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等腰三角形的性質(zhì)范文1
閱讀與思考
等腰三角形是一類(lèi)特殊三角形，具有特殊的性質(zhì)，這些性質(zhì)為角度的計(jì)算、線段相等、直線位置關(guān)系的證明等問(wèn)題提供了新的理論依據(jù)．因此，在解與等腰三角形相關(guān)的問(wèn)題時(shí)，除了要運(yùn)用全等三角形知識(shí)方法外，又不能囿于全等三角形，應(yīng)善于利用等腰三角形的性質(zhì)探求新的解題途徑，應(yīng)熟悉以下基本圖形、基本結(jié)論．
⑴
圖1中，，，．
⑵
圖2中，只要下述四個(gè)條件：
①；②；③；④中任意兩個(gè)成立，就可以推出其余兩個(gè)成立．
B
C
A
D
圖1
A
D
B
C
1
2
圖2
例題與求解
【例1】如圖，在ABC中，D在AC上，E在AB上，且AB=AC，BC=BD，AD=DE=BE，
則∠A=___________．
（五城市聯(lián)賽試題）
解題思路：圖中有很多相關(guān)的角，用∠A的代數(shù)式表示這些角，建立關(guān)于∠A的等式．
A
B
C
D
E
【例2】如圖，在ABC中，已知∠BAC=900，AB=AC，D為AC中點(diǎn)，AEBD于E，延長(zhǎng)AE交BC于F，求證：∠ADB=∠CDF．
（安徽省競(jìng)賽試題）
解題思路：∠ADB與∠CDF對(duì)應(yīng)的三角形不全等，因此，需構(gòu)造全等三角形，而在等腰三角形中，作頂角的平分線或底邊上的高(中線)是一條常用的輔助線．
A
B
C
D
E
F
【例3】如圖，在ABC中，AC=BC，∠ACB=900，D是AC上一點(diǎn)，且AE垂直BD的延長(zhǎng)線于E，又AE=BD，求證：BD是∠ABC的角平分線．
（北京市競(jìng)賽試題）
解題思路：∠ABC的角平分線與AE邊上的高重合，故應(yīng)作輔助線補(bǔ)全圖形，構(gòu)造全等三角形、等腰三角形．
A
E
B
C
D
【例4】如圖，在ABC中，∠BAC=∠BCA=440，M為ABC內(nèi)一點(diǎn)，使∠MCA=300，∠MAC=160，求∠BMC度數(shù)．
（北京市競(jìng)賽試題）
B
C
M
A
B
C
M
A
圖3
N
解題思路：作等腰ABC的對(duì)稱(chēng)軸(如圖1)，通過(guò)計(jì)算，證明全等三角形，又440+160=600；可以AB為一邊，向點(diǎn)C所在的一側(cè)作等邊ABN，連結(jié)CN，MN(如圖2)；或以AC為一邊，向點(diǎn)B所在的一側(cè)作等邊ACN，連結(jié)BN(如圖3)．
B
C
M
A
圖1
D
O
B
C
M
A
圖2
N
【例5】如圖，ABC是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，BDC是頂角∠BDC=1200的等腰三角形，以D為頂點(diǎn)作一個(gè)600角，角的兩邊分別交AB于M，交AC于N，連結(jié)MN，形成一個(gè)三角形．求證：AMN的周長(zhǎng)等于2．
（天津市競(jìng)賽試題）
解題思路：欲證AMN的周長(zhǎng)等于2，只需證明MN=BM+CN，考慮用補(bǔ)短法證明．
B
A
C
D
N
M
【例6】如圖，ABC中，∠ABC=460，D是BC邊上一點(diǎn)，DC=AB，∠DAB=210，試確定∠CAD的度數(shù)．
（北京市競(jìng)賽試題）
解題思路：解本題的關(guān)鍵是利用DC=AB這一條件．
B
D
C
A
能力訓(xùn)練
A級(jí)
1．如果等腰三角形一腰上的高另一腰的夾角為450，那么這個(gè)等腰三角形的底角為_(kāi)____________．
2．如圖，已知∠A=150，AB=BC=CD=DE=EF，則∠FEM=_____________．
3．如圖，在等邊ABC的AC，BC邊上各取一點(diǎn)P、Q，使AP=CQ，AQ，BP相交于點(diǎn)O，則
∠BOQ=____________.
4．如圖，在ABC中，∠BCA=900，∠BAC=600，BC=4，在CA的延長(zhǎng)線取點(diǎn)D，使AD=AB，則D，B兩點(diǎn)之間的距離是____________．
(第2題)
B
A
C
D
E
F
M
N
A
B
C
Q
P
O
(第3題)
A
B
C
D
(第4題)
5．如圖，在ABC中，AB=AC，D為BC上一點(diǎn)，BF=CD，CE=BD，那么∠EDF等于（
）
A．900-∠A
B．900-∠A
C．1800-∠A
D．450-∠A
6．如圖，在ABC中，∠ACB=900，AC=AE，BC=BF，則∠ECF=（
）
A．600
B．450
C．300
D．不確定
（安徽省競(jìng)賽試題）
A
C
B
E
F
第5題圖
第6題圖
7．ABC的一個(gè)內(nèi)角的大小是400，且∠A=∠B，那么∠C的外角的大小是（
）
A．1400
B．800或1000
C．1000或1400
D．800或1400
(“希望杯”邀請(qǐng)賽試題)
8．三角形三邊長(zhǎng)，，滿(mǎn)足，則三角形一定是（
）
A．等邊三角形
B．以為底邊的等腰三角形
C．以為底邊的等腰三角形
D．等腰三角形
（北京市競(jìng)賽試題）
9．如圖，在ABC中，AB=AC，D，E分別是腰AB，AC延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，且BD=CE，連結(jié)DE交BC于G，求證：DG=EG．
（湖北省競(jìng)賽試題）
A
B
C
D
G
E
10．如圖，在ABC中，∠BAC=900，AB=AC，BE平分∠ABC，CEBE，求證：CE=BD．
（江蘇省競(jìng)賽試題）
A
B
C
D
E
