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排列組合例題范文1

1 數(shù)形結(jié)合的思想

我國(guó)著名數(shù)學(xué)家華羅庚說(shuō)過(guò)：“數(shù)缺形時(shí)少直觀(guān)，形少數(shù)時(shí)難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬(wàn)事休.”在教學(xué)過(guò)程中引導(dǎo)學(xué)生充分利用數(shù)形結(jié)合的方法，仔細(xì)觀(guān)察，合理聯(lián)想由形及數(shù)，由數(shù)構(gòu)形，發(fā)現(xiàn)本質(zhì)的形數(shù)特征，使問(wèn)題簡(jiǎn)化.

例1 有7位朋友見(jiàn)面，任何兩人都互相握手，且不重復(fù)，問(wèn)共需要握手多少次？

C =2 1次.

2 特殊化歸納的思想

當(dāng)碰到新問(wèn)題或數(shù)字較大，直接求解較復(fù)雜時(shí)，這時(shí)不妨先研究簡(jiǎn)單的特殊情況，從中找到解決問(wèn)題的方法，再來(lái)研究復(fù)雜的問(wèn)題，往往能化繁為簡(jiǎn)，收到事半功倍的效果.

例2 連結(jié)凸邊形三個(gè)頂點(diǎn)的線(xiàn)段構(gòu)成的三角形中，與原邊形沒(méi)有公共邊的三角形有多少個(gè)？

−− =−−個(gè).

3分類(lèi)討論的思想

分類(lèi)討論是一種基本的思想，當(dāng)問(wèn)題比較復(fù)雜時(shí)，不能用同一概念、法則、公式或方法求解時(shí)，就應(yīng)按照情況進(jìn)行分類(lèi)討論.分類(lèi)過(guò)程中要注意分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)明確，層次分明，不重不漏.

例3 有1 0級(jí)的階梯，可以一次走一級(jí)或二級(jí)（不可逆行），問(wèn)共有多少種不同的走法？

分析 可按走二級(jí)的步數(shù)進(jìn)行分類(lèi)，走二級(jí)的步數(shù)為0 ，1 ，2 ，3 ，4 ，5 ；相應(yīng)的總步數(shù)為1 0 ，9 ，8 ，7 ，6 ，5 .第一類(lèi)走1 0步每一步都走一級(jí)方法數(shù)為1種；第二類(lèi)從走9步選其中1步走兩級(jí)方法數(shù)為

種；第三類(lèi)從走8步選其中2步走兩級(jí)方法數(shù)為種；第四類(lèi)從走7步選其中3步走兩級(jí)方

在問(wèn)題的眾多對(duì)象中，確定某一類(lèi)對(duì)象為元素，另一類(lèi)對(duì)象為位置，既可以從元素的角度考慮也可以從位置的角度考慮分步和分類(lèi)，培養(yǎng)學(xué)生選擇從不同角度切入，一題多解的能力.

例5 將五名實(shí)習(xí)生分到三個(gè)部門(mén)去工作（每人只可在一個(gè)部門(mén)），有幾種不同的方案？

分析一 從部門(mén)接受實(shí)習(xí)生的角度考慮：

（1 ）一個(gè)部門(mén)接受全部，有三種可能性；

（2 ）二個(gè)部門(mén)接受全部，接受人數(shù)有1 ，4或2 ，3兩種情況，屬于非均勻分組構(gòu)成的復(fù)合分組，共有

故分配總的方案為3 +9 0 +1 5 0 =2 4 3種.

分析二 從實(shí)習(xí)生將去何部門(mén)來(lái)考慮分步，第一名實(shí)習(xí)生可分到三個(gè)部門(mén)中的一個(gè)，有3種可能性.類(lèi)似的第二、三、四、五個(gè)實(shí)習(xí)生也分別有3種不同的可能性，所以五位實(shí)習(xí)生全部分配好就有種. 3× 3 × 3 × 3 × 3 = 3 = 2 4 3

排列組合例題范文2

一、 “特殊元素,特殊位置”優(yōu)先考慮

例1 (2009北京,7)用0到9這10個(gè)數(shù)字,可以組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位偶數(shù)的個(gè)數(shù)為()

A. 324

B. 328

C. 360

D. 648

解析:因組成的三位數(shù)為偶數(shù),末尾數(shù)字必須是偶數(shù),又0不能排在首位,故0是特殊元素,應(yīng)優(yōu)先安排,按0排在末尾和不排在末尾分為兩類(lèi)。(1) 當(dāng)0排在末尾時(shí),有 =72個(gè)偶數(shù)。(2) 0不作個(gè)位共有 =256個(gè)偶數(shù),所以共計(jì)72+256=328個(gè)偶數(shù),選B

