)習(xí)欲望，為以后的學(xué)習(xí)打好伏筆。通過解析幾何中平面和空間的概念我們向?qū)W生說(shuō)明，在線性代數(shù)課程中可以將它們推廣到n維向量空間，那么在n維向量空間中如何建立坐標(biāo)系呢?這就需要有所謂的向量的線性無(wú)關(guān)的概念，從而說(shuō)明向量的線性相關(guān)性也是線性代數(shù)課程的又一個(gè)重要內(nèi)容。接下來(lái)還是從解析幾何中的基本問題:給定一個(gè)二元二次方程，如何判定它表示哪類二次曲線?給定一個(gè)三元二次方程，如何判定它表示哪類二次曲面?向?qū)W生介紹線性代數(shù)還有一個(gè)重要內(nèi)容就是二次型。這樣，通過緒論課，我們向?qū)W生介紹了線性代數(shù)的主要內(nèi)容，讓學(xué)生對(duì)這個(gè)課程所要研究的內(nèi)容有了一個(gè)整體的了解，激發(fā)了他們學(xué)習(xí)的興趣，提高了學(xué)習(xí)積極性，為后面高效率的學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ)。
二、融入數(shù)形結(jié)合思想
線性代數(shù)課程的一大特點(diǎn)就是定義繁多、內(nèi)容抽象，很多內(nèi)容學(xué)生難以理解。然而，線性代數(shù)中很多的概念和理論都來(lái)源于幾何，所以，我們?cè)诮虒W(xué)過程中可以借助幾何語(yǔ)言來(lái)闡釋線性代數(shù)中的概念和性質(zhì)，從而化解線代數(shù)抽象、難學(xué)難教的狀況．例如，在行列式這個(gè)概念的教學(xué)中，我們可以將行列式看作是有向面積或體積的概念在一般歐幾里得空間中的推廣。再例如，向量組的線性相關(guān)的幾何原型就是兩個(gè)2 維向量共線，而線性無(wú)關(guān)的幾何原型就是兩個(gè)2 維向量不共線。方陣的特征值和特征向量是線性代數(shù)教學(xué)中的一個(gè)重點(diǎn)和難點(diǎn)，大多數(shù)教材都是直接給出定義，沒有提供具有相關(guān)直觀幾何背景知識(shí)的內(nèi)容，這樣不利于學(xué)生對(duì)此概念的理解和掌握。事實(shí)上，我們可以借助幾何直觀來(lái)引入方陣的特征值和特征向量的定義。在講矩陣的概念時(shí)，我們就向?qū)W生闡明了:線性變換和矩陣之間存在著一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系。接下來(lái)學(xué)習(xí)了矩陣的運(yùn)算后，學(xué)生知道了線性變換y=Ax把列向量x變成列向量y，相當(dāng)于用矩陣A去左乘x得到y(tǒng)。在給出方陣的特征值和特征向量的一般定義之前，我們先給出一個(gè)方陣A=1002()，將起點(diǎn)在原點(diǎn)，終點(diǎn)在單位圓上的任一向量記為p=xy()，當(dāng)p從10()開始運(yùn)動(dòng)時(shí)，相應(yīng)的Ap也隨之運(yùn)動(dòng)。我們提出問題:p運(yùn)動(dòng)一周的過程中，Ap是否存在與p共線的情形?如果有，它們之間的比例數(shù)是多少?通過動(dòng)畫演示，學(xué)生發(fā)現(xiàn)線性變換A將單位圓整體的拉伸為橢圓，當(dāng)p分別運(yùn)動(dòng)到10()，－10()，01()，0 －1()時(shí)，Ap與之共線，即有A10()=110()，A－10()=1 －10()，A01()=201()，A0 －1()=20 －1()，表明這4 個(gè)向量p對(duì)線性變換或方陣A來(lái)說(shuō)是很特殊的，Ap只是對(duì)p進(jìn)行了伸縮變換，我們就把伸縮系數(shù)1 或2 稱為A的特征值，而這4 個(gè)向量分別稱為對(duì)應(yīng)于特征值1 或2 的特征向量。接下來(lái)我們就自然的給出方陣的特征值和特征向量的一般性定義:設(shè)A是一個(gè)n階方陣，如果存在數(shù)λ和非零向量p，使得Ap=λp，那么λ稱為A的一個(gè)特征值，p稱為A的對(duì)應(yīng)于特征值λ的特征向量。通過直觀形象的實(shí)例引出特征值和特征向量的定義，讓學(xué)生感到此定義并不是憑空產(chǎn)生的，而是有著強(qiáng)烈的幾何背景，從而更好的理解和掌握它。
三、培養(yǎng)學(xué)生的探究能力