11．已知RtABC中，AC=BC，∠C=900，D為AB邊中點(diǎn)，∠EDF=900，將∠EDF繞D點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交AC，BC(或它們的延長(zhǎng)線)于E、F，當(dāng)∠EDF繞D點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到DEAC于E時(shí)(如圖1)，易證：SDEF+SCEF=SABC，當(dāng)∠EDF繞D點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到DE和AC不垂直時(shí)，在圖2和圖3這兩種情況下，上述結(jié)論是否成立？若成立，請(qǐng)給予證明；若不成立，SDEF，SCEF，SABC又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)寫(xiě)出你的猜想，不需證明．
（牡丹江市中考試題）
A
B
C
A
B
C
A
B
C
E
D
F
E
D
F
D
F
圖1
圖2
圖3
12．如圖，在ABC中，AB=AC，∠BAC=800，O為ABC內(nèi)一點(diǎn)，且∠OBC=100，∠OCA=200，求∠BAO的度數(shù)．
（天津市競(jìng)賽試題）
B級(jí)
1．如圖，在ABC中，∠ABC=1000，AM=AN，CN=CP，則∠MNP=_________．
A
B
C
N
M
P
(第1題)
A
B
C
P
E
F
(第2題)
A
B
C
N
M
(第3題)
2．如圖，在ABC中，AB=AC，∠BAC=900，直角∠EPF的頂點(diǎn)P是BC的中點(diǎn)，兩邊PE，PF分別交AB，AC于點(diǎn)E，F(xiàn)，給出以下4個(gè)結(jié)論：①AE=CF；②EPF是等腰直角三角形；③S四邊形AEPF=SABC；④EF=AP．當(dāng)∠EPF在ABC內(nèi)繞頂點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)時(shí)(點(diǎn)E不與A，B重合)．上述結(jié)論正確的是____________．
（蘇州市中考試題）
3．如圖，在ABC中，AB=BC，M，N為BC邊上兩點(diǎn)，并且∠BAM=∠CAN，MN=AN，則∠MAC的度數(shù)是____________．
4．如圖，在ABC中，AB=AC，∠BAC與∠ACB的平分線相交于D，∠ADC=1300，那么∠CAB的大小是（
）
A．800
B．500
C．400
D．200
A
(第4題)
B
C
D
(第5題)
A
B
C
D
A
B
D
E
C
M
(第6題)
5．如圖，在ABC中，∠BAC=1200，ADBC于D，且AB+BD=DC，則∠C的大小是（
）
A．200
B．250
C．300
D．450
6．如圖，在ABC中，AC=BC，∠ACB=900，AE平分∠BAC交BC于E，BDAE于D，DMAC交AC的延長(zhǎng)線于M，連CD，下列四個(gè)結(jié)論：①∠ADC=450；②BD=AE；③AC+CE=AB；④AB-BC=2MC．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為（
）
A．1個(gè)
B．2個(gè)
C．3個(gè)
D．4個(gè)
7．如圖，已知ABC為等邊三角形，延長(zhǎng)BC至D，延長(zhǎng)BA至E，并且使AE=BD，連結(jié)CE、DE，求證：CE=DE．
A
B
C
D
E
8．如圖，ABC中，已知∠C=600，AC＞BC，又ABC′、A′BC、AB′C都是ABC外的等邊三角形，而點(diǎn)D在AC上，且BC=DC．
⑴
證明：C′BD≌B′DC；
⑵
證明：AC′D≌DB′A；
⑶
對(duì)ABC、ABC′、A′BC、AB′C，從面積大小關(guān)系上，你能得出什么結(jié)論？
（江蘇省競(jìng)賽試題）
A
B
C
D
A′
B′
C′
9．在ABC中，已知AB=AC，且過(guò)ABC某一頂點(diǎn)的直線可將ABC分成兩個(gè)等腰三角形，試求ABC各內(nèi)角的度數(shù)．
（江蘇省揚(yáng)州中學(xué)測(cè)試題）
10．如圖，在ABC中，∠C=900，∠CAD=300，AC=BC=AD，求證：CD=BD．
A
B
C
D
等腰三角形的性質(zhì)范文2
教學(xué)目標(biāo)
（一）教學(xué)知識(shí)點(diǎn)
1．等腰三角形的概念．
2．等腰三角形的性質(zhì)．
3．等腰三角形的概念及性質(zhì)的應(yīng)用．
1．經(jīng)歷作（畫(huà)）出等腰三角形的過(guò)程，從軸對(duì)稱(chēng)的角度去體會(huì)等腰三角形的特點(diǎn)．
2．探索并掌握等腰三角形的性質(zhì)．
（三）情感與價(jià)值觀要求
通過(guò)學(xué)生的操作和思考，使學(xué)生掌握等腰三角形的相關(guān)概念，并在探究等腰三角形性質(zhì)的過(guò)程中培養(yǎng)學(xué)生認(rèn)真思考的習(xí)慣．
教學(xué)重點(diǎn)
1．等腰三角形的概念及性質(zhì)．
2．等腰三角形性質(zhì)的應(yīng)用．
教學(xué)難點(diǎn)
等腰三角形三線合一的性質(zhì)的理解及其應(yīng)用．
教學(xué)方法
探究歸納法．
教具準(zhǔn)備
師：多媒體課件、投影儀；
生：硬紙、剪刀．
教學(xué)過(guò)程
Ⅰ．提出問(wèn)題，創(chuàng)設(shè)情境
[師]在前面的學(xué)習(xí)中，我們認(rèn)識(shí)了軸對(duì)稱(chēng)圖形，探究了軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)，并且能夠作出一個(gè)簡(jiǎn)面圖形關(guān)于某一直線的軸對(duì)稱(chēng)圖形，還能夠通過(guò)軸對(duì)稱(chēng)變換來(lái)設(shè)計(jì)一些美麗的圖案．這節(jié)課我們就是從軸對(duì)稱(chēng)的角度來(lái)認(rèn)識(shí)一些我們熟悉的幾何圖形．來(lái)研究：①三角形是軸對(duì)稱(chēng)圖形嗎？②什么樣的三角形是軸對(duì)稱(chēng)圖形？