二、 排列組合的混合問(wèn)題,則先“組”后“排”

對(duì)于排列組合的混合問(wèn)題,可采取先選出元素,后進(jìn)行排列的方法

例2 (2009重慶,13)將4名大學(xué)生分配到3個(gè)鄉(xiāng)鎮(zhèn)去當(dāng)村官,每個(gè)鄉(xiāng)鎮(zhèn)至少1名,則不同的分配方案有_______種。

解析:先從4名學(xué)生中選出2名看做一個(gè)整體共有 =6種選法;然后將三個(gè)元素進(jìn)行全排列有 =6種排法,共有 =36種分配方案。

三、 正難則反,應(yīng)用等價(jià)轉(zhuǎn)換的方法

對(duì)于某些排列組合問(wèn)題,當(dāng)從正面入手情況比較復(fù)雜,不易解決時(shí)可考慮從反面入手,將其轉(zhuǎn)換為一個(gè)比較簡(jiǎn)單的問(wèn)題來(lái)處理。

例3 (2009湖北,5)將甲,乙,丙,丁四名同學(xué)分到三個(gè)不同的班,每班至少分到一名同學(xué),且甲,乙兩名學(xué)生不能分到同一個(gè)班,則不同的分發(fā)為()

A. 18B. 24 C. 30D. 36

解析:從正面入手需考慮的情況較多,所以不妨從反面入手考慮,即先不考慮甲,乙不同班的情況,將4人分成3組有 =6種分法,再將3組同學(xué)分到3個(gè)班級(jí)共有 =6種分法,在減去甲,乙同班的分法有=6種。共有=30種分法。故選C

四、 相鄰問(wèn)題,“捆綁”法

對(duì)某幾個(gè)元素要求相鄰的排列問(wèn)題,可先將相鄰元素“捆綁”起來(lái)看做一個(gè)元素,與其他元素進(jìn)行全排列,然后再對(duì)“捆”在一起的相鄰元素進(jìn)行全排列。

例4 (96全國(guó))6名同學(xué)排成一排,其中甲,乙兩人必須排在一起的不同排法有()

解析:現(xiàn)將甲,乙“捆”在一起看做一個(gè)元素,同剩下的4個(gè)元素共5個(gè)元素進(jìn)行全排列有 種排法,然后,甲,乙兩人之間進(jìn)行全排列有 種排法。根據(jù)乘法原理滿(mǎn)足條件的排法共有 =240種排法。

五、 不相鄰問(wèn)題,“插空”法

對(duì)某幾個(gè)元素要求不相鄰的排列問(wèn)題,可現(xiàn)將其它元素排好,然后將不相鄰的元素插在這些排好元素之間及兩端的空隙中。

例5 (97全國(guó))7名同學(xué)排成一排,其中甲,乙兩人不相鄰,則不同的排法種數(shù)有()

A. 1440種B. 3600種

C. 4320種D. 4800種

解析:先讓甲,乙之外的5人進(jìn)行全排列,有=120種排法,再讓甲,乙兩人在每?jī)扇酥g及兩端的6個(gè)空隙中插入,有種方法,故共有=3600種排法。選B

六、 “相鄰”和“不相鄰”綜合問(wèn)題,則先“捆綁”再“插空”

例6 (2009四川,11)3位男生和3位女生共6位同學(xué)站成一排,若男生甲不站兩端,3位女生中有且只有兩位女生相鄰,則不同的排法種數(shù)是()

A. 360B. 288C. 216D. 96

解析:先保證3位女生中有且只有兩位女生相鄰,即先從三個(gè)女生中選兩位女生“捆綁”成一個(gè)元素,再和剩下的女生插在排好的3位男生之間和兩端的空隙中,則有: 種排法;再?gòu)闹信懦渍驹趦啥说呐欧ā９灿?=288種排法

七、 “順序一定”用除法處理

對(duì)于某幾個(gè)順序一定的排列問(wèn)題,可先將所有元素進(jìn)行全排列,然后用總的排列數(shù)除以這幾個(gè)元素的全排列數(shù)。

例7 5名男生和3名女生站在一起照相,其中3名女生必須按照(從左到右)高矮順序站,共有_______種站法

解析:若不考慮附加條件共有 種站法,而其中女生的站法 中只有一種符合條件,共有 =6720種排法

八、 相同元素放在不同位置,用“隔板法”

