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摘要：微積分課程的數(shù)學(xué)理論性較強(qiáng)，德州學(xué)院的部分大學(xué)生對這門課程有很大的畏難情緒。obe理念關(guān)注學(xué)生對知識的掌握、能力的提升和素養(yǎng)的培養(yǎng)，啟發(fā)式教學(xué)方法的出發(fā)點是以學(xué)生為本，以O(shè)BE理念為導(dǎo)向，強(qiáng)調(diào)互動式教學(xué)、合作學(xué)習(xí)、混合式學(xué)習(xí)等任務(wù)型教學(xué)活動，注重設(shè)計啟發(fā)式問題情境教學(xué)案例，有助于提高地方性本科院校微積分及相關(guān)課程的教學(xué)效果。

關(guān)鍵詞：微積分；啟發(fā)式教學(xué)方法；OBE理念；教學(xué)案例

微積分是德州學(xué)院本、專科各個專業(yè)的一門基礎(chǔ)課程，是一門數(shù)學(xué)理論性較強(qiáng)的課程。德州學(xué)院作為一所省屬地方性普通本科院校，招收的本專科學(xué)生的數(shù)學(xué)水平一般。針對這類大學(xué)生，如何提升他們的數(shù)學(xué)素養(yǎng)、較好地完成數(shù)學(xué)教育任務(wù)，是任課教師們在后疫情時代進(jìn)行信息化教學(xué)改革首要考慮的問題。在對微積分等課程多年的教學(xué)實踐中，我們以O(shè)BE理念為導(dǎo)向，以優(yōu)化學(xué)生的知識結(jié)構(gòu)和提升學(xué)生的邏輯能力為目標(biāo)，開展了啟發(fā)式教學(xué)探索。

一、教學(xué)背景和現(xiàn)狀介紹

教育的本質(zhì)是以學(xué)生為本，以立德樹人和培養(yǎng)人的全面發(fā)展為目標(biāo)。成果導(dǎo)向教育（Outcome-basededucation，OBE）理念關(guān)注學(xué)生的能力和素養(yǎng)的培養(yǎng)[1]，OBE要求教學(xué)過程圍繞預(yù)期的學(xué)習(xí)成果來開展，迎合了后疫情時期信息化教學(xué)改革的方向。[2]微積分是文、理、工科各院系最基礎(chǔ)的一門公共課，是研究生入學(xué)考試的必考課目。在微積分的教學(xué)實踐中，作者發(fā)現(xiàn)德州學(xué)院的部分大學(xué)生對這門課程有很大的畏難情緒，學(xué)習(xí)積極性和信心不足，本課程及數(shù)值分析等后續(xù)課程的學(xué)習(xí)效果較差。有的學(xué)生不適應(yīng)大學(xué)的教學(xué)節(jié)奏，課下不能自覺預(yù)習(xí)復(fù)習(xí)；有的學(xué)生知識結(jié)構(gòu)不夠系統(tǒng)，運(yùn)用理論知識解決實際應(yīng)用問題的能力較差；有的學(xué)生以期末及格為目的，學(xué)習(xí)不求甚解；還有的學(xué)生聽課云里霧里，跟不上老師的進(jìn)度。如何讓這些學(xué)生學(xué)好微積分及相關(guān)課程，值得教學(xué)深思。在微積分課程中，定積分溝通函數(shù)、極限、導(dǎo)數(shù)、不定積分、定積分、反常積分、級數(shù)、曲線積分、曲面積分和重積分之間的內(nèi)在聯(lián)系，是微積分學(xué)中的重要知識點。定積分的概念和性質(zhì)通過與其他知識點建立緊密的聯(lián)系，貫穿于整個微積分學(xué)理論。部分大學(xué)生對定積分的理解不夠透徹，不擅長建立各知識點之間的聯(lián)系，對解決拓展提高類綜合問題的方法、技巧掌握不夠靈活，不能正確恰當(dāng)?shù)剡\(yùn)用定積分。另外數(shù)值分析、微分方程數(shù)值解等后續(xù)課程與定積分關(guān)系密切。在OBE理念下，為了提高學(xué)生們對微積分的熟練掌握程度，提高學(xué)生利用微積分解決實際問題的應(yīng)用能力和創(chuàng)新能力，提高學(xué)生對后續(xù)課程的學(xué)習(xí)熱情，微積分的啟發(fā)式教學(xué)方法值得深入探討。