[生]有的三角形是軸對(duì)稱(chēng)圖形，有的三角形不是．
[師]那什么樣的三角形是軸對(duì)稱(chēng)圖形？
[生]滿(mǎn)足軸對(duì)稱(chēng)的條件的三角形就是軸對(duì)稱(chēng)圖形，也就是將三角形沿某一條直線對(duì)折后兩部分能夠完全重合的就是軸對(duì)稱(chēng)圖形．
[師]很好，我們這節(jié)課就來(lái)認(rèn)識(shí)一種成軸對(duì)稱(chēng)圖形的三角形──等腰三角形．
Ⅱ．導(dǎo)入新課
[師]同學(xué)們通過(guò)自己的思考來(lái)做一個(gè)等腰三角形．
作一條直線L，在L上取點(diǎn)A，在L外取點(diǎn)B，作出點(diǎn)B關(guān)于直線L的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)C，連結(jié)AB、BC、CA，則可得到一個(gè)等腰三角形．
[生乙]在甲同學(xué)的做法中，A點(diǎn)可以取直線L上的任意一點(diǎn)．
[師]對(duì)，按這種方法我們可以得到一系列的等腰三角形．現(xiàn)在同學(xué)們拿出自己準(zhǔn)備的硬紙和剪刀，按自己設(shè)計(jì)的方法，也可以用課本P138探究中的方法，剪出一個(gè)等腰三角形．
……
[師]按照我們的做法，可以得到等腰三角形的定義：有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形．相等的兩邊叫做腰，另一邊叫做底邊，兩腰所夾的角叫做頂角，底邊與腰的夾角叫底角．同學(xué)們?cè)谧约鹤鞒龅牡妊切沃校⒚魉难⒌走叀㈨斀呛偷捉牵?/p>
[師]有了上述概念，同學(xué)們來(lái)想一想．
（演示課件）
1．等腰三角形是軸對(duì)稱(chēng)圖形嗎？請(qǐng)找出它的對(duì)稱(chēng)軸．
2．等腰三角形的兩底角有什么關(guān)系？
3．頂角的平分線所在的直線是等腰三角形的對(duì)稱(chēng)軸嗎？
4．底邊上的中線所在的直線是等腰三角形的對(duì)稱(chēng)軸嗎？底邊上的高所在的直線呢？
[生甲]等腰三角形是軸對(duì)稱(chēng)圖形．它的對(duì)稱(chēng)軸是頂角的平分線所在的直線．因?yàn)榈妊切蔚膬裳嗟龋园堰@兩條腰重合對(duì)折三角形便知：等腰三角形是軸對(duì)稱(chēng)圖形，它的對(duì)稱(chēng)軸是頂角的平分線所在的直線．
[師]同學(xué)們把自己做的等腰三角形進(jìn)行折疊，找出它的對(duì)稱(chēng)軸，并看它的兩個(gè)底角有什么關(guān)系．
[生乙]我把自己做的等腰三角形折疊后，發(fā)現(xiàn)等腰三角形的兩個(gè)底角相等．
[生丙]我把等腰三角形折疊，使兩腰重合，這樣頂角平分線兩旁的部分就可以重合，所以可以驗(yàn)證等腰三角形的對(duì)稱(chēng)軸是頂角的平分線所在的直線．
[生丁]我把等腰三角形沿底邊上的中線對(duì)折，可以看到它兩旁的部分互相重合，說(shuō)明底邊上的中線所在的直線是等腰三角形的對(duì)稱(chēng)軸．
[生戊]老師，我發(fā)現(xiàn)底邊上的高所在的直線也是等腰三角形的對(duì)稱(chēng)軸．
[師]你們說(shuō)的是同一條直線嗎？大家來(lái)動(dòng)手折疊、觀察．
[生齊聲]它們是同一條直線．
[師]很好．現(xiàn)在同學(xué)們來(lái)歸納等腰三角形的性質(zhì)．
[生]我沿等腰三角形的頂角的平分線對(duì)折，發(fā)現(xiàn)它兩旁的部分互相重合，由此可知這個(gè)等腰三角形的兩個(gè)底角相等，而且還可以知道頂角的平分線既是底邊上的中線，也是底邊上的高．
[師]很好，大家看屏幕．
（演示課件）
等腰三角形的性質(zhì)：
1．等腰三角形的兩個(gè)底角相等（簡(jiǎn)寫(xiě)成“等邊對(duì)等角”）．
2．等腰三角形的頂角平分線，底邊上的中線、底邊上的高互相重合（通常稱(chēng)作“三線合一”）．
[師]由上面折疊的過(guò)程獲得啟發(fā)，我們可以通過(guò)作出等腰三角形的對(duì)稱(chēng)軸，得到兩個(gè)全等的三角形，從而利用三角形的全等來(lái)證明這些性質(zhì)．同學(xué)們現(xiàn)在就動(dòng)手來(lái)寫(xiě)出這些證明過(guò)程）．
（投影儀演示學(xué)生證明過(guò)程）
[生甲]如右圖，在ABC中，AB=AC，作底邊BC的中線AD，因?yàn)?/p>
所以BAD≌CAD（SSS）．
所以∠B=∠C．
[生乙]如右圖，在ABC中，AB=AC，作頂角∠BAC的角平分線AD，因?yàn)?/p>
所以BAD≌CAD．
所以BD=CD，∠BDA=∠CDA=∠BDC=90°．
[師]很好，甲、乙兩同學(xué)給出了等腰三角形兩個(gè)性質(zhì)的證明，過(guò)程也寫(xiě)得很條理、很規(guī)范．下面我們來(lái)看大屏幕．
（演示課件）
[例1]如圖，在ABC中，AB=AC，點(diǎn)D在AC上，且BD=BC=AD，
求：ABC各角的度數(shù)．
[師]同學(xué)們先思考一下，我們?cè)賮?lái)分析這個(gè)題．
[生]根據(jù)等邊對(duì)等角的性質(zhì)，我們可以得到
∠A=∠ABD，∠ABC=∠C=∠BDC，
再由∠BDC=∠A+∠ABD，就可得到∠ABC=∠C=∠BDC=2∠A．
再由三角形內(nèi)角和為180°，就可求出ABC的三個(gè)內(nèi)角．
[師]這位同學(xué)分析得很好，對(duì)我們以前學(xué)過(guò)的定理也很熟悉．如果我們?cè)诮獾倪^(guò)程中把∠A設(shè)為x的話(huà)，那么∠ABC、∠C都可以用x來(lái)表示，這樣過(guò)程就更簡(jiǎn)捷．
（課件演示）
[例]因?yàn)锳B=AC，BD=BC=AD，
所以∠ABC=∠C=∠BDC．
∠A=∠ABD（等邊對(duì)等角）．
設(shè)∠A=x，則