例8 有6個(gè)一樣的小球,分給3個(gè)人,每人至少分一個(gè),則有_______種不同的分法

排列組合例題范文3

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué) 排列組合 教學(xué)思考

排列組合在高中數(shù)學(xué)中占有重要位置，也是高考的考點(diǎn)之一，用以了解學(xué)生的分析能力，閱讀能力以及數(shù)學(xué)建模能力。因此，學(xué)好排列組合對(duì)于學(xué)生們掌握好高中知識(shí)，順利通過(guò)高考，進(jìn)入夢(mèng)想大學(xué)顯得至關(guān)重要。排列組合思想靈活多變，新穎獨(dú)特，要想準(zhǔn)確掌握好這種思想，需要學(xué)生們具有良好的抽象思維能力和一定的邏輯推理能力。學(xué)生們學(xué)習(xí)時(shí)往往會(huì)鉆入死胡同，這個(gè)時(shí)候，老師的指點(diǎn)和幫助顯得尤為重要。下面將對(duì)排列組合作簡(jiǎn)要介紹分析。

一、排列組合學(xué)習(xí)中的基礎(chǔ)知識(shí)

1.排列組合的基本定義

（1）排列的定義：從n個(gè)不同元素中，任取m（m≤n，m與n均為自然數(shù)）個(gè)元素按照一定的順序排成一列，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)排列，當(dāng)m=n時(shí)，叫做n個(gè)不同元素的一個(gè)全排列。

（2）組合的定義：從n個(gè)不同元素中，任取m（m≤n）個(gè)元素并成一組，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)組合。

（3）排列與組合的區(qū)別：排列問(wèn)題與元素之間的順序有緊密關(guān)系，然而組合問(wèn)題與元素之間的順序無(wú)任何關(guān)系。

2.排列組合中的兩個(gè)重要原理

（1）加法原理：做一件事，完成它可以有n類(lèi)辦法，在第一類(lèi)辦法中有m1種不同的方法，在第二類(lèi)辦法中有m2種不同的方法……在第n類(lèi)辦法中有mn種不同的方法，那么完成這件事共有N=m1+m2+m3+…+mn種不同方法。

（2）分步計(jì)數(shù)法原理：做一件事，完成它需要分成n個(gè)步驟，做第一步有m1種不同的方法，做第二步有m2種不同的方法……做第n步有mn種不同的方法，任何一步的一種方法都不能完成此任務(wù)，必須且只須連續(xù)完成這n步才能完成此任務(wù)，那么完成這件事共有N=m1×m2×m3×…×mn 種不同的方法。

二、排列組合中的一般方法策略

在高考試卷中，考查排列組合問(wèn)題的形式一般是選擇和填空。此類(lèi)問(wèn)題題型多變，往往緊密聯(lián)系實(shí)際。題目不多，但是也占有一定的比例。為了迅速解題，掌握一定的解題技巧是必需的。本文將簡(jiǎn)單介紹一下適合運(yùn)用在排列組合求解時(shí)的一些常用方法策略。

1.分部法

對(duì)于一些比較復(fù)雜的以及比較抽象的排列組合問(wèn)題，可以采用分部法進(jìn)行求解。運(yùn)用分部處理法就是將復(fù)雜問(wèn)題進(jìn)行簡(jiǎn)化，劃分為簡(jiǎn)單的小問(wèn)題分部進(jìn)行求解。

2.捆綁法

對(duì)于排列組合問(wèn)題中相鄰問(wèn)題的解決，最合適的方法就是捆綁法。此類(lèi)問(wèn)題要求某幾個(gè)問(wèn)題必須相鄰，處理這種問(wèn)題時(shí)，將需要相鄰的元素捆綁在一起，看成一個(gè)大元素，然后再進(jìn)行排列組合，此時(shí)需要注意的是，組成大元素的小元素之間也可以進(jìn)行排序。

3.插空法

插空法處理的問(wèn)題與捆綁法處理的問(wèn)題情況正好相反，處理的是某幾個(gè)元素必須不相鄰的問(wèn)題。插空法思想是先將除了那幾個(gè)需要不相鄰處理的其他元素排列好，然后再將那些需要不相鄰的元素插入到其他元素之間或者兩端。

4.排除法

在排列組合問(wèn)題的解決過(guò)程中，常常會(huì)遇到一些這樣的問(wèn)題，從正面直接解決的話(huà)，會(huì)有很大的困難，但從它的反面解決往往簡(jiǎn)單得多，此時(shí)可以先求出此類(lèi)問(wèn)題的反面，然后從整體中排除，即得出需要解決問(wèn)題的答案。

5.等價(jià)轉(zhuǎn)化法

在排列組合問(wèn)題的解決過(guò)程中，有時(shí)候會(huì)遇到一些非常規(guī)的問(wèn)題，這個(gè)時(shí)候直接解決的話(huà)，難度很大，但是如果將其等價(jià)轉(zhuǎn)化為常見(jiàn)排列組合問(wèn)題時(shí)，解決會(huì)變得很容易。因此，等價(jià)轉(zhuǎn)化法常常作為解決非常規(guī)問(wèn)題的最佳途徑。