二、以O(shè)BE理念為導(dǎo)向的啟發(fā)式教學(xué)方法

子曰：“不憤不啟，不悱不發(fā)。”啟發(fā)式教學(xué)是“授之以漁”而非“授之以魚”。在啟發(fā)式教學(xué)過程中，教師以O(shè)BE理念為導(dǎo)向，側(cè)重于學(xué)生的理解能力及實際應(yīng)用能力的培養(yǎng)，根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律和心理特點，貫徹教師為主導(dǎo)、學(xué)生為主體的教學(xué)理念，通過師生之間的交流，讓學(xué)生經(jīng)歷知識的形成過程，通過學(xué)生的自主探究，幫助學(xué)生深入理解知識，完善知識結(jié)構(gòu)，提升認(rèn)知水平，達(dá)到教學(xué)目標(biāo)。[3]教師在啟發(fā)式教學(xué)實踐過程中注重引導(dǎo)，及時捕捉學(xué)生情感和思維的興奮點，啟發(fā)學(xué)生主動探索問題，獲取新知識，充分發(fā)揮學(xué)生的主觀能動性，與教師在學(xué)習(xí)的過程中達(dá)成相互交流、默契配合的融洽學(xué)習(xí)氣氛，提高主動發(fā)現(xiàn)問題的能力和數(shù)學(xué)素質(zhì)。[4]啟發(fā)式教學(xué)方法，以O(shè)BE理念為導(dǎo)向，注重培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維，面向知識形成過程，讓學(xué)生嘗試數(shù)學(xué)研究的過程，體會事物間的相互轉(zhuǎn)化、相互聯(lián)系的辯證關(guān)系，有助于提高學(xué)生的理性思維能力。[5]啟發(fā)式教學(xué)方法引導(dǎo)學(xué)生自主學(xué)習(xí)，激發(fā)學(xué)生的求知欲和探索欲，有助于培養(yǎng)學(xué)生積極動手、發(fā)散思考、協(xié)作學(xué)習(xí)、探究性學(xué)習(xí)、系統(tǒng)性學(xué)習(xí)的能力，讓學(xué)生體會到嚴(yán)謹(jǐn)、普遍聯(lián)系、迂回處理的哲學(xué)思想。[6]啟發(fā)式教學(xué)方法有如下教學(xué)技巧：（1）課堂提問是啟發(fā)式教學(xué)方法采用的最常用的主要形式。（2）設(shè)置問題情境，進(jìn)行課件演示，吸引學(xué)生的注意力，使學(xué)生盡可能多地參與教學(xué)活動。突出教學(xué)重點，分散教學(xué)難點。（3）在探索、發(fā)現(xiàn)和解決問題的過程中，讓學(xué)生體會到快樂；注重師生之間的合作和交流，給學(xué)生提供展現(xiàn)思維的舞臺。（4）采用比較、聯(lián)系并采用逆向思維的方式，啟發(fā)學(xué)生通過主動思考，得出結(jié)論，進(jìn)而完成對知識的內(nèi)化。（5）采用層層設(shè)問的方法，引導(dǎo)學(xué)生去探究，活躍課堂氣氛，使學(xué)生保持良好、積極的情感體驗。

三、以O(shè)BE理念為導(dǎo)向開展任務(wù)型教學(xué)活動

在大數(shù)據(jù)背景下，各行各業(yè)急需具有較高數(shù)學(xué)素養(yǎng)的專門人才，因此，德州學(xué)院微積分課程的目標(biāo)定位是“強(qiáng)實踐”和“高素養(yǎng)”。“強(qiáng)實踐”把培養(yǎng)學(xué)生解決問題的實踐能力作為首要的教學(xué)目標(biāo)和教學(xué)任務(wù)，注重發(fā)展學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)的應(yīng)用能力，進(jìn)一步增強(qiáng)其學(xué)術(shù)能力和創(chuàng)新能力。“高素養(yǎng)”強(qiáng)調(diào)課程蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想和文化，幫助學(xué)生加強(qiáng)邏輯推理訓(xùn)練、提升理性思維和科學(xué)精神。在OBE理念下，教師帶著任務(wù)開展教育教學(xué)，學(xué)生帶著任務(wù)學(xué)習(xí)，不再迷失。以O(shè)BE理念為導(dǎo)向設(shè)計互動式教學(xué)、合作學(xué)習(xí)、混合式學(xué)習(xí)等任務(wù)型教學(xué)活動，有助于提高教學(xué)效果，達(dá)成課程目標(biāo)。[7]