∠BDC=∠A+∠ABD=2x，
從而∠ABC=∠C=∠BDC=2x．
于是在ABC中，有
∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180°，
解得x=36°．
在ABC中，∠A=35°，∠ABC=∠C=72°．
[師]下面我們通過(guò)練習(xí)來(lái)鞏固這節(jié)課所學(xué)的知識(shí)．
Ⅲ．隨堂練習(xí)
（一）課本P141練習(xí)1、2、3．
練習(xí)
1．如下圖，在下列等腰三角形中，分別求出它們的底角的度數(shù)．
答案：（1）72°（2）30°
2．如右圖，ABC是等腰直角三角形（AB=AC，∠BAC=90°），AD是底邊BC上的高，標(biāo)出∠B、∠C、∠BAD、∠DAC的度數(shù)，圖中有哪些相等線段？
答案：∠B=∠C=∠BAD=∠DAC=45°；AB=AC，BD=DC=AD．
3．如右圖，在ABC中，AB=AD=DC，∠BAD=26°，求∠B和∠C的度數(shù)．
答：∠B=77°，∠C=38.5°．
（二）閱讀課本P138～P140，然后小結(jié)．
Ⅳ．課時(shí)小結(jié)
這節(jié)課我們主要探討了等腰三角形的性質(zhì)，并對(duì)性質(zhì)作了簡(jiǎn)單的應(yīng)用．等腰三角形是軸對(duì)稱(chēng)圖形，它的兩個(gè)底角相等（等邊對(duì)等角），等腰三角形的對(duì)稱(chēng)軸是它頂角的平分線，并且它的頂角平分線既是底邊上的中線，又是底邊上的高．
我們通過(guò)這節(jié)課的學(xué)習(xí)，首先就是要理解并掌握這些性質(zhì)，并且能夠靈活應(yīng)用它們．
Ⅴ．課后作業(yè)
（一）課本P147─1、3、4、8題．
（二）1．預(yù)習(xí)課本P141～P143．
2．預(yù)習(xí)提綱：等腰三角形的判定．
Ⅵ．活動(dòng)與探究
如右圖，在ABC中，過(guò)C作∠BAC的平分線AD的垂線，垂足為D，DE∥AB交AC于E．
求證：AE=CE．
過(guò)程：通過(guò)分析、討論，讓學(xué)生進(jìn)一步了解全等三角形的性質(zhì)和判定，等腰三角形的性質(zhì)．
結(jié)果：
證明：延長(zhǎng)CD交AB的延長(zhǎng)線于P，如右圖，在ADP和ADC中
ADP≌ADC．
∠P=∠ACD．
又DE∥AP，
∠4=∠P．
∠4=∠ACD．
DE=EC．
同理可證：AE=DE．
AE=CE．
板書(shū)設(shè)計(jì)
§14．3．1．1等腰三角形（一）
一、設(shè)計(jì)方案作出一個(gè)等腰三角形
二、等腰三角形性質(zhì)
1．等邊對(duì)等角
2．三線合一
三、例題分析
四、隨堂練習(xí)
五、課時(shí)小結(jié)
六、課后作業(yè)
備課資料
參考練習(xí)
一、選擇題
1．如果ABC是軸對(duì)稱(chēng)圖形，則它的對(duì)稱(chēng)軸一定是（）
A．某一條邊上的高;B．某一條邊上的中線
C．平分一角和這個(gè)角對(duì)邊的直線;D．某一個(gè)角的平分線
2．等腰三角形的一個(gè)外角是100°，它的頂角的度數(shù)是（）
A．80°B．20°C．80°和20°D．80°或50°
答案：1．C2．C
二、已知等腰三角形的腰長(zhǎng)比底邊多2cm，并且它的周長(zhǎng)為16cm．
求這個(gè)等腰三角形的邊長(zhǎng)．
解：設(shè)三角形的底邊長(zhǎng)為xcm，則其腰長(zhǎng)為（x+2）cm，根據(jù)題意，得
2（x+2）+x=16．
等腰三角形的性質(zhì)范文3
例1已知一個(gè)等腰三角形一腰上的中線將這個(gè)三角形的周長(zhǎng)分為12和9兩部分，求這個(gè)三角形的腰長(zhǎng)和底邊長(zhǎng).
分析：等腰三角形被一條中線分成的兩部分，一部分是由一腰和另一腰的一半組成的，另一部分是由底和一腰的一半組成的.哪部分為12，哪部分為9呢？從下面兩圖形（圖1）中可以看出，存在兩種可能，故應(yīng)當(dāng)把兩種情況都考慮進(jìn)去.
所以三角形的腰長(zhǎng)為8，底邊長(zhǎng)為5；或腰長(zhǎng)為6，底邊長(zhǎng)為9.
例2已知一個(gè)等腰三角形的一條邊上的高等于這條邊的一半，求頂角的度數(shù).
分析：這條邊可能是底邊，也可能是腰，所以需要分情況討論.
解：(1)若這條邊為底邊時(shí)，如圖2，ADBC，AD＝BD＝CD，則ABD和ACD為等腰直角三角形，所以∠BAC＝45O＋45O＝90O；
(2)這條邊為腰時(shí)，
所以∠DAC＝30O，所以∠BAC＝150O.
故可知這個(gè)等腰三角形的頂角可能是90O或30O或150O.
例3 已知點(diǎn)A和點(diǎn)B，以它們?yōu)閮蓚€(gè)頂點(diǎn)作等腰直角三角形，則一共可作出（ ）.
A.3個(gè) B.4個(gè) C.6個(gè) D.7個(gè)
分析：本題沒(méi)有指明AB是腰還是底邊，所以需分類(lèi)討論.
解：（1）以AB為底邊，有C1、C2兩個(gè)點(diǎn)符合要求，如圖5；
解析：當(dāng)10cm的邊為腰，6cm的邊為底時(shí)，其周長(zhǎng)為10＋10＋6=26cm；當(dāng)10cm的邊為底，6cm的邊為腰時(shí)，其周長(zhǎng)為10＋6＋6=22cm.因此，該等腰三角形的周長(zhǎng)是22cm或26cm.應(yīng)選D.
請(qǐng)思考：若等腰三角形的兩邊長(zhǎng)分別為9cm和4cm，求其周長(zhǎng)時(shí)，還會(huì)有兩解嗎？為什么？（一解，22cm）
例5已知等腰三角形的周長(zhǎng)為20cm，一邊長(zhǎng)為8cm，則其它兩邊長(zhǎng)分別是______.
解析：若長(zhǎng)為8cm的邊是腰，則另一腰也是8cm，底邊為4cm；若長(zhǎng)為8cm的邊是底邊，則每一條腰長(zhǎng)＝（20－8）＝6cm.故答案為8cm，4cm；或6cm，6cm.