以上簡(jiǎn)單介紹了幾種排列組合中的一般方法，介紹時(shí)雖然是分開(kāi)介紹，但是遇到實(shí)際問(wèn)題時(shí)，往往需要幾種方法共同使用，才能解決。因此，上面各個(gè)方法不是相互獨(dú)立的，是相輔相成的。遇到問(wèn)題時(shí)要綜合各種方法，靈活運(yùn)用。

三、典型例題分析

排一張有5個(gè)歌唱節(jié)目和4個(gè)舞蹈節(jié)目的演出節(jié)目單。

（1）任何兩個(gè)舞蹈節(jié)目不相鄰的排法有多少種？

（2）歌唱節(jié)目與舞蹈節(jié)目間隔排列的方法有多少種？

解析：（1）先排歌唱節(jié)目有5×4×3×2×1種，歌唱節(jié)目之間以及兩端共有6個(gè)位子，從中選4個(gè)放入舞蹈節(jié)目，共有6×5×4×3中方法，所以任兩個(gè)舞蹈節(jié)目不相鄰排法有：（5×4×3×2×1）×（6×5×4×3）=43200種方法。

（2）先排舞蹈節(jié)目有4×3×2×1中方法，在舞蹈節(jié)目之間以及兩端共有5個(gè)空位，恰好供5個(gè)歌唱節(jié)目放入。所以歌唱節(jié)目與舞蹈節(jié)目間隔排列的排法有：（4×3×2×1）×（5×4×3×2×1）=2880種方法。

說(shuō)明：對(duì)于“間隔”排列問(wèn)題，我們往往先排個(gè)數(shù)較少的元素，再讓其余元素插空排列。否則，若先排個(gè)數(shù)較多的元素，再讓其余元素插空排時(shí)，往往個(gè)數(shù)較多的元素有相鄰情況。

四、結(jié)論

排列組合作為高中數(shù)學(xué)的一部分，頻繁出現(xiàn)在高考題目中，并且還作為高等數(shù)學(xué)有關(guān)分支的準(zhǔn)備知識(shí)，因此學(xué)習(xí)好這部分內(nèi)容顯得十分重要。解決排列組合問(wèn)題的解決方法靈活多變，新穎獨(dú)特，常用方法有轉(zhuǎn)化法、捆綁法、插空法、排除法等。要想準(zhǔn)確掌握排列組合解決方法，需要學(xué)生們具有良好的抽象思維能力和一定的邏輯推理能力，同時(shí)也需要老師們的熱心指導(dǎo)和無(wú)私幫助。

【參考文獻(xiàn)】

[1] 北京師范學(xué)院數(shù)學(xué)系編寫(xiě)組. 中學(xué)數(shù)學(xué)辭典[M]. 南昌：江西教育出版社，2007：58.

[2] 弗賴(lài)臀塔爾. 數(shù)學(xué)教育再探[M]. 上海：上海教育出版社，2009：72.

排列組合例題范文4

一、 排列與組合的概念

1.排列的概念

排列概念：一般來(lái)講在a個(gè)元素里面，隨便選用b個(gè)元素，再依據(jù)指定的次序排成一列，這就叫做在a個(gè)元素里面，隨便選用b個(gè)元素組成一列.特別是當(dāng)a=b時(shí)，這就叫做a個(gè)不同元素的全排列.

排列數(shù)概念：在a個(gè)元素中選用b個(gè)元素的一切排列的數(shù)目，這就叫做在a個(gè)元素里面選用b個(gè)元素的排列數(shù).這里采用數(shù)學(xué)的符號(hào)Aba來(lái)表示.

2.組合的概念

組合概念：一般來(lái)講在a個(gè)元素不相同的元素當(dāng)中，隨便選用b個(gè)元素組合成一組，這叫做a個(gè)不相同的元素中隨便選用b個(gè)元素的組合.

組合數(shù)概念：在a個(gè)元素不相同的元素中選用b個(gè)元素的一切組合的數(shù)目，這叫做在a個(gè)不相同的元素中選用出b個(gè)元素的組合數(shù)，這里使用數(shù)學(xué)的符號(hào)Cba來(lái)表示.