李大潛院士說(shuō):“數(shù)學(xué)教育本質(zhì)上是素質(zhì)教育。”學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，不僅要學(xué)到許多數(shù)學(xué)概念、方法和結(jié)論，更要領(lǐng)會(huì)到數(shù)學(xué)的精神實(shí)質(zhì)和思想方法。如果將數(shù)學(xué)教學(xué)僅僅看成數(shù)學(xué)知識(shí)的傳授(特別是那種照本宣科式的傳授)，那么即使包羅了再多的定理和公式，可能仍免不了淪為一堆僵死的教條，難以發(fā)揮作用，而掌握了數(shù)學(xué)的思想方法和精神實(shí)質(zhì)，就可以由不多的幾個(gè)公式演繹出千變?nèi)f化的生動(dòng)結(jié)論，顯示出無(wú)窮無(wú)盡的威力。線性代數(shù)在培養(yǎng)學(xué)生思維能力和分析問題解決問題的能力方面可以發(fā)揮重要作用。在學(xué)完矩陣的秩這部分內(nèi)容后，我們給學(xué)生準(zhǔn)備了一道填空題:設(shè)A是5 階方陣，A的秩R(A)=3 ，則A的伴隨矩陣的秩R(A*)=。學(xué)生通過矩陣秩的定義和伴隨矩陣的定義，很快得到答案為0 。接著我引導(dǎo)學(xué)生對(duì)這個(gè)問題進(jìn)行探究，將A的階數(shù)與秩作改變，相應(yīng)的A*的秩又是多少呢?如題目改為:設(shè)A是4 階方陣，R(A)=3 ，則R(A*)=。這時(shí)實(shí)際上已經(jīng)變成一個(gè)綜合題了，它的難度就比剛才的提高不少，其中會(huì)涉及到多個(gè)知識(shí)點(diǎn)，如:矩陣秩的定義;方陣的秩與行列式的關(guān)系;若兩個(gè)矩陣的乘積為零，則它們秩的和要滿足什么不等式等等。通過分析引導(dǎo)，學(xué)生得到答案為1 。利用這個(gè)問題，幫助學(xué)生復(fù)習(xí)了已學(xué)的知識(shí)點(diǎn)。最后我再提出:設(shè)A是n階方陣，對(duì)于R(A*)，同學(xué)們能不能給出一般性的結(jié)論呢?經(jīng)過一番思考，有不少學(xué)生給出了結(jié)論，即當(dāng)R(A)=n時(shí)，R(A*)=n;當(dāng)R(A)=n－1 時(shí)，R(A*)=1;當(dāng)R(A)!n－2 時(shí)，R(A*)=0 。通過這個(gè)問題的教學(xué)，拓展了學(xué)生的思維，培養(yǎng)了學(xué)生提出問題，分析問題和解決問題的能力。
四、充分運(yùn)用案例，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣
線性代數(shù)的概念和理論都很抽象，在教學(xué)中，可以適時(shí)的引入和學(xué)生專業(yè)相關(guān)或生活相關(guān)的例子，既可以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，又能將所學(xué)的線性代數(shù)知識(shí)與專業(yè)知識(shí)結(jié)合起來(lái)。例如在學(xué)習(xí)了矩陣的相似與對(duì)角化后，我們給出了如下捕食者與食餌系統(tǒng)問題。在某森林中，捕食者種群U和食餌種群V的數(shù)量是隨時(shí)間而變化的，滿足如下公式:Un+1=0 ．4Un+0 ．6VnVn+1=－kUn+1 ．2Vn{其中Un和Vn分別是捕食者種群U和食餌種群V在n月底時(shí)的數(shù)量，k是種群U吃掉種群V的速度。我們提出如下問題:(1)該系統(tǒng)怎樣用矩陣形式來(lái)表示?(2)設(shè)現(xiàn)在兩個(gè)種群的數(shù)量分別為U0 ，V0 ，當(dāng)k=0 ．2 時(shí)，該系統(tǒng)如何演化?(3)當(dāng)k=0 ．2 時(shí)，捕食者種群U和食餌種群V的數(shù)量隨時(shí)間的變化趨勢(shì)是什么?問題分析:(1)設(shè)xn=UnVn()，則系統(tǒng)可表示為:xn+1=Axn，其中A=0 ．40 ．6 －k1 ．2()。(2)由xn+1=Axn，可得xn=Anx0 ，其中x0=U0V0()。為了計(jì)算An，就需要利用矩陣的相似對(duì)角化。當(dāng)k=0 ．2 時(shí)，A=0 ．40 ．6 －0 ．21 ．2()的特征值為λ1=1 ，λ2=0 ．6 ，對(duì)應(yīng)的特征向量為(3)設(shè)c1 ＞0 ，則當(dāng)n充分大時(shí)，xn趨于c111()，即當(dāng)時(shí)間足夠長(zhǎng)時(shí)，兩種群的數(shù)量之比為1 ∶1 。教學(xué)過程中適當(dāng)運(yùn)用案例吸引學(xué)生的注意力，增強(qiáng)他們的好奇心和探索欲望，培養(yǎng)他們利用所學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力，從而提高了教學(xué)效果。
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