請(qǐng)思考：若等腰三角形周長(zhǎng)為20cm，一邊長(zhǎng)為4cm，求其它兩邊長(zhǎng)時(shí)，還會(huì)有兩解嗎？為什么？（一解，8cm，8cm）
等腰三角形的性質(zhì)范文4
一、相關(guān)知識(shí)回顧
1，等腰三角形的定義：有兩邊相等的三角形是等腰三角形。
2，線段垂直平分線的性質(zhì)：線段垂直平分線上任何一點(diǎn)到這條線段兩端點(diǎn)距離相等。
二、已知等腰三角形兩個(gè)頂點(diǎn)，探求第三點(diǎn)的位置所在已知線段AB，求作一點(diǎn)C，使AABC為等腰三角形。
由等腰三角形的定義可知：點(diǎn)C在以點(diǎn)A為圓心，AB為半徑的圓上或在以點(diǎn)B為圓心，BA為半徑的圓上(與直線AB的交點(diǎn)除外)。
由線段垂直平分線的性質(zhì)可知：點(diǎn)C在線段AB的垂直平分線上(與AB的交點(diǎn)除外)。
由此可得：點(diǎn)C只能在以上述作法的兩個(gè)圓上或AB的垂直平分線上(與AB的交點(diǎn)除外)，如圖1虛線部分。
三、中考試題分析
例l (2005年山東省東營(yíng)市)如圖2，在直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，已知點(diǎn)A(1，1)，在X軸上確定點(diǎn)P，使AOP為等腰三角形，則符合條件的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)共有(
)。
(A)4個(gè)
(B)3個(gè)
(C)2個(gè)
(D)1個(gè)
析解：已知點(diǎn)A與O是等腰三角形的兩個(gè)頂點(diǎn)，在X軸上尋找滿(mǎn)足條件的點(diǎn)P可按如下方法：
如圖3，(1)以A為圓心，AO為半徑畫(huà)圓，與X軸有異于點(diǎn)O的一點(diǎn)，記為Pl；以O(shè)為圓心，OA為半徑畫(huà)弧，與X軸有兩個(gè)交點(diǎn)，記為P2、P3；
(2)線段OA的垂直平分線與X軸有一個(gè)交點(diǎn)，記為P4。
綜上可得：符合條件的點(diǎn)P共有4個(gè)，故選A。
例2(2007年重慶市)已知，如圖4，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，四邊形OABC是矩形，點(diǎn)A、C的坐標(biāo)分別為A(10，0)、C(0，4)，點(diǎn)D是OA的中點(diǎn)，點(diǎn)P在BC邊上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)ODP是腰長(zhǎng)為5的等腰三角形時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為_(kāi)____________。
析解：易知，點(diǎn)D與O是等腰三角形的兩個(gè)頂點(diǎn)，在邊BC上尋找滿(mǎn)足條件的點(diǎn)P可按如下方法：
如圖5，(1)以O(shè)為圓心，OD(長(zhǎng)為5)為半徑畫(huà)圓，與BC邊有一個(gè)交點(diǎn)，記為P1；以D為圓心，DO為半徑畫(huà)圓，與BC邊有兩個(gè)交點(diǎn)，記為P2、P3，由已知結(jié)合勾股定理等知識(shí)可算得：P1(3，4)、P2(2，4)、P3(8，4)。
(2)線段OD的垂直平分線與邊BC的交點(diǎn)P4，但此時(shí)等腰三角形的腰長(zhǎng)不等于5，不合題意。
因此符合條件的點(diǎn)共有3個(gè)，其坐標(biāo)分別是(3，4)、(2，4)、(8，4)。
例3 (2001年江蘇省徐州市)邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖6所示，在平面內(nèi)找點(diǎn)P，使APAB、APBC、APCD、APDA同時(shí)為等腰三角形，這樣的點(diǎn)P有幾個(gè)?作出這些點(diǎn)(保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法)，并寫(xiě)出它們的坐標(biāo)(不必寫(xiě)出解答過(guò)程)。
析解：(1)如圖7，以AD為等腰三角形的底，而X軸為AD的垂直平分線，所以所求的點(diǎn)P必在X軸上。
以點(diǎn)A為圓心，AB長(zhǎng)為半徑畫(huà)圓，與X軸有兩個(gè)交點(diǎn)，記為P1，P2，由AD∥BC且AB=CD可推知，P1，P2兩點(diǎn)符
等腰三角形的性質(zhì)范文5
三角形的全等和相似是研究圖形問(wèn)題最基本的方法和策略. 它是研究四邊形、圓等復(fù)雜圖形以及函數(shù)等知識(shí)的重要工具.
三角形的知識(shí)在中考試題中占有相當(dāng)重要的地位，希望同學(xué)們努力掌握好基礎(chǔ)知識(shí)以及最基本的解決問(wèn)題的方法和策略，能靈活地解決相關(guān)問(wèn)題.
等腰三角形中的分類(lèi)討論
等腰三角形是初中數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)內(nèi)容之一，中考考點(diǎn)的核心就是它與分類(lèi)討論結(jié)合考查. 舉例如下：
一、 關(guān)于角的討論
例1 （2013·欽州）等腰三角形的一個(gè)角是80°，則它頂角的度數(shù)是（）.
A. 80° B. 80°或20°
C. 80°或50° D. 20°
【解析】分80°角是頂角與底角兩種情況討論：①80°角是頂角時(shí)，三角形的頂角為80°；②80°角是底角時(shí)，頂角為180°-80°×2=20°. 綜上所述，該等腰三角形頂角的度數(shù)為80°或20°. 故選B.
【變式】若將80°改為100°要注意100°角不能做底角.
例2 在ABC中，∠A=50°，當(dāng)∠B=_____°時(shí)，ABC是等腰三角形.
【解析】①∠B是頂角時(shí)，∠A一定是底角，則有∠B=80°；②∠B角是底角時(shí)，∠A若是底角，則有∠B=50°，∠A若是頂角，得∠B=65°.
【點(diǎn)評(píng)】這一類(lèi)問(wèn)題考查了等腰三角形的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理；題目中沒(méi)有明確頂角或底角，做題時(shí)要注意分情況進(jìn)行討論，這是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.
二、 關(guān)于邊的討論
例3 （2013·淮安）若等腰三角形有兩條邊的長(zhǎng)度為3和1，則此等腰三角形的周長(zhǎng)為（）.
A. 5 B. 7 C. 5或7 D. 6
【解析】因?yàn)橐阎L(zhǎng)度為3和1兩邊，沒(méi)有明確是底邊還是腰，所以有兩種情況，需要分類(lèi)討論. ①當(dāng)3為底時(shí)，其他兩邊都為1，1+1<3，∴不能構(gòu)成三角形，故舍去；②當(dāng)3為腰時(shí)，其他兩邊為3和1，3、3、1可以構(gòu)成三角形，周長(zhǎng)為7.
【變式1】（2013·涼山州）已知實(shí)數(shù)x，y滿(mǎn)足x-4+=0，則以x，y的值為兩邊長(zhǎng)的等腰三角形的周長(zhǎng)是______.
【答案】20.
【變式2】已知關(guān)于x的一元二次方程x2-（2k+1）x+4（k-0.5）=0.
（1） 判斷這個(gè)一元二次方程的根的情況；
（2） 若等腰三角形的一邊長(zhǎng)為3，另兩條邊的長(zhǎng)恰好是這個(gè)方程的兩個(gè)根，求這個(gè)等腰三角形的周長(zhǎng)及面積.
【答案】（1） b2-4ac=（2k-3）2≥0，所以方程有實(shí)數(shù)根.
（2） 分兩種情況討論：①若腰為3，則x=3是方程的一個(gè)根，可求得三邊為3，3，2.那么這個(gè)等腰三角形的周長(zhǎng)為8，面積為2. ②若底為3，則b2-4ac=（2k-3）2=0，可求得三邊為2，2，3. 那么這個(gè)等腰三角形的周長(zhǎng)為7，面積為.
【點(diǎn)評(píng)】本例考查了等腰三角形的性質(zhì)和三角形的三邊關(guān)系；在已知條件中沒(méi)有明確腰和底邊的題目一定要想到兩種情況，分類(lèi)進(jìn)行討論，還應(yīng)驗(yàn)證各種情況是否能構(gòu)成三角形，這點(diǎn)非常重要，也是解題的關(guān)鍵.
例4 （2013·玉林）如圖1，在直角坐標(biāo)系中，O是原點(diǎn)，已知A（4，3），P是坐標(biāo)軸上的一點(diǎn)，若以O(shè)，A，P三點(diǎn)組成的三角形為等腰三角形，則滿(mǎn)足條件的點(diǎn)P共有______個(gè)，寫(xiě)出其中一個(gè)點(diǎn)P的坐標(biāo)是______.