二、排列與組合的應(yīng)用

使用排列：對(duì)于無(wú)條件限制的簡(jiǎn)便排列問(wèn)題，可以利用公式直接解答；像“用數(shù)字0，1，2可以組成多少個(gè)無(wú)重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？”這種有限制條件的排列問(wèn)題，可以依照限制條件來(lái)使用“直接法”或是“間接法”進(jìn)行解答.（2）組合方法的使用：對(duì)于無(wú)條件限制的簡(jiǎn)便組合使用問(wèn)題，就使用公式法直接解答；像“從12人中選5人，甲乙丙三人必須當(dāng)選，有多少種選法？”這種有條件限制的組合問(wèn)題，就可以依照指定的限制條件來(lái)使用“直接法”或是“間接法”解答.（3）整體的組合和排列：在整體的組合排列的問(wèn)題上，主要是組合排列的混雜問(wèn)題，解題之前要先處理組合的問(wèn)題，然后才能研討排列的問(wèn)題.在處理組合排列全面問(wèn)題時(shí)，要注重以下兩點(diǎn)：第一點(diǎn)限制條件就是排列問(wèn)題常常出現(xiàn)的出題方式：“不在”和“在”；“不相鄰”和“相鄰”.在處理客觀(guān)問(wèn)題時(shí)必須是要有自己的解答思維和方法：碰到“相鄰”問(wèn)題的時(shí)候，要經(jīng)常使用捆綁法來(lái)解題，把題目當(dāng)中的幾個(gè)元素當(dāng)作一個(gè)元素，這也是處理相鄰問(wèn)題的最好方法.而“不相鄰”的問(wèn)題處理最常用的方式就是“插空法”.在處理“不在”和“在”的問(wèn)題時(shí)，常常會(huì)碰到特別元素或是特別方位，但是常見(jiàn)的都是先對(duì)特別的元素進(jìn)行排列.但是當(dāng)題目里元素的排列次序有限制時(shí)，就必須把次序約束放在一旁，讓排列結(jié)束以后，再依照指定次序來(lái)求解得出結(jié)果.第二點(diǎn)限制條件的組合問(wèn)題常常出現(xiàn)的命題方式：“不含”或“含”；“至多”或是“至少”.在處理實(shí)際題目時(shí)，要學(xué)會(huì)使用“間接法”或是“直接法”.

三、常見(jiàn)問(wèn)題的應(yīng)對(duì)策略

1.不相鄰的“插空法”

對(duì)于幾種不相鄰元素的排列問(wèn)題，可以先排其他的元素，再把不相鄰的元素插在排好的元素當(dāng)中.

例如，在校園文藝演出中有4個(gè)是朗誦隊(duì)，2個(gè)是舞蹈隊(duì)，3個(gè)是獨(dú)唱隊(duì)，如果舞蹈隊(duì)都不能靠著，那么這樣的節(jié)目實(shí)行的次序總共有幾種？

分析：一開(kāi)始先排2個(gè)舞蹈隊(duì)和3個(gè)獨(dú)唱隊(duì)，有A55種排法，再在這些節(jié)目當(dāng)中和兩邊的6個(gè)“空”中選4個(gè)讓舞蹈隊(duì)去，有A46種排法，根據(jù)分布計(jì)數(shù)原理一共有A55A46=43200種排法.

2.相鄰的“捆綁法”

對(duì)于無(wú)數(shù)個(gè)元素要求相鄰的排列，要先讓相鄰的幾個(gè)元素“捆綁”在一起，當(dāng)作是一個(gè)整體的元素和剩下的元素進(jìn)行排列，最后再讓組合元素當(dāng)中的元素進(jìn)行排列.

例如，書(shū)桌上擺著3本不相同的英語(yǔ)書(shū)，4本不相同的語(yǔ)文書(shū)，5本不相同的化學(xué)書(shū)，把這些都豎立起來(lái)排成一排，如果把相同類(lèi)的書(shū)放在一起，一共有幾種排列方法？

分析：由于相同類(lèi)的書(shū)放在一起，就把3本英語(yǔ)書(shū)，4本語(yǔ)文書(shū)和5本化學(xué)書(shū)都互相捆綁在一起，看作是3個(gè)整體進(jìn)行排列有 A33種，每捆內(nèi)部的排列分別有A44種， A55種，A33種，由分步計(jì)數(shù)原理一共有：A44A55A33A33=103680（種）.

3.巧用“轉(zhuǎn)換法”

對(duì)于一些不常見(jiàn)的問(wèn)題，使用直接解答的方法一般很艱難，從正面著手處理會(huì)非常艱難，這時(shí)我們就從反面著手，把這種題轉(zhuǎn)化為一個(gè)最為簡(jiǎn)便的問(wèn)題來(lái)處理.