1.任務(wù)型教學(xué)活動

互動式教學(xué)模式適合開展任務(wù)型教學(xué)活動，注重調(diào)動學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，旨在通過學(xué)生的積極參與提高教學(xué)效果。翻轉(zhuǎn)課堂是其中一種互動式教學(xué)模式，充分體現(xiàn)了以學(xué)生為中心的教學(xué)思想。對于相對簡單的知識點，比如極限和導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算、簡單函數(shù)的積分、平面圖形的面積等，學(xué)生通過自學(xué)很容易領(lǐng)會要點，適合開展翻轉(zhuǎn)課堂，有利于激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)潛力，提升個人成就感，符合OBE理念。小組合作學(xué)習(xí)是開展任務(wù)型教學(xué)活動的有效途徑。為了鞏固學(xué)過的知識點，教師設(shè)計合理的實驗題目，比如定積分的應(yīng)用實驗和近似計算實驗，將學(xué)生分組，要求小組成員積極思考、深入討論，研究解決方案，不斷試錯糾錯，最終給出正確的實驗結(jié)果。通過實驗教學(xué)活動，教師不斷調(diào)整優(yōu)化實驗資源庫，總結(jié)學(xué)生實驗中出現(xiàn)的問題，及時進(jìn)行相關(guān)知識的查漏補(bǔ)缺、復(fù)習(xí)鞏固。線上線下混合式多元化教學(xué)模式有助于開展任務(wù)型教學(xué)活動，將面對面的課堂教學(xué)與在線講座、精品課程、智慧課堂等開放式自主學(xué)習(xí)模式相結(jié)合。對于曲面積分、曲線積分和多重積分等教學(xué)內(nèi)容，確定積分區(qū)域是個教學(xué)難點。在OBE理念下，為了化解積分問題中選取積分區(qū)域的難點，教師可以結(jié)合多媒體課件和動畫，展示相關(guān)的曲線、曲面和立體圖形，引導(dǎo)學(xué)生數(shù)形結(jié)合，通過投影、取截面等直觀地找出積分區(qū)域。任務(wù)型教學(xué)活動的開展，離不開精心設(shè)計啟發(fā)式教學(xué)案例，將知識點與問題情境有機(jī)結(jié)合起來，基于問題解決的知識引入符合OBE理念。定積分的概念和性質(zhì)是微積分課程的重要知識點。在OBE理念下，為了讓學(xué)生明確定積分的性質(zhì)，理解其可以干什么，需要具備什么條件才可以用，掌握定積分性質(zhì)的應(yīng)用類型，掌握定積分的性質(zhì)與其他知識點之間的聯(lián)系，引導(dǎo)學(xué)生將知識結(jié)構(gòu)系統(tǒng)化整體化，教師需要精心設(shè)計一組啟發(fā)式教學(xué)案例。

2.任務(wù)型教學(xué)活動的一個案例

級數(shù)理論是高等數(shù)學(xué)的一個重要內(nèi)容和組成部分，級數(shù)是表示函數(shù)、研究函數(shù)的性質(zhì)及進(jìn)行數(shù)值計算的一種工具。很多工程領(lǐng)域?qū)嶋H問題需要用到級數(shù)模型，微積分方程、概率統(tǒng)計等學(xué)科領(lǐng)域也需要用到級數(shù)。級數(shù)的概念是高等數(shù)學(xué)級數(shù)理論的基礎(chǔ)知識點，只有掌握了級數(shù)的概念，才能更好地學(xué)習(xí)級數(shù)理論。學(xué)生對有限項和的定義和運(yùn)算律（交換律、結(jié)合律、分配律）等理論比較熟悉。那么如何理解無限個數(shù)相加呢？無限個數(shù)的和與有限個數(shù)的和有本質(zhì)區(qū)別嗎？如何理解學(xué)習(xí)級數(shù)理論的必要性和重要性呢？基于這些背景問題，教師精心錄制十五分鐘的微課展開級數(shù)的概念引入。錯例是學(xué)好高等數(shù)學(xué)的重要手段和工具。教師通過介紹荒謬的阿基里斯運(yùn)動悖論吸引學(xué)生的注意力，引入無限項和即級數(shù)的形式定義，通過一個錯例引出對級數(shù)和的含義的思考，利用數(shù)列極限的思想，闡述級數(shù)收斂、級數(shù)發(fā)散和級數(shù)和的概念，反過來利用級數(shù)的斂散性概念回看分析運(yùn)動悖論和錯例，說明級數(shù)斂散性概念的重要性。通過讓學(xué)生參與反駁運(yùn)動悖論的探究分析過程，激發(fā)了學(xué)生的求知欲和創(chuàng)造力，實踐表明，這堂微課能很好地完成預(yù)設(shè)的教學(xué)目標(biāo)，學(xué)生可以很好地理解級數(shù)的概念。