【解析】本例考查了等腰三角形的判定、坐標(biāo)與圖形的性質(zhì). 如圖2，從x軸上考慮，以O(shè)A為腰長(zhǎng)的等腰三角形有3個(gè)，P4（5，0），P2（8，0），P5（-5，0），以O(shè)A為底邊的等腰三角形有1個(gè)，P8
，0. y軸上情況與x軸相似，P3（0，5），P1（0，6），P6（0，-5），P70
，，故滿(mǎn)足條件的點(diǎn)P共有8個(gè).
【變式1】如圖3，一種電子游戲，電子屏幕上有一正方形ABCD，點(diǎn)P沿直線AB左右移動(dòng)，當(dāng)出現(xiàn)：點(diǎn)P與正方形四個(gè)頂點(diǎn)中的任意兩個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成等腰三角形時(shí)，就會(huì)發(fā)出警報(bào)，則直線AB上會(huì)發(fā)出警報(bào)的點(diǎn)P有______個(gè).
【答案】設(shè)正方形邊長(zhǎng)為a. 分類(lèi)討論如下：①腰長(zhǎng)為a的等腰三角形有4個(gè)；②腰長(zhǎng)為a的等腰三角形有4個(gè)；③以CD為底邊的等腰三角形有1個(gè). 共9個(gè).
【變式2】如圖4，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A，C分別在x軸，y軸上，四邊形ABCO為矩形，AB=16，點(diǎn)D與點(diǎn)A關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，=，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是線段AD，AC上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)E不與點(diǎn)A，D重合），且∠CEF=∠ACB.
（1） 求AC的長(zhǎng)和點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2） 說(shuō)明AEF與DCE相似；
（3） 當(dāng)EFC為等腰三角形時(shí)，求點(diǎn)E的坐標(biāo).
【答案】（1） AC=20，D（12，0）；
（2） 欲證AEF與DCE相似，只需要證明兩個(gè)對(duì)應(yīng)角相等. ∠CDE=∠CAO，∠AEF
=∠DCE；
（3） 當(dāng)EFC為等腰三角形時(shí)，有三種情況：①當(dāng)CE=EF時(shí)，AEF與DCE的相似比為1，則有AE=CD=20，E（8，0）.
②當(dāng)EF=FC時(shí)，此時(shí)過(guò)點(diǎn)F作FM⊥CE于M，則點(diǎn)M為CE的中點(diǎn)，F(xiàn)ME∽ABC得出=，那么AEF∽DCE的相似比為5∶6，E
，0.
③當(dāng)CE=CF時(shí)，F(xiàn)點(diǎn)與A點(diǎn)重合，E點(diǎn)與D點(diǎn)重合，這與已知條件矛盾，故此種情況不存在.
例5 如圖5，半圓O的半徑為4 cm，AB是☉O的直徑，BC切☉O于點(diǎn)B，且BC=4 cm，當(dāng)點(diǎn)P在☉O上運(yùn)動(dòng)時(shí)，是否存在點(diǎn)P，使得PBC為等腰三角形？若存在，有幾個(gè)符合條件的點(diǎn)P，并分別求出點(diǎn)P到線段BC的距離；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.
【解析】本例是等腰三角形與圓相結(jié)合的一個(gè)綜合題，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是分BC為腰、BC為底邊兩種情況來(lái)解決. 如圖6，①BP1=BC，②CP2=BC，③CP=BP，即作BC的垂直平分線交☉O于P3，P4.
例6 如圖7，拋物線y=-x2+4x+n經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（1，0），與y軸交于點(diǎn)B.
（1） 求拋物線解析式和頂點(diǎn)坐標(biāo)；
（2） 若P是坐標(biāo)軸上一點(diǎn)，且PAB是以AB為腰的等腰三角形，試求P點(diǎn)坐標(biāo).
【解析】本例是等腰三角形與二次函數(shù)結(jié)合的綜合題.
（1） 由該函數(shù)圖像經(jīng)過(guò)A點(diǎn)（1，0），由0=-1+4+n得n=-3，解析式是y=-x2+4x-3
=-（x-2）2+1，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，1）.
（2） 由題意知，B點(diǎn)坐標(biāo)是（0，-3），AB的長(zhǎng)是，要注意的是問(wèn)題中強(qiáng)調(diào)“以AB為腰”所以不必習(xí)慣性地分AB為腰，AB為底邊兩類(lèi)討論，而是分P點(diǎn)在x軸或y軸上進(jìn)行討論. ①當(dāng)P點(diǎn)在x軸上時(shí)，P點(diǎn)坐標(biāo)為（1+，0），（1-，0），（-1，0）；②當(dāng)P點(diǎn)在y軸上時(shí)，P點(diǎn)坐標(biāo)為（0，3） ，（0，-3+），（0，-3-）.
【變式】如圖8，已知二次函數(shù)的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（3，3）、B（4，0）和原點(diǎn)O. P為二次函數(shù)圖像上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線，垂足為D（m，0），并與直線OA交于點(diǎn)C.
（1） 求出二次函數(shù)的解析式；
（2） 當(dāng)點(diǎn)P在直線OA的上方時(shí)，用含m的代數(shù)式表示線段PC的長(zhǎng)，并求線段PC的最大值；
（3） 當(dāng)m>0時(shí)，探索是否存在點(diǎn)P，使得PCO為等腰三角形，如果存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出所有P的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.
【答案】（1） 設(shè)y=ax2+bx，把A、B點(diǎn)坐標(biāo)代入，求出解析式為y=-x2+4x；
（2） 根據(jù)點(diǎn)P（m，-m2+4m），點(diǎn)C（m，m）的坐標(biāo)代入，得PC=PD-CD=-m2+4m-m=-m2
+3m=-m
-2+，PC的最大值為；
（3） 當(dāng)0
當(dāng)m≥3時(shí)，PC=m2-3m，OC=m，分三種情況：
①當(dāng)OC=PC時(shí)，m2-3m=m，解得：m=3+或m=0（舍去），P（3+，1-2）；
②當(dāng)OC=OP時(shí)，（m）2=m2+（-m2+4m）2，解得：m1=5，m2=3（舍去），P（5，-5）；
等腰三角形的性質(zhì)范文6
所謂“操作”，是指人用手活動(dòng)的一種行為，也是一種技能，含義很廣泛.一般是指勞動(dòng)、勞作，或者按照一定的規(guī)范和要領(lǐng)操縱動(dòng)作，數(shù)學(xué)中的操作題一般是需要對(duì)數(shù)的設(shè)置或?qū)D形的變換、剪拼等，由于此類(lèi)試題既可以有效地鞏固數(shù)學(xué)知識(shí)，又可以提高同學(xué)們的動(dòng)手能力，所以中考中頻頻“上演”此類(lèi)問(wèn)題.
重點(diǎn)題型例析
一、對(duì)數(shù)的操作
例1（2014.婁底）按照下面所示的操作步驟，若輸入值為3，則輸出的值為_(kāi)_______.