例如，用1到6這六個(gè)數(shù)字，把它們組合成大于200000而且在百位數(shù)是非3的不重復(fù)數(shù)字的六位數(shù)有幾個(gè)？

分析：一看到題目，瞬間沒(méi)有思路，但是仔細(xì)地一思考，要大于200000 實(shí)際上就是首位不是1的數(shù)字，因此，我們把問(wèn)題看成“1”不在首位，“3”不在百位，分析下來(lái)，你就會(huì)讀懂了.這和曾經(jīng)做過(guò)的“甲學(xué)生不做學(xué)習(xí)委員，乙學(xué)生不當(dāng)班長(zhǎng)”這個(gè)題不是很相似嗎？ 從例題那就能轉(zhuǎn)變成這題的做題方法，共有A55+A14A14A44= 504個(gè).

4.分排問(wèn)題“直排法”

把多個(gè)元素排列成前后的幾種排列問(wèn)題，假設(shè)沒(méi)有什么條件來(lái)約束，那么就運(yùn)用全體排成一行的方法來(lái)處理.

例如，有個(gè)班級(jí)有50個(gè)學(xué)生在10排位置上坐著，而每排有5個(gè)人，一共有多少種坐法？

排列組合例題范文5

關(guān)鍵詞：排列與組合；分類(lèi)加法原理；分步乘法原理

關(guān)于排列與組合問(wèn)題的解決是要講究方法和策略的。首先，要認(rèn)真審題，弄清楚是完成“什么樣的一件事”。其次，要分析出完成的“這件事”是屬于哪一類(lèi)排列與組合問(wèn)題，即先從整體上給出一個(gè)定性的分析。最后，要思考“怎樣完成這件事”：結(jié)合各類(lèi)排列與組合問(wèn)題其特有的解題策略和兩個(gè)計(jì)數(shù)原理即分類(lèi)加法、分步乘法計(jì)數(shù)原理進(jìn)行計(jì)數(shù)。一個(gè)排列與組合問(wèn)題解決的對(duì)與錯(cuò)還應(yīng)該注意以下兩點(diǎn)：首先，思考、分析、解決問(wèn)題要做到不重復(fù)、不遺漏，要縝密、要全面。其次，分析清楚某一問(wèn)題是排列還是組合，還是先組合后排列。區(qū)分某一問(wèn)題是排列問(wèn)題還是組合問(wèn)題，關(guān)鍵是看所選的元素與順序是否有關(guān)，若交換某兩個(gè)元素的位置對(duì)結(jié)果產(chǎn)生影響，則是排列問(wèn)題，否則是組合問(wèn)題。高中數(shù)學(xué)中遇到的排列與組合計(jì)數(shù)問(wèn)題主要可以歸納為以下六類(lèi)，而每一類(lèi)都有著特有的解題策略與方法。下面我們借助具體的例題進(jìn)行講解。

一、“含特殊元素”的排列組合問(wèn)題――采取特殊元素優(yōu)先考慮法

例1.現(xiàn)從甲、乙、丙等6名工人安排4人分別照看一道工序，第一道工序只能從甲、乙兩人中安排一人，第四道工序只能從甲、丙兩人中安排，則有多少種不同的安排方案？

解：此題中有兩個(gè)特殊位置，第一道工序和第四道工序。一個(gè)特殊的人――“甲”。所以可以考慮先從甲入手，甲的位置有三類(lèi)，然后再考慮第一、四道工序的安排。

第一類(lèi)：甲在第一道工序，這時(shí)有C11?C11?A24=12（種）排法；第二類(lèi)：甲在第四道工序，這是有C11?C11?A24=12（種）排法；第三類(lèi)：甲不在第一道工序也不在第四道工序，這時(shí)有C11?C11?A24=12（種）排法。利用分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理知，總共有N=12+12+12=36種不同的分配方案。

變式1：有3名男生，4名女生，求全體排成一排，甲不站排頭也不站排尾，有多少種不同的排法？

解：“甲”元素受限制、比較特殊優(yōu)先排。先排甲有A15=5種排法，再排其他人有A66=720種排法。根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有 種排法。

二、“含相同元素”的排列組合問(wèn)題――采取給為相同元素找位置的方法

例2.今有2個(gè)紅球、3個(gè)黃球、4個(gè)白球，同色球不加以區(qū)分，將這9個(gè)球排成一列，有多少種不同的排法？

解：此題同色球不加以區(qū)分，導(dǎo)致有相同元素，排列時(shí)相同元素間無(wú)順序之分，因此相同元素按組合問(wèn)題選位置。

分三步：第一步，排2個(gè)紅球，有C29=36（種）排法；第二步，排3個(gè)黃球，有C37=35（種）排法；第三步，排4個(gè)白球，有C44=1（種）排法.利用分步乘法原理，總共有N=36×35×1=1260種排法。