四、以O(shè)BE理念為導(dǎo)向進(jìn)行定積分的啟發(fā)式教學(xué)思考

定積分的思想的理解和靈活應(yīng)用對學(xué)生們掌握積分學(xué)理論至關(guān)重要，因此OBE理念注重引導(dǎo)學(xué)生透徹理解定積分的思想，并建立各知識點之間的聯(lián)系。教師如何深入淺出并自然而然地把定積分的思想和聯(lián)系介紹給學(xué)生？如何引導(dǎo)學(xué)生將前后章節(jié)的知識點系統(tǒng)地連貫起來？如何幫助學(xué)生將定積分的思想融會貫通？這些問題值得教師深思和探究，應(yīng)貫穿滲透于整個微積分的啟發(fā)式教學(xué)過程中，教學(xué)案例的選取、教師適時的引導(dǎo)、重難點的分解、核心的點播都十分關(guān)鍵。

1.關(guān)于定積分概念的教學(xué)思考

定積分的概念本質(zhì)上是一種有限積分和的極限，體現(xiàn)了極限的思想。基于此，教師很自然地拋給學(xué)生們一系列的思考問題：當(dāng)積分區(qū)間的長度由有限變?yōu)闊o限會怎樣？當(dāng)被積函數(shù)的取值范圍由有限變?yōu)闊o限會怎樣？當(dāng)積分和的項數(shù)由有限變?yōu)闊o限會怎樣？當(dāng)被積函數(shù)的自變量由一個變?yōu)閮蓚€、三個又會怎樣？關(guān)于前三個問題的回答，很自然地將學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣引導(dǎo)到無窮積分、瑕積分和級數(shù)這三部分內(nèi)容上。而要搞清楚最后一個大問題，學(xué)生還要學(xué)習(xí)函數(shù)項級數(shù)、曲線積分、曲面積分和重積分這四部分內(nèi)容。這樣的啟發(fā)式提問，將積分學(xué)的各知識點系統(tǒng)地整合在一起，學(xué)生們不僅優(yōu)化了關(guān)于積分理論的知識結(jié)構(gòu)，而且深入透徹地理解了定積分概念中所體現(xiàn)的極限思想。看似紛繁復(fù)雜的積分學(xué)知識點，通過極限思想系統(tǒng)地串聯(lián)起來。

2.關(guān)于定積分計算的教學(xué)思考

定積分的應(yīng)用廣泛，因此定積分的計算是一個重要的研究課題。牛頓萊布尼茲公式揭示了積分區(qū)間邊界點上的被積函數(shù)值與定積分值之間的關(guān)系。針對來源于工程領(lǐng)域?qū)嶋H問題中的定積分模型，牛頓萊布尼茲公式很難有用武之地。面臨的困難是，要么被積函數(shù)的原函數(shù)無法用初等積分法求解，要么原函數(shù)的表達(dá)式很復(fù)雜，其函數(shù)值很難計算，要么被積函數(shù)沒有解析表達(dá)式，僅僅給出了一組離散的實驗采樣數(shù)據(jù)。因此定積分的近似計算值得研究。由于定積分是積分和的極限，教師引導(dǎo)學(xué)生可以利用特殊的積分和進(jìn)行定積分的近似。很自然地，教師可以提問學(xué)生，積分和中的項數(shù)怎么選，小區(qū)間如何打點呢？這樣的啟發(fā)式提問，能夠使學(xué)生們積極進(jìn)行發(fā)散思維的訓(xùn)練，當(dāng)積分和只有一項可得各種矩形公式，兩項和三項時分別對應(yīng)梯形公式和辛普生公式。要提高近似程度，學(xué)生自然想到提高積分和的項數(shù)，從而自然地進(jìn)入復(fù)化求積公式的構(gòu)造。這樣的教學(xué)過程能夠啟發(fā)學(xué)生積極思考，也提高了學(xué)生對后續(xù)數(shù)值分析課程的學(xué)習(xí)興趣。學(xué)生也體會了數(shù)學(xué)知識點之間的聯(lián)系和區(qū)別，了解到系統(tǒng)化學(xué)習(xí)的優(yōu)勢，從而在數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)訓(xùn)練中做到既會化整為零，又能化零為整。

五、結(jié)語

OBE理念注重學(xué)生自主、合作和探究學(xué)習(xí)，倡導(dǎo)提高學(xué)生的學(xué)習(xí)能力和成果意識。德州學(xué)院很多大學(xué)生對微積分的知識點的掌握不牢固，甚至是一知半解，面對綜合類高數(shù)題尤其是復(fù)雜的應(yīng)用題和考研題更是無從下手，對數(shù)值分析類后續(xù)課程的學(xué)習(xí)積極性也不高。在OBE理念下，提高學(xué)生們對微積分課程的掌握牢固程度和對后續(xù)相關(guān)課程的學(xué)習(xí)熱情，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維、創(chuàng)新思維、解決問題的能力和系統(tǒng)化學(xué)習(xí)的能力，教師的啟發(fā)式教學(xué)探索至關(guān)重要。

作者:尹秀玲 周小雙 趙琳琳 單位:德州學(xué)院