分析：由操作程序可知，32=9
解：由32=9
反思：解此類(lèi)題時(shí)，應(yīng)正確地選擇運(yùn)算操作程序，避免：①錯(cuò)選“否”的運(yùn)算程序；②錯(cuò)把10作為一個(gè)結(jié)果參與運(yùn)算；③不按每一步的結(jié)果得數(shù)進(jìn)行計(jì)算，如32+2x5=19.
二、對(duì)式的操作
例2 （2014.臺(tái)州）有一個(gè)計(jì)算程序，每次運(yùn)算都是把一個(gè)數(shù)先乘以2，再除以它與1的和，多次重復(fù)進(jìn)行這種運(yùn)算的過(guò)程如下：
則第n次的運(yùn)算結(jié)果=________.（用含字母x和n的代數(shù)式表示）
分析：要探究操作的第n次運(yùn)算結(jié)果，可分別將第2、3、4次的分式計(jì)算、化簡(jiǎn)，再將化簡(jiǎn)后的分式列表分析、發(fā)現(xiàn)規(guī)律.
解：依題意，可列表如表1.
四、閱讀與操作
例4 （2014.山西）閱讀下列材料，按要求完成相應(yīng)的任務(wù).
幾何中，平行四邊形、矩形、菱形、正方形和等腰梯形都是特殊的四邊形，大家對(duì)于它們的性質(zhì)都非常熟悉，生活中還有一種特殊的四邊形――箏形，所謂箏形，它的形狀與我們生活中風(fēng)箏的骨架相似.
定義：兩組鄰邊分別相等的四邊形，稱(chēng)之為箏形，如圖4，四邊形∠ABCD是箏形，其中AB=AD，CB=CD.
判定：①兩組鄰邊分別相等的四邊形是箏形.②有一條對(duì)角線垂直平分另一條對(duì)角線的四邊形是箏形.
顯然，菱形是特殊的箏形，就一般箏形而言，它與菱形有許多相同點(diǎn)和不同點(diǎn).如果只研究一般的箏形（不包括菱形），請(qǐng)根據(jù)以上材料完成下列任務(wù)：
（1）清說(shuō)出箏形和菱形的相同點(diǎn)和不同點(diǎn)各兩條.
（2）請(qǐng)仿照如圖5的畫(huà)法，在如圖6所示的8x8網(wǎng)格中重新設(shè)計(jì)一個(gè)由四個(gè)全等的箏形和四個(gè)全等的菱形組成的新圖案，具體要求如下：①頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上；②所設(shè)計(jì)的圖案既是軸對(duì)稱(chēng)圖形又是中心對(duì)稱(chēng)圖形；③將新圖案中的四個(gè)箏形都涂上陰影（建議用一系列平行斜線表示陰影）.
分析：（1）利用菱形的性質(zhì)以及結(jié)合圖形得出箏形的性質(zhì)分別得出異同點(diǎn)即可.（2）利用軸對(duì)稱(chēng)圖形和中心對(duì)稱(chēng)圖形的定義結(jié)合題意得出答案，顯然答案不唯一.
解：（1）相同點(diǎn)：①兩組鄰邊分別相等；②有一組對(duì)角相等；③有一條對(duì)角線垂直平分另一條對(duì)角線：④有一條對(duì)角線平分一組對(duì)角；⑤都是軸對(duì)稱(chēng)圖形；⑥面積等于對(duì)角線乘積的一半.不同點(diǎn)：①菱形的對(duì)角線互相平分，箏形的對(duì)角線不互相平分；②菱形的四邊都相等，箏形只有兩組鄰邊分別相等；③菱形的兩組對(duì)邊分別平行，箏形的對(duì)邊不平行；④菱形的兩組對(duì)角分別相等，箏形只有一組對(duì)角相等；⑤菱形的鄰角互補(bǔ)，箏形的鄰角不互補(bǔ)；⑥菱形既是軸對(duì)稱(chēng)圖形又是中心對(duì)稱(chēng)圖形，箏形是軸對(duì)稱(chēng)圖形不是中心對(duì)稱(chēng)圖形.（2）答案不唯一，如圖7所示中的任意一種情形.
反思：求解此類(lèi)問(wèn)題時(shí)，一定要充分借助網(wǎng)格特點(diǎn)進(jìn)行作圖，解題的關(guān)鍵是正確理解平移、軸對(duì)稱(chēng)、旋轉(zhuǎn)以及中心對(duì)稱(chēng)圖形、軸對(duì)稱(chēng)圖形的意義.
五、裁剪操作
例5 （2014.寧波）用正方形硬紙板做三棱柱盒子，每個(gè)盒子由3個(gè)矩形側(cè)面和2個(gè)正三角形底面組成，硬紙板以如圖8所示的兩種方法裁剪（裁剪后邊角不再利用）.
A方法：剪6個(gè)側(cè)面：B方法：剪4個(gè)側(cè)面和5個(gè)底面，
現(xiàn)有19張硬紙板，裁剪時(shí)x張用A方法，其余用B方法.
（1）用含x的代數(shù)式分別表示裁剪出的側(cè)面和底面?zhèn)€數(shù).
（2）若裁剪出的側(cè)面和底面恰好全部用完，則能做多少個(gè)盒子？
分析：（1）根據(jù)一張硬紙板用A方法剪6個(gè)側(cè)面 ，B
六、對(duì)圖形的分割操作
例6 （2014.漳州）如圖9，ABC中，AB=AC，∠A=36。，稱(chēng)滿(mǎn)足此條件的三角形為黃金等腰三角形.請(qǐng)完成以下操作（畫(huà)圖不要求使用圓規(guī)，以下問(wèn)題所指的等腰三角形個(gè)數(shù)均不包括ABC）：
（1）在圖9中畫(huà)1條線段，使圖中有2個(gè)等腰三角形，并直接寫(xiě)出這2個(gè)等腰三角形的頂角度數(shù)分別是______度和______度.
（2）在圖10中畫(huà)2條線段，使圖中有4個(gè)等腰三角形.
（3）繼續(xù)按以上操作發(fā)現(xiàn)：在ABC中畫(huà)n條線段，則圖中有______個(gè)等腰三角形，其中有______個(gè)黃金等腰三角形.
分析：（1）利用等腰三角形的性質(zhì)以及∠A的度數(shù)，進(jìn)而得出這兩個(gè)等腰三角形的頂角度數(shù).（2）利用（1）中思路進(jìn)而得出符合題意的圖形.（3）利用畫(huà)1條線段可得到2個(gè)等腰三角形，畫(huà)兩條線段可得到4個(gè)等腰三角形，畫(huà)3條線段可得到6個(gè)等腰三角形，進(jìn)而得出規(guī)律求出答案.
解：（1）如圖9所示AB=AC，∠A =36。，故當(dāng)AE=BE時(shí)，∠A= ∠ABE=36。，則∠AEB=108。，則∠EBC=36。，故這兩個(gè)等腰三角形的頂角度數(shù)分別是108度和36度.