變式2：把英語(yǔ)單詞“error”中字母的拼寫(xiě)順序?qū)戝e(cuò)了，則可能出現(xiàn)的錯(cuò)誤的種數(shù)是多少？

解：此題實(shí)質(zhì)是“含相相同元素”的排列問(wèn)題.考慮“e、o、r、r、r”排成一列共有C15?C14?C33=20排法，其中拼寫(xiě)正確的只有1種，所以把英語(yǔ)單詞“error”中字母的拼寫(xiě)順序?qū)戝e(cuò)有20-1=19種。

三、“元素相鄰型”的排列組合問(wèn)題――采取“捆綁法”，即將相鄰的元素視為一個(gè)整體參與其他元素的排列，同時(shí)注意捆綁元素內(nèi)部排列

例3.有3名男生，4名女生，求全體排成一排，女生必須相鄰有多少種不同的排法？

解：先把4名女生合在一起看作一個(gè)元素，和3名男生參加全排列共有A44=24種排法，然后4名女生局部排列共有A33=6種

排法，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，共有N=24×6=144種排法。

四、“元素不相鄰型”的排列組合問(wèn)題――采取“插空法”，即先考慮不受限制的元素的排列，再將不相鄰的元素插在前面元素排列的空當(dāng)中

例4.有3名男生、4名女生，全體排成一排，男生互不相鄰有多少種不同的排法？

解：4名女生不受限制，則先排4名女生有A44=24種排法，然

后將3名男生插入4名女生產(chǎn)生的5個(gè)空檔中，有A35=60種排法。根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有N=A44?A35=1440種排法。

變式3：我國(guó)第一艘航母“遼寧艦”在某次艦載機(jī)起降飛行訓(xùn)練中，有6架殲-15飛機(jī)準(zhǔn)備著艦。如果甲、乙兩機(jī)必須前后相鄰，而丙、丁兩機(jī)不能前后相鄰著艦，那么不同的著艦方法有多少種？

解：“相鄰與不相鄰”的混合型問(wèn)題，捆綁法和插空法相結(jié)合。設(shè)其他兩機(jī)為A，B。先將甲、乙合在一起看作一個(gè)元素，和A，B參加全排列共有A33=6種排法，然后甲、乙局部排有A22=2種排法，最后將丙、丁插入甲、乙合在一起看作一個(gè)元素和A，B產(chǎn)生的4個(gè)空擋中，有A24=12種插入法。由分步乘法計(jì)數(shù)原理N=A33?A22?A24=144種方法。

五、“分堆型”的排列組合問(wèn)題――需要注意辨別是“平均分組”還是“非平均分組”

平均分組型是指把k、n個(gè)不同元素平均分成k組，每組n個(gè)元素，共有■種不同的分法，其特點(diǎn)是每堆的個(gè)數(shù)相同。

非平均分組型是指n個(gè)不同元素分成個(gè)數(shù)為n1，n2，L，nk的k堆，其中n1≠n2≠n3≠L≠nk，n1+n2+L+nk=n，有Cn1n?Cn2n-n1?Cn3n-n1-n2?L?

Cnknk種不同的分法，其特點(diǎn)是每堆的個(gè)數(shù)都互不相同。

例5.六本不同的書(shū)，按下列要求，各有多少種不同的分法？

排列組合例題范文6

筆者認(rèn)為之所以學(xué)生“怕”學(xué)排列組合，主要還是因?yàn)榕帕薪M合的抽象性，那么解決問(wèn)題的關(guān)鍵就是將抽象問(wèn)題具體化，我們不妨將原題進(jìn)行一下轉(zhuǎn)換，讓學(xué)生走進(jìn)題目當(dāng)中，成為“演員”，成為解決問(wèn)題的決策者。這樣做不僅激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，活躍了課堂氣氛，還充分發(fā)揮學(xué)生的主體意識(shí)和主觀(guān)能動(dòng)性，能讓學(xué)生從具體問(wèn)題的分析過(guò)程中得到啟發(fā)，逐步適應(yīng)排列組合題的解題規(guī)律，從而做到以不變應(yīng)萬(wàn)變。當(dāng)然，在具體的教學(xué)過(guò)程中一定要注意題目轉(zhuǎn)換的等價(jià)性，可操作性。

下面筆者將就教學(xué)過(guò)程中的兩個(gè)難點(diǎn)通過(guò)兩個(gè)特例作進(jìn)一步的說(shuō)明：

1、 占位子問(wèn)題

例1：將編號(hào)為1、2、3、4、5的5個(gè)小球放進(jìn)編號(hào)為1、2、3、4、5的5個(gè)盒子中，要求只有兩個(gè)小球與其所在的盒子編號(hào)相同，問(wèn)有多少種不同的方法？