（2）畫(huà)法不唯一，如圖10所示，四個(gè)等腰三角形分別是：ABE，BCE，BEF，CEF
（3）如圖11.畫(huà)1條線段可得到兩個(gè)等腰三角形，畫(huà)兩條線段可得到4個(gè)等腰三角形，畫(huà)3條線段可得到6個(gè)等腰三角形，…，在ABC中畫(huà)n條線段，則圖中有2n個(gè)等腰三角形，其中有n個(gè)黃金等腰三角形.
反思：本題既是一道操作題，又是一道問(wèn)題的探究題，求解時(shí)應(yīng)注意作圖技巧，靈活運(yùn)用等腰三角形的性質(zhì)，其中探究出分割圖形的規(guī)律是解題關(guān)鍵.另外，在（2）中當(dāng)畫(huà)出線段BE時(shí)，余下的也可以過(guò)C作∠C的平分線交BE于點(diǎn)F
七、折疊操作
例7 （2014 臨沂）對(duì)一張矩形紙片ABCD進(jìn)行折疊，具體操作如下：
第一步：先對(duì)折，使AD與BC重合，得到折痕MN，展開(kāi)，
第二步：再一次折疊，使點(diǎn)A落在MN上的點(diǎn)A’處，并使折痕經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，得到折痕BE，同時(shí)，得到線段BA’，EA’，展開(kāi)，如圖12.
第三步：再沿EA’所在的直線折疊，點(diǎn)B落在AD上的點(diǎn)B'處，得到折痕EF，同時(shí)得到線段B’F，展開(kāi)，如圖13.
（1）證明：∠A BE=300.
（2）證明：四邊形BFB’E為菱形.
分析：（1）根據(jù)點(diǎn)M是AB的中點(diǎn)判斷出A’是EF的中點(diǎn)，然后判斷出BA'垂直平分EF，根據(jù)線段垂直平分線上的點(diǎn)到兩端點(diǎn)的距離相等可得BE=BF，再根據(jù)等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)可得∠A’BE=∠A 'BF，根據(jù)翻折的性質(zhì)可得∠ABE= ∠A 'BE，然后根據(jù)矩形的四個(gè)角都是直角計(jì)算即可得證.（2）根據(jù)翻折變換的性質(zhì)可得BE=B'E，BF=B'F，然后得出BE=B'E=B'F=BF，再根據(jù)四條邊都相等的四邊形是菱形證明.
解：（1）由對(duì)折AD與BC重合，折痕是MN，故點(diǎn)M是AB的中點(diǎn)，故A’是EF的中點(diǎn)，因∠BA’E= ∠A =90。，故BA’垂直平分EF，故BE=BF，故∠A' BE= ∠A 'BF，由翻折的性質(zhì)，∠ABE=∠A'BE，故∠ABE= ∠A 'BE=∠A，BF，故∠ABE（）×90。=30。.
（2）沿EA’所在的直線折疊，點(diǎn)B落在AD上的點(diǎn)B’處，故BE=B'E，BF=B'F因BE=BF，故BE=B'E=B'F=BF，故四邊形BFB'E為菱形.
反思：本題通過(guò)操作，意在考查矩形、菱形、線段垂直平分線等知識(shí).解答折疊問(wèn)題的一般思路：分清折疊前后的對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角、對(duì)稱(chēng)軸，利用對(duì)稱(chēng)軸是對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線尋找相等的線段或角，進(jìn)行相關(guān)的計(jì)算或證明.
中考命題預(yù)測(cè)
1.在ABC中，AB>BC>AC，D是AC的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作直線l，使截得的三角形與原三角形相似，這樣的直線l有____條.
2.如圖14，將網(wǎng)格中的三條線段沿網(wǎng)格線平移后組成一個(gè)首尾相接的三角形，至少需要移動(dòng)____格.
3.如圖15，將一副七巧板拼成一只小動(dòng)物，則∠AOB=____.
4.如圖16，小亮拿一張矩形紙如圖16 （1），沿虛線對(duì)折一次得圖16 （2），將對(duì)角兩頂點(diǎn)重合折疊得圖16（3）.按圖16（4）沿折痕中點(diǎn)與重合頂點(diǎn)的連線剪開(kāi)，得到三個(gè)圖形，這三個(gè)圖形分別是（）.
A.都是等腰梯形
B.都是等邊三角形
C.兩個(gè)直角三角形，一個(gè)等腰三角形
D.兩個(gè)直角三角形，一個(gè)等腰梯形
5.在我們學(xué)習(xí)過(guò)的數(shù)學(xué)教科書(shū)中，有一個(gè)數(shù)學(xué)活動(dòng)，其具體操作過(guò)程是：
第一步：對(duì)折矩形紙片ABCD，使AD與BC重合，得到折痕EF，把紙片展開(kāi)（如圖17）：
第二步：再一次折疊紙片，使點(diǎn)A落在EF上，并使折痕經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，得到折痕BM，同時(shí)得到線段BN（如圖l8）.
請(qǐng)解答以下問(wèn)題：
（1）如圖18，若延長(zhǎng)MN交BC于P，BMP是什么三角形？請(qǐng)證明你的結(jié)論.
（2）在圖18中，若AB=a，BC=b，a、b滿(mǎn)足什么關(guān)系，才能在矩形紙片ABCD上剪出{符合（1）中結(jié)論的三角形紙片BMP？
6.現(xiàn)有一張長(zhǎng)和寬之比為2：1的長(zhǎng)方形紙片，將它折兩次（第一次折后也可以打開(kāi)鋪平再折第二次）.使得折痕將紙片分為面積相等且不重疊的四個(gè)部分（稱(chēng)為一個(gè)操作），如圖19（虛線表示折痕）.
除圖19外，請(qǐng)你再給出三個(gè)不同的操作，分別將折痕畫(huà)在圖20（1）至圖20（3）中（規(guī)定：一個(gè)操作得到的四個(gè)圖形，和另一個(gè)操作得到的四個(gè)圖形，如果能夠“配對(duì)”得到四組全等的圖形，那么就認(rèn)為是相同的操作.如圖19（2）和圖19（1）是相同的操作）.（上接第26頁(yè)）點(diǎn)同時(shí)從點(diǎn)P 出發(fā)，點(diǎn)A以5 cm/s的速度沿射線PM方向運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)B以4 cm/s的速度沿射線PN方向運(yùn)動(dòng).設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)問(wèn)為t（s）.
（1）求PQ的長(zhǎng).
（2）當(dāng)t為何值時(shí)，直線AB與00相切？
3.如圖8，在平行四邊形ABCD中.AD=4 cm，∠A=60。，BD AD.一動(dòng)點(diǎn)P從A出發(fā)，以每秒l cm的速度沿ABC的路線勻速運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)P作直線PM，使PMAD.