①仔細(xì)審題：在轉(zhuǎn)換題目之前先讓學(xué)生仔細(xì)審題，從特殊字眼小球和盒子都已“編號(hào)”著手，清楚這是一個(gè)“排列問(wèn)題”，然后對(duì)題目進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)換。

②轉(zhuǎn)換題目：在審題的基礎(chǔ)上，為了激發(fā)學(xué)生興趣進(jìn)入角色，我將題目轉(zhuǎn)換為：

讓學(xué)號(hào)為1、2、3、4、5的學(xué)生坐到編號(hào)為1、2、3、4、5的五張凳子上（已準(zhǔn)備好放在講臺(tái)前），要求只有兩個(gè)學(xué)生與其所坐的凳子編號(hào)相同，問(wèn)有多少種不同的坐法？

③解決問(wèn)題：這時(shí)我在選另一名學(xué)生來(lái)安排這5位學(xué)生坐位子（學(xué)生爭(zhēng)著上臺(tái)，積極性已經(jīng)得到了極大的提高），班上其他同學(xué)也都積極思考（充分發(fā)揮了學(xué)生的主體地位和主觀(guān)能動(dòng)性），努力地“出謀劃策”，不到兩分鐘的時(shí)間，同學(xué)們有了統(tǒng)一的看法：先選定符合題目特殊條件“兩個(gè)學(xué)生與其所坐的凳子編號(hào)相同”的兩位同學(xué)，有C 種方法，讓他們坐到與自己編號(hào)相同的凳子上，然后剩下的三位同學(xué)不坐編號(hào)相同的凳子有2種排法，最后根據(jù)乘法原理得到結(jié)果為2×C =20（種）。這樣原題也就得到了解決。

④學(xué)生小結(jié)：接著我讓學(xué)生之間互相討論，根據(jù)自己的分析方法對(duì)這一類(lèi)問(wèn)題提出一個(gè)好的解決方案。（課堂氣氛又一次活躍起來(lái)）

⑤老師總結(jié)：對(duì)于這一類(lèi)占位子問(wèn)題，關(guān)鍵是抓住題目中的特殊條件，先從特殊對(duì)象或者特殊位子入手，再考慮一般對(duì)象，從而最終解決問(wèn)題。

2、分組問(wèn)題

例2：從1、3、5、7、9和2、4、6、8兩組數(shù)中分別選出3個(gè)和2個(gè)數(shù)組成五位數(shù)，問(wèn)這樣的五位數(shù)有幾個(gè)？

（本題我是先讓學(xué)生計(jì)算，有很多同學(xué)得出的結(jié)論是P ×P ）

①仔細(xì)審題：先由學(xué)生審題，明確組成五位數(shù)是一個(gè)排列問(wèn)題，但是由于這五個(gè)數(shù)來(lái)自?xún)蓚€(gè)不同的組，因此是一個(gè)“分組排列問(wèn)題”，然后對(duì)題目進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)換。

②轉(zhuǎn)換題目：在學(xué)生充分審題后，我讓學(xué)生自己對(duì)題目進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)換，有一位同學(xué)A將題目轉(zhuǎn)換如下：

從班級(jí)的第一組（12人）和第二組（10人）中分別選3位和2位同學(xué)分別去參加蘇州市舉辦的語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、英語(yǔ)、物理、化學(xué)競(jìng)賽，問(wèn)有多少種不同的選法？

③解決問(wèn)題：接著我就讓同學(xué)A來(lái)提出選人的方案

同學(xué)A說(shuō)：先從第一組的12個(gè)人中選出3人參加其中的3科競(jìng)賽，有P ×P 種選法；再?gòu)牡诙M的10人中選出2人參加其中2科競(jìng)賽有P ×P 種選法；最后由乘法原理得出結(jié)論為（P ×P ）×（P ×P ）（種）。（這時(shí)同學(xué)B表示反對(duì)）

同學(xué)B說(shuō)：如果第一組的3個(gè)人先選了3門(mén)科目，那么第二組的2人就沒(méi)有選擇的余地。所以第二步應(yīng)該是P ×P .（同學(xué)們都表示同意，但是同學(xué)C說(shuō)太蘩）

同學(xué)C說(shuō)：可以先分別從兩組中把5個(gè)人選出來(lái)，然后將這5個(gè)人在5門(mén)學(xué)科中排列，他列出的計(jì)算式是C ×C ×P （種）。（再次通過(guò)互相討論，都表示贊賞）

這樣原題的解答結(jié)果就“浮現(xiàn)”出來(lái)C ×C ×P （種）。